На стороне bc треугольника abc отмечена точка n так что bn 2nc

Справочный буклет «Решение задач на применение теорем Менелая, Птолемея, Чевы», 8 класс

Задачи на применение теорем Менелая, Птолемея, Чевы

(прямая пересекает 2 стороны треугольника и продолжение третьей стороны)

Прямая К A пересекает две стороны

стороны BD треугольника BCD

(прямая ___ пересекает 2 стороны треугольника и продолжение третьей стороны )

(прямая ___ пересекает 2 стороны треугольника и продолжение третьей стороны )

Задача 1 (теорема Менелая) Артём Лазарев

В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы АD. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. Найдите отношение АК к КС.

Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны AD и AC и продолжение третьей стороны BC треугольника АDС. По теореме Менелая получаем:

Задача 2 (теорема Менелая) Кривякова Юля

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

По теореме Менелая:

Задача 3 (теорема Менелая) Олеся Конюхова

В треугольнике ABC на стороне BC взята точка N так, что NC=3BN; на продолжении стороны AC за точку А точка М так, что МА=АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найти отношение

2) Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третей. Согласно теореме Менелая имеем:

Отсюда получаем, что

Задача 4 (теорема Менелая) Юля Чижма

На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC = 1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части.

а) Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АN, AС, BM и BD равна 16.

а) Обозначим за O точку пересечения диагоналей параллелограмма, а за T — точку пересечения BM и AC.

По теореме Менелая для треугольника DBM и прямой OA имеем

Значит, MA : AD = 1 : 2, поэтому M — середина AD.

б) Обозначим за P — точку пересечения BM и AN, а за

Q — точку пересечения BD и AN. По условию S TPQO = 16.

По теореме Менелая для треугольника CBO и прямой NA имеем

, откуда BQ : QO = 2 : 3.

Поскольку AO — медиана треугольника ABD (по свойству параллелограмма), M — середина AD (по доказанному в пункте а), то теореме Менелая для треугольника AB D

откуда S BAO = 3S BTO = 3 • 20 = 60.

Задача 5 (теорема Менелая) Лиза Эрлих

б) Найдите площадь треугольника PRN, если известно, что площадь треугольника PQR равна 121 и QF:FL=8:3.

Пусть NA = LR = a, QF = km, LF = kn.

По теореме Менелая

По свойству площадей треугольников: если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся, как основания, то:

Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача 6 (теорема Птолемея) Станислав Пешков

Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность. На окружности отмечена точка М, не совпадающая ни с одной из точек А, В и С.

а) Докажите, что расстояние от точки М до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

а) Докажите, что расстояние от точки М

до одной из вершин треугольника равно

сумме расстояний до двух других вершин.

Пусть AB = BC = AC = a,

По теореме Птолемея:

что и требовалось доказать.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках А, В, С и М , если известно, что площадь равна а радиус окружности равен

По теореме косинусов:

AC² = AM² + MC² ‒ 2 AM • MC • cos120 ⁰ = AM² + MC² ‒ 2 AM • MC • (-0,5) =

a² + AM • MC = AM² + MC² + 2AM • MC

Задача 7 (теорема Птолемея) Потапова Полина

Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD.

а) Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.

а) Четырехугольник ABNM вписан в окружность и его стороны AM и BN параллельны, следовательно, ABNM ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда MN = AB, но CD = AB, значит, и четырехугольник CDMN ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) Пусть AD = x. Так как DK ― касательная к данной окружности, а DA ― секущая, то

По теореме Птолемея:

BM²=AB²+AM*BN

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Задача 6 (теорема Чевы) Пермякова Дарья

Нахождение длины чевианы

Длину чевианы можно найти по теореме Стюарта — длина чевианы d задаётся формулой:

Нахождение длины м едианы

Если чевиана является медианой (то есть делит сторону пополам), длина может быть определена по формуле:

Нахождение длины биссектрисы

Если чевиана является биссектрисой, её длина удовлетворяет формуле:

Сторона делится в пропорции

Нахождение длины высоты

Если чевиана является высотой, а потому перпендикулярна стороне, её длина удовлетворяет формулам:

Свойства отношений чевиан

Имеются различные свойства пропорций длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну общую внутреннюю точку. Для треугольника на рисунке справа выполняются равенства:

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно.

Центроид традиционно обозначается латинской буквой M

Традиционно обозначается латинской буквой I I

4) Точка пересечения биссектрис внешних углов — центр вневписанной окружности.

Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности.

Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.

Источник

На стороне bc треугольника abc отмечена точка n так что bn 2nc

Точка M – середина стороны BC треугольника ABC. Из вершины C опущен перпендикуляр CL на прямую AM (L лежит между A и М). На отрезке AM отмечена точка K так, что AK = 2LM. Докажите, что ∠BKM = ∠CAM.

Решение

На продолжении отрезка LM отметим точку N так, что NM = LM (см. рисунок). Тогда треугольники CLM и BNM равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, ∠BNM = ∠CLM = 90° и BN = CL.

Так как KN = KL + 2LM = KL + AK = AL, то равны прямоугольные треугольники BNK и ALC (по двум катетам). Следовательно, ∠BKM = ∠CAM.

Комментарий.Отметим, что возможен случай, когда точка L лежит на отрезке AK, но его можно не рассматривать, так как при таком расположении точек рассуждения аналогичны рассмотренным.

Источники и прецеденты использования

Источник