Накрест лежащие углы что это

Геометрия. Урок 2. Углы

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этоНакрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Источник

Внутренние накрест лежащие углы

Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.

Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.

Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этоНакрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этоЕсли a ∥ b, то

∠1 = ∠2

∠3 = ∠4

(как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это∠1=∠2.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

Источник

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Соответственные углы равны, то есть

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Источник

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этоНакрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этоНакрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этоНакрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это(Рис.8).

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Докажем, что Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это. Тогда Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этои Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это.

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этоозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это(Рис.11).

Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это. Тогда из Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этои Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этоследует, что Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это. Из Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этои Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что этоследует, что Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Накрест лежащие углы что это. Смотреть фото Накрест лежащие углы что это. Смотреть картинку Накрест лежащие углы что это. Картинка про Накрест лежащие углы что это. Фото Накрест лежащие углы что это

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *