Наглядная геометрия что это

Познание

Автор: Соломатина Эльвира Разетдиновна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ СОШ №4
Населённый пункт: п.Ванино
Наименование материала: Факультативный курс
Тема: «Наглядная геометрия»
Раздел: среднее образование

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 4

городского поселения «Рабочий поселок Ванино»

Ванинского муниципального района

факультативного курса по математике для

Соломатина Эльвира Разетдиновна

Я думаю, что никогда до настоящего времени

мы не жили в такой геометрический период.

Все вокруг – геометрия.

Ле Корбюзье, начало ХХ века.

Данная рабочая программа факультативного курса ориентирована на учащихся 6

стандарта основного общего образования, авторской программы «Математика 5-6 класс.

Сборник рабочих программ ФГОС», автор Бурмистрова Т.А. М: Просвещение, 2014 г.

Программа разработана для преподавания курса математики по учебнику Шарыгин, И.Ф.

Наглядная геометрия. 5-6 кл.: М.: Дрофа, 2011. Основой данной рабочей программы по

В основе программы факультатива «Наглядная геометрия» лежит максимально

геометрическими объектами. В ней нет теорем, строгих рассуждений, но присутствуют

обоснований, к поиску тех или иных закономерностей. Данный курс дает учащимся 6

класса возможность получить непосредственное знание некоторых свойств и качеств

важнейших геометрических понятий, идей, методов, не нарушая гармонию внутреннего

мира ребенка. Соединение этого непосредственного знания с элементами логической

систематического курса геометрии, но и благотворно влияет на общее развитие детей, т.к.

составляющие его способностей.

деятельности детей, направленной на зарождение, накопление, осмысление и некоторую

обычном уроке математики. Такая ориентация подготовительного курса неслучайна, т.к. в

систематическом курсе вся геометрическая информация представлена в виде логически

математическое мышление детей, когда реальная база для осознания математических

абстракций должна быть уже заложена. Поэтому перед изучением систематического курса

которая и предусмотрена программой «Наглядная геометрия». Обучение геометрии

в 7 классе затрудняется тем, что каждому ребенку необходимо приспособиться к новому

предмету и новым уровням требований. Особенно много трудностей возникает у учащихся

при доказательстве теорем и решении практических задач. Многое зависит от того, как

поставит работу учитель в 6 классе, насколько он увлечет учащихся новым предметом.

систематических факультативных занятиях.

Общая характеристика учебного курса

Геометрия дает учителю уникальную возможность развивать ребенка на любой

стадии формирования его интеллекта. Три ее основные составляющие: фигуры, логика и

применимость позволяют гармонично развивать образное и логическое

творческой и практической деятельности.

Однако именно сочетание упомянутых составляющих становится для многих детей

непреодолимым препятствием успешному освоению предмета. Так, ученики VII класса

должны одновременно и знакомиться с новыми фигурами, усваивая их основные свойства,

сталкиваясь с необходимостью не только говорить, но и думать на новом для себя научном

языке. Поэтому разумное разделение этих трудностей способствует успешному усвоению

изучение курса геометрии.

представлений о фигурах (свойствах, классах, действиях и т.д.). Иначе эту ступень можно

рассматривать как визуальную (наглядную), а систему представлений – как набор образов,

готовых к актуализации в повседневной жизни, творчестве, познавательной деятельности,

в частности в дальнейших более серьезных занятиях геометрией. Это — ядро, сердцевина

геометрического образования, формируемое вне зависимости от программы, учителя,

отношения ученика к предмету.

природой и развиваются, начиная с первых дней его жизни. Школьная геометрия может и

универсально функциональной, непротиворечивой, пополняемой в процессе продолжения

образования. В школе это ядро наращивается за счет остаточных знаний при изучении

предмета, а в дальнейшем – за счет бытовых и профессиональных навыков и опыта,

являясь существенным элементом общей образованности и культуры.

