Найдите наименьший номер n такой что
Алгоритм поиска наименьшего N такой, что N! делиться на основную подняли к власти
существует ли эффективный алгоритм вычисления наименьшего целого числа N, такого, что N! делится на p^k, где p-относительно небольшое простое число, а k-очень большое целое число. Другими словами,
Если, учитывая N и p, я хотел найти, сколько раз p делится на N!, Я бы использовал известную формулу
Я сделал поиск грубой силы для небольших значений k, но этот подход очень быстро ломается по мере увеличения k, и, похоже, быть шаблон, который я могу экстраполировать на большие значения.
редактировать 6/13/2011
Если вычисленный k был слишком мал, я отрегулировал нижнюю границу и повторил. Слишком большой, я сначала проверил, был ли K, вычисленный в средней точке-1, меньше желаемого k. Если это так, средняя точка была возвращена как ближайшая N. В противном случае я отрегулировал высокую точку и повторил.
Если вычисленный k был равен, я проверил было ли значение в средней точке-1 равно значению в средней точке. Если это так, я настроил верхнюю точку на середину и повторил. Если средняя точка-1 была меньше желаемого k, средняя точка возвращалась в качестве желаемого ответа.
даже при очень больших значениях для k (10 или более цифр) этот подход работает со скоростью o(n log(n)).
4 ответов
OK это своего рода весело.
напишите k в виде забавной «базы», где значение позиции i-это f(i).
вы делаете это от наиболее значимой до наименее значимой цифры. Итак, сначала найдите наибольшее j такое, что f (j)
для этого остатка 1 Найдите фактор и остаток 1 / f(1). Частное 1, остаток равен нулю, поэтому мы сделали.
у меня есть объяснение на бумаге, почему это работает, но я не уверен, как передать его в тексте. Обратите внимание, что f (i) отвечает на вопрос: «сколько факторов p существует в (p^i)!». Как только вы найдете самое большое i, j такое, что j*f(i) меньше k, и поймете, что на самом деле вы находите самое большое j*p^i меньше N, остальной вид выпадает из стирки. В нашем примере р=3, например, мы получаем 4 р, внесенных продуктом 1-9, еще 4, внесенных продуктом 10-18, и еще один, внесенный 21. Эти первые два являются кратными p^2; f (2) = 4 говорит нам, что каждое кратное p^2 вносит 4 больше p в товар.
код всегда помогает прояснить. Сохраните следующий скрипт perl как foo.pl и запустите его как foo.pl
. Обратите внимание, что ** является оператором возведения в степень Perl, bdiv вычисляет фактор и остаток для BigInts (целых чисел с неограниченной точностью) и use bigint говорит Perl использовать BigInts везде.
Почему бы вам не попробовать двоичный поиск ответа, используя вторую формулу, которую вы упомянули?
вам нужно только рассмотреть значения для N, для которых p делит N, потому что если это не так, то N! и (N-1)! делятся на одну и ту же силу p, поэтому N не может быть наименьшим.
и игнорировать простые факторы, отличные от p. Результат выглядит как
Итак, мы пытаемся найти наименьшее n такое, что
что если я помните, что квадратичное уравнение справа дает нам
(П. С. кто-нибудь знает, как показать Радикальной символ в уценке?)
это неправильно. посмотрим, смогу ли я спасти его.
Найдите наименьший номер n такой что
Задача 1:
На множестве целых чисел определена операция *. Известно, что для любых целых a,b,c выполняются следующие условия:
Задача 2:
Точки K и M – середины диагоналей вписанного четырехугольника ABCD, а точки Lи N – середины сторон BC и AD соответственно. Описанная окружность треугольника KLM вторично пересекает сторону BC в точке L′, а описанная окружность треугольника KMN вторично пересекает сторону AD в точке N′. Докажите, что прямая KM делит отрезок L′N′ пополам.
Задача 3:
Последовательность задана условиями a 1 = 1; a n = a n – 1 – n, если a n – 1 > n; в противном случае a n = a n – 1 + n. Найдите наименьший номер n такой, что a n = 2000.
Задача 4:
Пусть n ≥ 2 – натуральное число. Докажите, что
Задача 5:
Найдите все такие многочлены P(x)) с целыми коэффициентами, что P(n – 1) + P(n + 1) делится на P(n) для бесконечного множества натуральных n.
Задача 6:
Двое играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой полосе ширины 1. Первый ходит одним крестиком, второй – сотней ноликов (не обязательно подряд). Цель первого – получить три крестика, один из которых стоит точно посередине между двумя другими, цель второго – помешать первому это сделать. Какого минимального числа ходов достаточно первому для того, чтобы обеспечить себе победу независимо от ходов второго?
Задача 7:
В связном графе 4nвершин, степень каждой вершины равна трем. Докажите, что количество способов раскрасить ребра этого графа в три цвета так, чтобы в каждой вершине сходились ребра разных цветов, не превосходит 3 2³n.
Задача 8:
Дан пятиугольник ABCDE в котором AB = BC и ∠ A = ∠ C = 90. Точка Fна стороне ED такова, что 
. Докажите, что ∠ ACF = ∠ ABE.
