На стороне ab треугольника abc отметили точку d так что окружность проходящая

На стороне ab треугольника abc отметили точку d так что окружность проходящая

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.

Площадь треугольника равняется половине произведения сторон на синус угла между ними: так как значит, поэтому

Выразим через площадь треугольника BCD:

Приведем другое решение.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, можно найти высоту треугольника ABC:

тогда

Треугольник BCD имеет такую же высоту, что и треугольник ABC, следовательно,

Приведем еще одно решение.

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

тогда

Источник

На стороне ab треугольника abc отметили точку d так что окружность проходящая

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.

Площадь треугольника равняется половине произведения сторон на синус угла между ними: так как значит, поэтому

Выразим через площадь треугольника BCD:

Приведем другое решение.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, можно найти высоту треугольника ABC:

тогда

Треугольник BCD имеет такую же высоту, что и треугольник ABC, следовательно,

Приведем еще одно решение.

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

тогда

Источник

На стороне ab треугольника abc отметили точку d так что окружность проходящая

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые AB и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.

Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC — вписанный, следовательно,

Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL = kAB, BK = kBC, KL = kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:

Подставляя известные значения сторон, находим

Следовательно,

Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB. Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен k = 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL = AC = 7. Заметим, что BK = BC > AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB.

Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL > BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL = AB Ответ:

Дан ромб ABCD с диагоналями AC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке M. Найдите CM.

Пусть точка M лежит между C и D, P, — точка касания прямой BM с данной окружностью, O — центр ромба.

По теореме Пифагора Обозначим Из прямоугольных треугольников и находим, что

Применяя теорему синусов к треугольнику BMD получим, что поэтому

Следовательно,

Пусть теперь точка M лежит на продолжении стороны за точку Тогда по теореме о внешнем угле треугольника

Далее, рассуждая аналогично, получим, что

Следовательно,

Ответ: или

Хочу предложить более простое и короткое решение: обозначим точку пересечения ВМ и АС буквой К. Треугольники АВК и КМС подобны по двум углам. Следовательно АВ/х=АК/КС. В первом случае АК=17, КС=7; во втором случае АК=7, КС=17; АВ=13 в обоих случаях.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 15, AC = 9 и BC = 12. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 4 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.

Проведем через вершину A прямую, параллельную BC. Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а M — точка пересечения AB и CT. Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом поэтому AT = 3CD = 12. Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны AB. Следовательно, CM — медиана треугольника ABC. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит,

Через вершину C проведем прямую, параллельную AB. Пусть Q— точка ее пересечения с прямой AO. Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом поэтому Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM.

Окружность с центром O проходит через точку C, и при этом OM = OC. Следовательно, OM — радиус этой окружности. Треугольник ABC прямоугольный, а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности. Расстояние СM было найдено выше.

Пусть N — вторая точка пересечения окружности с прямой AB. Тогда угол CNM — вписанный и опирающийся на диаметр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN — высота треугольника ABC.

Отсюда

Стороны KM и MN треугольника KMN равны соответственно 30 и 25, а его высота MH равна 24. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH.

Пусть точки O и P ― центры окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH соответственно, R и r ― радиусы этих окружностей, а точки E и F ― точки, в которых окружности касаются отрезка MH. Из прямоугольных треугольников KMH и MNH находим:

Опустим из точки O перпендикуляр OQ на прямую FP (см. рис. 1, 2). Искомое расстояние OP находим из прямоугольного треугольника

Первый случай. Точка H лежит между точками K и N, см. рис. 1.

Второй случай. Точка N лежит между точками K и H, см. рис. 2.

Ответ: или

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Точка лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠ACB = 90°. По теореме Пифагора

Пусть CD — высота треугольника ABC. Тогда:

Отсюда

Из прямоугольного треугольника находим:

Если точка M лежит между точками A и D, то

Если точка M лежит между B и D, то Следовательно,

Ответ:

Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 115, BC = 184. Пусть AH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина BC.

Обозначим ∠ABC = ∠ACB = α. Тогда

Предположим, что окружность радиуса r с центром O₁ вписана в угол ACB и касается основания BC в точке N, а окружность того же радиуса с центром O₂, вписана в угол ABC, касается основания BC в точке M, а первой окружности — в точке D. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому

а

Из прямоугольного треугольника BMO₂ находим:

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O₁O₂ = 2r, значит, MN = O₁O₂ = 2r, поскольку O₁O₂MN — прямоугольник. Следовательно,

откуда находим r = 23.

Пусть теперь окружность радиуса r с центром O₁ вписана в угол BAC и касается боковой стороны AB в точке P, вторая окружность радиуса r с центром O₂ вписана в угол ABC, касается боковой стороны AB в точке Q, а также касается первой окружности.

Из прямоугольных треугольников APO₁ и BQO₂ находим:

откуда находим r = 20.