абстрактных терминов, понятий, высказываний не только об объектах (фигурах), но и о

логических операциях, задачах и методах их решения, научных теориях. Эту ступень

геометрического образования удается преодолеть далеко не всем учащимся (особенно без

предварительного уверенного “взятия” первой ступени), и зачастую не столько из-за

отсутствия у них математических способностей, сколько из-за отсутствия мотивации в ее

чуждых его «гуманитаризированному» сознанию терминов и логических конструкций,

настолько скудна и бессвязна, что в целом можно говорить о «геометрическом коллапсе»,

геометрических представлений ученика почти не меняется по сравнению с дошкольным, а

пополняется лишь обрывками знаний, относимых нами ко второй ступени.

нацеленного на укрепление и совершенствование системы геометрических представлений,

адаптации учащихся к регулярному курсу геометрии, с другой — может обеспечить

изучения других предметов без нанесения ущерба развитию ребенка.

Цели курса «Наглядная геометрия»

Через систему задач организовать интеллектуально-практическую и исследовательскую

деятельность учащихся, направленную на:

развитие пространственных представлений, образного мышления, изобразительно

графических умений, приемов конструктивной деятельности, умений преодолевать

трудности при решении математических задач, геометрической интуиции,

познавательного интереса учащихся, развитие глазомера, памяти обучение правильной

формирование логического и абстрактного мышления, формирование качеств

личности (ответственность, добросовестность, дисциплинированность, аккуратность,

Задачи курса «Наглядная геометрия»

Вооружить учащихся определенным объемом геометрических знаний и умений,

необходимых им для нормального восприятия окружающей деятельности. Познакомить

учащихся с геометрическими фигурами и понятиями на уровне представлений, изучение

решении различных задач. Основными приемами решения задач являются: наблюдение,

Развитие логического мышления учащихся строения курса, которое, в основном,

соответствует логике систематического курса, а во-вторых, при решении соответствующих

задач, как правило, «в картинках».

На занятиях наглядной геометрии предусмотрено решение интересных головоломок,

занимательных задач, бумажных геометрических игр и т.п. Этот курс поможет развить у

ребят смекалку и находчивость при решении задач.

Приобретение новых знаний учащимися осуществляется в основном в ходе их

Источник

Программа «Наглядная геометрия» для 5–6-х классов

Разделы: Математика

О ПРОБЛЕМАХ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ:

1) В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Внедрение в практику начальной школы идей развивающего обучения нашло свое отражение не только в разработке новых концепций (Л.В. Занков, В.В.Давыдов) и в издании альтернативных учебников, но и в изменении действующих учебных планов начальной школы и введении новых курсов “Мир и человек ”, “Математика и конструирование” и др., целью которых является реализация идей развития младших школьников в процессе обучения.

Однако ни один из этих новых курсов не затрагивает так ощутимо содержание и методику обучения предмету, как курс “Математика и конструирование” (“Наглядная геометрия”). Это обусловлено тем, что введение данного курса повлекло за собой не только разработку новых современных методик обучения ребенка младшего школьного возраста, но и значительное обновление и расширение объема математических понятий и отношений.

Основной задачей такого курса в начальной школе является обучение младшего школьника моделированию пространственных отношений и формирование на этой основе геометрических понятий и представлений.

Мысль о том, что курс “Наглядной геометрии” был бы полезен в начальной школе, не является новой, но сложность ее реализации в существующем курсе математики для начальных классов долгие годы останавливала методистов и учителей. О необходимости введения такого курса настойчиво говорили психологи, среди которых был и американский педагог-психолог Д. Брунер. Он писал: “… Быть может, самым поразительным примером такого (традиционного) подхода является первоначальное изложение Евклидовой геометрии учащимся средней школы в виде ряда аксиом и теорем без всякой опоры на непосредственный опыт оперирования простыми геометрическими формами. Если бы ребенок раньше овладел понятиями и доступными ему способами действий в виде “интуитивной геометрии”, то он смог бы более глубоко усвоить смысл теорем и аксиом, которые ему объясняются позднее”.

