На стороне ab треугольника abc взята точка d так что окружность проходящая

На стороне ab треугольника abc взята точка d так что окружность проходящая

На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой BC.

Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E — точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рис. а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же чторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30° находим, что

Так как OA = R и AP = 1, получаем: следовательно,

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠E = 60°, находим:

В результате получаем уравнение:

Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены. Получим уравнение R₁ = 1, R₂ = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка P (см. рис.).

Источник