В случае, когда окружности вписаны в углы BAC и ACB, получим тот же результат.

В первом случае вы слишком усложняете, там достаточно теоремы пифагора и нахождение площади прямоуголных треугольников двумя способами. И все

Я бы даже сказал, достаточно найти высоту, а потом посчитать радиус вписанной окружности по известной формуле.

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 5 и BC = 12. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 13. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Обозначим ∠BAC = α. Тогда , ,

Пусть x — радиус искомой окружности, O — ее центр, D — точка касания с лучом AC, M — точка касания с окружностью S, E — проекция точки O на прямую BC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,

Из прямоугольного треугольника OAD находим, что

Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: одна из них касается окружности S внутренним образом, а вторая — внешним.

По теореме Пифагора или

откуда находим, что

откуда находим, что

Ответ : или

Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС = 11. Найдите сторону АВ.

Обозначим AB = x, AC = y, пусть p — полупериметр треугольника ABC. Пусть M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда

В трапеции BMNC вписана окружность, поэтому

Отсюда находим, что или

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

В зависимости от порядка расположения точек M и N на AD есть 2 случая:

Первый случай. где Тогда

Второй случай. где Тогда

объясните пожалуйста откуда взялась такая формула площади треугольника?

Пусть высота треугольника делит основание на два отрезка со стороны угла и со стороны угла . Тогда если — высота треугольника, то , значит и, следовательно, Подставив в формулу для площади получим

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника ABM, если известно, что AB = a и CD = b.

Возможны два случая a > b и a

Поскольку получаем:

Второй случай. Аналогично случаю 1 имеем:

Ответ: или

Потому, что этот случай противоречит условию задачи, и совершенно не ясно, почему при словах описанный четырехугольник Вам в голову приходят мысли о квадрате.

В треугольнике ABC, AB = 15, BC = 7, CA = 9. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 5 : 7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Пусть AD = d, BD = x, DC = y. Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

Откуда получаем: Аналогично,

Тогда

Возможны два случая:

1. Точка D лежит на отрезке BC. Тогда значит,

2. Точка D лежит вне отрезка BC. Тогда значит,

Ответ: или

В решении подразумевается, что треугольник прямоугольный, однако, это не так, потому что теорема Пифагора не срабатывает для треугольника BCA.

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

Пусть — вершина данного угла, и — проекции точки на стороны угла, и — точки, в которых прямая, проходящая через точку пересекает стороны соответственно и данного прямого угла. Обозначим Тогда

Из системы уравнений

Находим, что или Следовательно,

Ответ:

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и

Введем следующие обозначения:

1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).

Треугольник АВЕ равнобедренный, поэтому а значит,

Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны, значит,

откуда

Поскольку получаем

значит,

2 случай (точка A лежит между точками E и С, см. рис. 2).

Аналогично случаю 1 находим

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон.

Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC, опущенная на его основание BC, O — центр вписанной окружности, P — точка ее касания с боковой стороной AB.

Обозначим ∠BAD = α. Из прямоугольного треугольника находим, что

Тогда

Пусть окружность с центром O₁ и радиусом r₁ касается продолжения боковых сторон AB и AC в точках F и G соответственно, а также основания BC. Тогда D — точка касания, поэтому

Следовательно,

Пусть теперь окружность с центром O₂ радиуса r₂ касается боковой стороны AB, продолжения основания BC в точке Q и продолжения боковой стороны AC в точке K. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO₂ и AD — биссектрисы смежных углов BAK и CAB значит, ∠DAO₂ = 90°. Тогда ADQO₂ — прямоугольник. Следовательно, r₂ = O₂Q = AD = 9. Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC и продолжений основания BC и боковой стороны AB также равен 9.

Кажется, автор задачи погорячился с решением первого случая. Составление пропорции из подобия треугольников ( — перпендикуляр к точка на рисунке не отмечена) и приводит в верному ответу буквально за одно действие.

Да, конечно, такое решение существенно короче. Еще можно также получить этот же результат через подобие треугольников и

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

Пусть E — точка пересечения биссектрис, Так как то точка M лежит между точками B и N возможны два случая.

1. Точка E — внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные, следовательно, откуда, учитывая, что получаем

2. Точка E — вне параллелограмма. Тогда откуда учитывая, что получаем

Ответ: или

НЕ сказано как располагаются точки M и N => можно поменять местами и решить ещё два случая

Если поменять местами точки M и N, то станет невозможным выполнение условия BM:MN = 1:2.

Откуда мы узнали, что ABN и DMC равнобедренные?

В каждом из них есть по два равных угла

Зачем городить огород?

1 случай. Треугольники и равнобедренные, Аналогично второй случай!

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 5, а полусумма оснований равна 25, поэтому основания трапеции равны 20 и 30.