Изучая геометрию, мы отвлекаемся от реальных объектов действительности: среди всех свойств рассматриваем только размеры, форму и положение в пространстве. Т.о., мы изучаем абстрактные модели каких-то реальных объектов.

Психологической особенностью детей младшего школьного возраста является преобладание наглядно—образного мышления, им сложно иметь дело с абстракциями. Восприятие же формы (основа распознания), формирующийся образ предмета складывается на основании объединения в комплекс тактильных, зрительных и кинестезических ощущений (двигательных, связанных с ощупыванием, поворачиванием и т.п.).

Метод действия с объектами предполагает построение курса “Математика и конструирование” (“Наглядная геометрия”) на основе системы практических работ (см. приложение), позволяющих детям научиться строить модель изучаемого пространственного соотношения, используя всевозможную вещественную наглядность (палочки, бечевку, бумагу, геометрические мозаики, конструкторы разных типов и т. д.), либо пользуясь графикой (схемой, чертежом). Такую деятельность называют моделированием.

Действие моделирования является как раз тем общим способом действий, который отражает специфику математического описания действительности. Если человек умеет построить какую-либо модель изучаемого предмета, процесса, явления, ситуации, отношения и описать ее на математическом языке, значит, он обладает тем, что мы называем математическим мышлением.

В процессе построения курса не считаю необходимым строго следовать логике построения Евклидовой геометрии, т.к. полагаю, что этот урок не должен превращаться в урок геометрии. Геометрический материал осваивается ребенком в ходе выполнения конструкторских заданий, геометрическое обобщение выступает в виде результата решения конструктивной задачи.

Моделируя пространственные отношения наиболее доступным для этого возраста способом, с опорой на наглядно-образное мышление, практическую деятельность и кинестезические ощущения (проводя пальцем по прямому острому сгибу бумаги, который в любом случае будет слегка шероховатым, ребенок закрепляет представление о прямой линии на тактильном уровне) ученик легко усваивает начальные геометрические сведения. Использование линейки, карандаша и линованной бумаги в тетради для проведения этой работы менее эффективно, т.к. ученики не осмысливают самого понятия “прямая линия”, имея перед глазами разлинованную поверхность – они даже точки стараются ставить на перекрестке линий (в “узлах”), а сгибание проводят, ориентируясь на разлиновку страницы. Кроме этого, приходится тратить много времени на обучение правильному пользованию линейкой и карандашом, без которых на данном этапе вполне можно обойтись.

Если же учесть, что полученные в начальных классах элементарные навыки построения и измерений сохраняются у учащихся на долгие годы, то становится ясной значимость формирования этих навыков именно в этот период.

Обобщая все выше сказанное, можно сделать следующий вывод: в I—IV классах происходит накопление простейших геометрических представлений у учащихся, овладение элементарными навыками использования линейки, циркуля, чертежного угольника, транспортира, ознакомление с некоторыми геометрическими терминами. Это достигается путем систематически проводимых практических работ. Уже в этих классах учащиеся постепенно готовятся к пониманию роли определений. Происходят первые попытки отыскания “названия” некоторым геометрическим фигурам: треугольнику, четырехугольнику, пятиугольнику. Но задача поисков формулировки определений еще не ставится.

2) В 5-6 КЛАССАХ

Логическим продолжением приведенных выше соображений о методике и содержании курса “Наглядная геометрия” очевидно, должно явиться создание соответствующего курса для 5-6 классов.

Главная проблема состоит в том, что для этого возраста необходимо создать специальный курс геометрии, соответствующий огромной активности и большим возможностям, присущим ученикам 5-6 классов.

Очень важно отметить, что нельзя с 1—по 6 класс по геометрии учить “чему-нибудь и как-нибудь”. Должна быть построена четко спланированная, продуктивная, интересная работа по усвоению геометрических знаний, которая к 11 классу даст свой результат.

Основываясь на положениях психологов о том, что у детей младшего школьного возраста наиболее развитым является наглядно-образное мышление и, используя учебники И. Ф. Шарыгина, Л. Н. Ерганжиевой “Наглядная геометрия” и “Геометрия для младших школьников” (из серии МПИ), я составила программу изучения геометрии в 5-6 классах, по которой работаю с 1997 года. Программа рассчитана на 34 часа в 5 классе и на столько же в 6 классе. Ее цель – подготовить учащихся к овладению систематическим курсом геометрии. Тогда в 7 классе можно четко поставить задачу – выстроить уже знакомый материал так, чтобы удалось доказать справедливость уже известных фактов и других, пока неизвестных. Конечно, и сам курс “Наглядная геометрия” или “Введение в геометрию” (название роли не играет) должен быть логичным, чтобы не появлялось в нем немотивированных понятий.

Пояснительная записка.

В основе курса “Наглядная геометрия” должна лежать максимально конкретная, практическая деятельность ребенка, связанная с различными геометрическими объектами. В нем не должно быть теорем, строгих рассуждений, но должны присутствовать такие темы и задания, которые бы стимулировали учащегося к проведению несложных обоснований, к поиску тех или иных закономерностей.

Данный курс дает возможность получить непосредственное знание некоторых свойств и качеств важнейших геометрических понятий, идей, методов, не нарушая гармонию внутреннего мира ребенка. Соединение этого непосредственного знания с элементами логической структуры геометрии не только обеспечивает разностороннюю пропедевтику систематического курса геометрии, но и благотворно влияет на общее развитие детей, т.к. позволяет использовать в индивидуальном познавательном опыте ребенка различные составляющие его способностей.

Эта программа основана на активной деятельности детей, направленной на зарождение, накопление, осмысление и некоторую систематизацию геометрической информации. Такая ориентация подготовительного курса неслучайна, т.к. в систематическом курсе вся геометрическая информация представлена в виде логически стройной системы понятий и фактов. Но пониманию необходимости дедуктивного построения геометрии предшествовал долгий путь становления геометрии, начало которого было связано с практикой. Кроме того, изучение систематического курса геометрии начинается в том возрасте, когда интенсивно должно развиваться математическое мышление детей, когда реальная база для осознания математических абстракций должна быть уже заложена. Поэтому перед изучением систематического курса геометрии с учащимися необходимо проводить большую подготовительную работу, которая и предусмотрена программой “Наглядная геометрия”.

Тематическое планирование материала:

Можно сделать главный вывод: учащимся 5 класса доступен предлагаемый геометрический материал. Хотя в 5-6 классах обучение и остается наглядным, но расширяется круг изучаемых геометрических фигур, и начинается целенаправленная работа по формированию навыков дедуктивного мышления. Особое внимание уделяется формулировкам выводов из наблюдений. Появляются простейшие дедуктивные умозаключения, первые теоремы и их доказательства.

Источник

Роль наглядной геометрии

Очень часто в старших классах учащиеся на уроках геометрии затрудняются сделать рисунок к задаче, читают условие и не понимают, как перенести данные на рисунок, особенно это относится к задачам по стереометрии или сложным задачам по планиметрии. Давайте проанализируем.

Содержимое разработки

РОЛЬ НАГЛЯДНОЙ ГЕОМЕТРИИ В РАЗВИТИИ

ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ РЕБЕНКА.

Очень часто в старших классах учащиеся на уроках геометрии затрудняются сделать рисунок к задаче, читают условие и не понимают, как перенести данные на рисунок, особенно это относится к задачам по стереометрии или сложным задачам по планиметрии.

Попробуем проанализировать, как развивается пространственное воображение у ребенка и вообще можно ли его развить.

С рождения ребенка окружают геометрические фигуры и тела. Родители, сами того не замечая, играя с ребенком, называют фигуры и подбирают определения, понятные ребенку, рисуют и лепят, вырезают и строят модели с использованием геометрических тел (кубиков, пирамидок, шариков, цилиндров, конусов).