Предположим что BC = 30, AD = 20 (рис. 1). Стороны BС и АD треугольников МВС и MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом Значит,

Пусть теперь AD = 30, BC = 20 (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника MAD равен 6. Треугольник MAD и МВС подобны с коэффициентом Значит, радиус вписанной окружности треугольника МВС равен r = 6k = 4.

На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 6, AC = 4.

По теореме Пифагора

Пусть точка E лежит на луче AD. Медиана AD длиннее AE, и точка E лежит внутри треугольника ABC. Тогда

Опустим из точки перпендикуляр на прямую и рассмотрим подобные прямоугольные треугольники и Из подобия треугольников находим:

Следовательно,

Пусть теперь точка лежит между и В этом случае и Тогда

Ответ:

Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами равно a причем r Ответ: или

Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 2 : 3. Найдите угол A.

Точка D лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠CDA = 90°. Аналогично, ∠BDA = 90°. Следовательно, точка D лежит на прямой BC.

Возможны два случая: точка D лежит либо на отрезке BC (рис. 1), либо

на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка BC за точку C, так как угол ACB — острый.

Положим DB = 2t, DC = 3t. Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов то есть откуда

Во втором случае откуда

Поскольку BC Ответ:

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 14, а отношение катетов треугольника равно

Введем обозначения, как показано на рисунке: предположим, что отрезок отсекает от треугольника ABC треугольник ANM, обозначим точки касания окружности и прямых P, Q, R, S (см. рис. 1). Так как OQMR и OPCS — квадраты, MQ = PC = r, где r — радиус окружности. Кроме того, NQ = NP. Значит, NM = NC. Поскольку BN – биссектриса угла, треугольники NMB и NCB равны по гипотенузе и острому углу.

Пусть CB = 7x, а CA = 24x, тогда по теореме Пифагора находим гипотенузу AB = 25x, откуда AM = AB − BM = 25x − 7x = 18x.

Из подобия треугольников AMN и ACB получаем: тогда откуда

Найдём радиус окружности:

Если отрезок отсекает треугольник BMN (рис. 2), то, рассуждая аналогично, находим, что BM = 25x − 24x = x.

Из подобия треугольников ACB и NMB следует откуда получаем и

В этом случае

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Пусть окружность S с центром O и радиусом R пересекает стороны данного прямого угла в точках A и B, AC = 8, BC = 6, искомая окружность с центром Q касается сторон и BC угла ACB в точках N и K соответственно, а окружности S — в точке M.

Точка O — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, поэтому O — середина его гипотенузы AB.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки M, O и Q лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности S на прямую BC. Тогда OH — средняя линия треугольника ABC поэтому и а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то ∠QCK = 45°, поэтому CK = QK = r.

Опустим перпендикуляр QF из центра искомой окружности на прямую OH. Тогда

Предположим, что искомая окружность и окружность касаются внутренним образом. Тогда

Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ. По теореме Пифагора OQ 2 = OF 2 + QF 2 или

откуда находим, что

Если же искомая окружность касается данной внешним образом, то

Тогда из соответствующего уравнения (5 + r) 2 = (4 − r) 2 + (r − 3) 2 находим, что r = 24.

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

Заметим, что CB = CO = CD, поэтому вершина C — центр окружности, описанной около треугольника BOD. Аналогично, точки A и E — центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.

Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).

Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки OA, OC и OE за точки A, C и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках A₁, C₁, E₁. Тогда OA₁ = OC₁ = OE₁ = 14 — диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки A₁, C₁ и E₁, касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.

Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника BOD и внешним образом — описанных окружностей треугольников BOF и DOF. Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду OF. Тогда AM — высота равностороннего треугольника AOF, поэтому Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому

По теореме Пифагора или

Расстояние между параллельными прямыми равно На одной из них лежит вершина на другой — основание равнобедренного треугольника Известно, что Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника

Пусть — высота треугольника и — радиус и центр вписанной окружности, поэтому Найдем площадь, полу периметр и радиус вписанной окружности треугольника :

Тогда Кроме того, по теореме Пифагора

Пусть окружность с центром в точке касается боковой стороны равнобедренного треугольника и данных параллельных прямых. Радиус этой окружности равен поскольку он вдвое меньше расстояния между прямыми. Точку касания окружности с прямой обозначим

Пусть точки и лежат по разные стороны от точки (рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому и — биссектрисы смежных углов и соответственно. Значит, и поскольку эти углы образованы парами соответственно перпендикулярных прямых. Следовательно, прямоугольные треугольники и подобны с коэффициентом Поэтому

Пусть точки и лежат по одну сторону от точки (рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи и совпадают и являются биссектрисой угла Значит, прямоугольные треугольники и подобны с коэффициентом Тогда

Ответ:

Источник