Ребенок лепит, к примеру машинку, мама ему помогает, рассказывает, что для того чтобы вылепить колесо, надо сначала скатать шарик. Да, это сложно сделать маленьким детям, но если с мамой весело играть и она очень интересно рассказывает, то и дальше хочется послушать, а как же получить из шарика колесо, а всего-то и надо с двух сторон приплюснуть. Но ведь при этом получается только шина, а еще надо вставить диск. А если предложить нарисовать колесо. Ребенок видит объемную часть машины в данном случае из пластилина, а нарисовать надо на листе, т.е. на плоскости. Не надо торопиться и все это делать на одном занятии. Главное, ребенка заинтересовать, и все, что мы ему рассказываем, должно быть доступно и понятно. В шутливой форме многие понятия воспринимаются легче.

Всем известно, что дети очень точно могут описать какое-нибудь явление или событие. Мне очень нравится, как они в свои неполные 4 года выслушивают наши объяснения, чем же отличается кружок от квадрата. Мне, например, мой внук Егор сказал: «Еще математик, а не знаешь, что круг-то катится, а квадрату углы мешают катиться!» И так ему весело было, и был он собой очень доволен, а потом взял фигурки из игры и наглядно показал мне, как катится кружок и почему не может катиться квадратик. И сказал: «Теперь понимаешь?»

По большому счету, я ликовала, потому что это такой скачок в его воображении и в его развитии: он не только сам убедился в правильности своих рассуждений, но еще и объяснил, продемонстрировал мне это явление наглядно. Такие моменты должны быть как вспышки, кратковременные, не затянутые и очень интересные.

В начальной школе познавательные занятия проводят систематически и по развитию пространственного воображения, в том числе, переходя постепенно от геометрических фигур к геометрическим телам: шарикам, кубикам, конусу, пирамидке, цилиндру. Детей учат распознавать их, лепить, рисовать, а иногда даже склеивать кубики по готовым разверткам. Нельзя надолго прерывать эти занятия, к ним надо постоянно возвращаться, особенно в игре. Геометрия связывает работу двух полушарий головного мозга.

В моей практике был печальный случай с моим учеником-восьмиклассником. Он попал в аварию, у него была травма, связанная с основанием черепа. Ребенка заново учили ходить, разговаривать, читать и писать. Когда он смог посещать школу, конечно, индивидуальные занятия, мы с ним довольно быстро восстановили вычислительные навыки, некоторые алгоритмы решения уравнений и задач, но построение графиков и геометрические построения практически не восстанавливались. По формуле площадь квадрата считалась, а сам квадрат рисовался только с моей помощью.

Итак, сколько труда стоит воспитателям детских садов и учителям начальной школы, чтобы ребенок своими пальчиками «прокладывал» путь в неизвестное для него пространство. И если в 5-6 классах не продолжить изучение наглядной геометрии, то в 7 классе она «свалится» на голову семиклассников аксиоматикой и теоремами и перекроет намертво интерес к геометрическим явлениям в жизни, и далеко не каждый ребенок сможет в дальнейшем решать простейшие геометрические задачи.

Можно много приводить примеров, как развивать пространственное воображение у ребенка. И я очень надеюсь, что смогла вас убедить, что это необходимо не только для успешного обучения геометрии, но и для дальнейшей творческой деятельности человека.

Вот то немногое, чем мне хотелось поделиться с коллегами, а может, и родителей что-то заинтересовало.

С уважением учитель математики высшей категории МКОУ ”СОШ №17” имени героя России Шендрика В.Г. г.Миасс Челябинской области.

Источник

Наглядная геометрия

Предисловие главного редактора Портала Знаний:

Мы предлагаем вашему вниманию замечательную книгу Гильберта и Кон-Фоссена «Наглядная геометрия».

Самым замечательным в этой книге является то, что сложные рассуждения можно увидеть зрительно и решение сложной задачи получается непосредственно из чертежа или графика. Традиция видения решения идет от древних греков.

Такие геометрические представления очень полезны в современной аналитике.

Мы дополнили книгу несколькими задачами, позволяющими читателю поупражняться в проведении рассуждений.

Надеемся, что чтение избранных глав этой прекрасной книги доставит удовольствие читателям.

Если читатель по-настоящему увлечется геометрией, то можно познакомиться с несколькими главами из книги Евклида, отрывки из которой тоже можно найти на нашем портале.

Предисловие автора

В нашей книге это очень часто проявляется. При большом разнообразии материала было все же необходимо придать каждой отдельной главе известную законченность и в последующих главах не предполагать полного знания предыдущих; путем отдельных маленьких повторений мы надеялись достигнуть того, что каждая отдель­ная глава, а иногда даже отдельные разделы представ­ляют интерес сами по себе и в отдельности доступны пониманию читателя. Пусть читатель прогуливается в ог­ромном саду геометрии, в котором каждый может соста­вить себе такой букет, какой ему нравится.

Основу этой книги составили четырехчасовые лекции «Наглядной геометрии», которые я читал зимой 1920/21 г. в Геттингене и которые обработал В. Роземан. В ос­новном содержание и построение их остались неизмен­ными. В деталях С. Кон-Фоссен многое переработал и частично расширил.

Геттинген, июнь 1932 г.

Глава I

Простейшие кривые и поверхности

Плоские кривые

Простейшая поверхность — плоскость, простейшие кривые — плоские кривые, простейшая среди последних — прямая.

Пря­мую можно определить либо как кратчайший путь между двумя точками, либо как линию пересечения двух плоскостей, либо как ось вращения.

Следующей — в порядке возрастания сложности — кривой является окружность. Уже эта кривая послужила исходной точкой для столь многочисленных и столь глубоких исследований, что они могли бы сами по себе заполнить содержание целого курса.

Мы определяем окружность как кривую, все точки которой отстоят на равном расстоянии от данной точки. Мы получаем окружность общеизвестным по­строением при помощи циркуля или на­тянутой нити.

Самое построение наглядно показывает, что окружность есть замкнутая, на всем протяжении выпуклая кривая; по­этому через каждую точку окружности можно провести определенную прямую — касательную, имеющую с окружностью только одну общую точку, точку касания, а в остальной части лежащую целиком вне окружности (рис. 1).

Радиус МВ, проведенный в точку касания , должен быть кратчайшим расстоянием от центра М круга до касательной ибо все точки последней, за исключе­нием точки касания, лежат вне круга и, следовательно, отстоят от центра дальше, чем точка касании.

Отсюда далее следует, что этот радиус перпендикулярен к касательной. Для доказатель­ства построим зеркальное изображение центра относительно прямой , т. е. опустим перпендикуляр из точки М на прямую и продолжим его на равное расстояние до точки ; тогда на­зывается зеркальным изображением точки . А так как есть кратчайшее расстояние от до , то из соображений симметрии также должно быть кратчайшим расстоянием от до

Следовательно, должно быть кратчайшим расстоянием между и , и, значит, линия не может иметь излома в точке , т. е. действительно является перпендикуляром к

Само собой напрашивается обобщение построения окружности, а именно: при построении окружности с помощью нити мы брали связанную нить, закрепляли ее конец в неподвижной точке, центре круга, и, натягивая нить, вычерчивали кривую.

Если же закрепить связанную нить не в одной, а в двух точках, то мы получим кривую, похожую на окружность, называемую эллипсом.

Точки закрепления нити называются фокусами эллипса.

Построение с помощью нити показывает, что эллипс можно оп­ределить как кривую, точки которой имеют постоянную сумму расстояний от двух данных точек.

Сближая фокусы, мы полу­чим окружность как предельный случай эллипса.

Задача от главного редактора: как вы думаете, если направить луч из центра окружности, куда он отразится, если окружность представляет собой зеркало?

Вы направляете луч из фокуса зеркального эллипса, куда отразится этот луч?

Представляя кривые зеркалами, попробуйте решить такие же задачи с другими кривыми, описанными в книге.

Всем упомя­нутым свойствам окружности соответствуют простые свойства эллипса.

Эллипс также замкнут, всюду выпуклый и имеет в каждой своей точке касательную, которая, за исключением точки касания, целиком лежит вне эллипса.

Радиусам окружности соответствуют в эллипсе две прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами. Они называются радиусами-векторами точки эллипса.

Тому факту, что касательная к окружности перпендикулярна‚ радиусу в точке касания, соответствует в случае эллипса то, что касательная образует равные углы с радиусами-векторами, проведенными в точку касания.

Это утверждение означает, что на рис. 2:

Для доказательства (рис. 3) построим зеркальное изображение точки относительно касательной и обозначим его. Прямая , которая пересекается с касательной в некоторой точке, есть кратчайшее расстояние между и .

Следовательно, есть кратчайший путь от к , имеющий общую точку, с касательной, ибо для всякой иной точки касательной будет больше, чем .

С другой стороны, кратчайший путь между и , имеющий общую точку с касательной, образуют радиусы-векторы, проведенные в точку касания , ибо всякая другая точка касательной, как расположенная вне эллипса, имеет большую сумму расстояний от фо­кусов, чем точка эллипса; значит, точки и совпадают, а отсюда и вытекает наше утверждение, ибо и располо­жены симметрично относительно прямой , а есть вертикальный для .

Это свойство касательной к эллипсу находит применение в оптике, чем и объясняется название «фокусы».

Именно, если поместить источник света в одном фокусе, толучи, зеркально отраженные от эллипса, со­берутся в другом фокусе.

Не так легко, как построение эллипса, хотя принципиально столь же просто, по­строение кривой, у которой разность рас­стояний ее точек от двух неподвижных то­чек постоянна.

Соответственно этому гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Вид гиперболы наглядно показывает, что кривая эта всюду выпукла и имеет ка­сательную во всякой точке.

Ниже (с. 17, примечание) будет показано, что и в случае гиперболы касательная к кривой имеет с этой кривой только одну общую точку – именно точку прикос­новения. Так же, как и в случае эллипса, можно показать, что касательная к гиперболе делит пополам угол между радиусами-векторами, проведенными в точку касания (рис. 6, с. 13).

Из эллипса с помощью предельного перехода можно полу­чить новую кривую – параболу (рис. 5). Для этого оставим один фокус, например и ближайшую к нему вершину эллипса неподвижными (вершинами эллипса называются точки пересечения кривой с прямой, соединяющей ее фокусы).

Будем теперь рассматривать эллипсы, получающиеся при перенесении второго фокуса все далее от точки на продолжение прямой ; эти эллипсы стремятся к некоторой предельной кривой, которая и есть парабола.

Из самого предельного перехода можно вывести простое определение параболы.

Именно, при вычерчивании эл­липса с помощью нити мы можем заметить, что если карандаш находится вблизи точки S (рис. 5), то при достаточно большом расстоянии между и отрезок нити, соединяющей карандаш с точкой , почти параллелен линии.

Следовательно, если в некоторой точке прямой восстановить перпендикуляр к , то приближенно будем иметь:

(где — основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую ). Если теперь ввести новую постоянную, равную

( имеет постоянное значение для каждой кривой), то будем иметь:

Это соотношение будет удовлетворяться с тем большей точностью, чем расстояние , а для предельной кривой оно будет вполне точно.

Таким образом парабола есть кривая, для точек которой сумма расстояний от некоторой определенной точки и некоторой определенной прямой постоянна или (что приводит к тому же) такая кривая, точки которой отстоят на рав­ном расстоянии от некоторой постоянной точки и некоторой постоянной прямой.

Мы получим эту последнюю прямую, если про­ведем прямую, параллельную и расположенную по другую сторону от точки на расстоянии, равном : она называется директрисой параболы.

Если вообразить, что парабола представляет собой отражающее зеркало, то она должна отражать все лучи, падающие параллельно , в точку ; это также следует из предельного перехода.

Мы рассмотрели семейство эллипсов, имеющих общую вер­шину и общий ближайший к этой вершине фокус. Теперь рас­смотрим семейство всех эллипсов, имеющих общие фокусы.

В каждой точке (за исключением фо­кусов) касательные к проходящим через эту точку двум кривым — эллипсу и гиперболе — делят пополам угол между радиусами-векторами взятой точки и смежный с ним угол; следовательно, ка­сательные эти взаимно перпендикулярны.

Таким образом софокусные эллипсы и гиперболы образуют два «взаимно ортогональных семейства кривых» (два семейства называются ортогональными, если каждая кривая одного семейства пересекает каждую кри­вую другого семейства под прямым углом; угол пересечения двух кривых определяется как угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке пересечения).

Теперь, чтобы получить наглядное представление о нашей системе кривых (рис. 7), начнем с прямой, перпендикулярной к отрезку , проходящей через его середину, и затем рассмотрим семейство гипербол.

Мы видим, что гиперболы становятся все более сжатыми и, наконец, переходят в полупрямые, служа­щие продолжением отрезка вправо и влево.

При этом пло­скость целиком заполняется гиперболами.

Теперь мы переходим к самому отрезку , к которому непосредственно примыкают сперва очень сжатые эллипсы, кото­рые затем постепенно становятся все более округлыми и вместе с тем безгранично растут. Таким образом мы вторично заполняем всю плоскость.

Другой, и притом исключительно простой, пример взаимно ортогональных семейств кривых представляют концентрические окружности и прямые, проходящие через их общий центр. Эту систему можно получить из предыдущей путем предельного перехода, заставляя сближаться оба фокуса.

Наконец, упомянем другое построение с помощью нити, приводящее к ортогональным семействам.

Возьмем конец нити, навернутой на какую-нибудь выпуклую кривую, например на окружность, и станем разматывать нить, все время натягивая ее (рис. 8). Тогда конец нити опишет «эвольвенту» окружности.

Эта кривая описывает один за другим витки вокруг окружности представляя собой, таким образом, спираль. Само построение наглядно показывает, что кривая перпендикулярна к одной из двух касательных к окружности, которые можно провести из какой-либо точки кривой.

Все последующие витки эвольвенты также пересекают эту касательную под прямым углом, причем отрезок касательной между двумя последующими витками эвольвенты имеет постоянную длину и равен как раз длине взятой окружности.

Можно получить бесконечное множество эвольвент той же самой окружности, если при разматывании нити начать с других точек окружности.

Но все эвольвенты могут быть получены так­же из одной эвольвенты путем вращения ее вокруг центра окружности. Семейство эвольвент покрывает всю плоскость за исключением внутренности круга однократно и непрерывно. Оно ортогонально к семейству полупрямых, касательных к окружности, взятых в определенном направлении обхода окружности.

И вообще для любого заданного семейства прямых ортого­нальное семейство состоит из эвольвент.

Образующая их кривая – та, которую (как в нашем примере окружность) огибают прямые заданного семейства.

Мы вернемся еще к этому в дифференциальной геометрии (гл. IV) и кинематике (гл. V).

[1] Отрезок прямой, соединяющий оба фокуса, представляет также эллипс (особенный, выродившийся). Этот эллипс получается, если принять за значение суммы расстояний длину отрезка прямой, соединяющей фокусы.

[2] Прямая, проходящая через оба фокуса, если из неё выбросить отрезок, соединяющий фокусы, есть вырожденная гипербола, точно так же как прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему фокусы, и проходящая через его середину; для этой последней разность расстояний имеет постоянное значение – нуль.

Источник