Задача 9:
С рядом из нулей и единиц разрешается проделывать такую операцию: несколько (может быть, ни одного) идущих подряд с начала последовательности нулей заменить на единицы, а следующий за ними знак заменить на противоположный (1 на 0, а 0 на 1). За какое наименьшее количество таких операций из 20 единиц можно получить одни нули?
Задача 10:
Докажите, что сумма квадратов всех делителей натурального числа n (включая 1 и n) не может равняться (n+1)².
Найдите наименьший номер n такой что
`|x_n-a| oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.
Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.
Пусть выбрано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|x_n-c| k` имеет место неравенство `|x_n-c| oo)x_n=c`.
В разобранном примере число `k` удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех `epsilon`. Такой случай не типичен.
Доказать, что `lim_(n->oo)1/n=0`.
Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Имеет ли предел последовательность `(x_(n+1))`?
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o`. Можно ли утверждать, что найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`?
Да. Поскольку `lim_(n->oo)x_n=a`, то по определению предела для любого положительного числа `alpha`, а следовательно, и для `alpha=epsilon//2`, найдётся число `k`, такое что `|x_n-a|k`.
Сформулируем необходимое условие существования предела.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказать, что последовательность `x_n=(-1)^n` не имеет предела.
Предположим противное, т. е. какое-то число `a` является пределом этой последовательности. Тогда для `epsilon=1` найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`. Пусть номер `N>k`, тогда `|x_N-a| oo)y_n!=0`). При этом
Ограничимся доказательством пункта 2. Фиксируем произвольное `epsilon>0`. Нам нужно показать, что существует такое число `k`, что `|x_ny_n-ab| k`. По теореме 2.1 последовательности `(x_n)` и `(y_n)` ограничены; тем самым найдётся такое `C>0`, что `|x_n| k_1`, а также число `k_2` такое, что `|y_n-b| k_2`. Если положить `k=max
`|x_ny_n-ab| oo)cx_n=clim_(n->oo)x_n` для любого `cinR`.
В самом деле, рассмотрим последовательность `y_n=c`. Поскольку `lim_(n->oo)y_n=c` (пример 2.1), то по пункту 2 теоремы 2.2
Показать, что `lim_(n->oo) 1/(n^2)=0`.
Поскольку `lim_(n->oo) 1/n=0`, то по пункту 2 теоремы 2.2
`lim_(n->oo) 1/(n^2)=lim_(n->oo) 1/n*lim_(n->oo) 1/n=0`.
Теорему 2.2 можно обобщить на произвольное (конечное) число слагаемых (сомножителей). В частности, `lim_(n->oo)1/n^m=0` для любого `m inN`.
Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `x_n`. В числителе и знаменателе `x_n` стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру 1.6). По теореме 2.1 они не имеют предела и теорема о пределе частного (теорема 2.2 3)) «напрямую» здесь неприменима. Поступим следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую степень `n`. По формулам сокращённого умножения `(n+2)^3-n(n-1)^2=8n^2+11n+8`, так что `x_n` можно переписать в виде:
Теперь в числителе и знаменателе `x_n` стоят сходящиеся последовательности:
По пункту 3 теоремы 2.2
Следующее полезное свойство пределов известно под названием теоремы о «зажатой» последовательности.
Для данного `epsilon>0` существует такое число `k_1`, что члены `x_n` лежат в интервале `(a-epsilon, a+epsilon)` при всех `n>k_1`, и существует такое число `k_2`, что члены `z_n` лежат в интервале `a-epsilon;a+epsilon)` при всех `n>k_2`. Положим `k=max
Попробуем «зажать» `x_n` между членами последовательностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 2.3.
`sqrt(n^2+n) 1/(n+1) iff n/(sqrt(n^2+n))>n/(n+1)`.
Учитывая `n/(sqrt(n^2+1)) oo)n/(n+1)=1` и `lim_(n->oo)1=1`, по теореме 2.3 `lim_(n->oo)x_n=1`.
Если для любого `n inN`, `n>=n_0` выполняется неравенство `a_n oo)a_n=a`, `lim_(n->oo)b_n=b`, то `a b`. По определению предела для `epsilon=(a-b)/2` найдутся такие `k_1`, `k_2`, что для `n>k_1` выполняется `|a_n-a| k_2` выполняется `|b_n-b| k` имеем `b_n oo)1/n=0`.
В теории пределов важную роль играет следующий факт.
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты означает, что числовая ось является «сплошным» множеством, множеством без «дырок».
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
Последовательность. Ограниченность и монотонность последовательности. Предел последовательности.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Критерий Коши.
Принцип Больцано-Вейерштрасса.
Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
Примеры.
В задачах 1.213, 1.215 написать первые пять членов последовательности:
Решение.
Решение.
Решение.
Из условия запишем:
Продолжая данный ряд, находим общий член последовательности:
Решение.
Из условия запишем:
Решение.
Из условия запишем:
Решение.
Решение.
Запишем несколько первых членов последовательности:
1.229. Используя логическую символику записать следующие высказывания, а так же их отрицания:
а) последовательность ограничена;
Решение.
$$\exists A>0;\,\,\, \forall n\in N (|x_n|\leq A).$$
$$\forall A>0;\,\,\, \exists n\in N (|x_n|>A).$$
б) последовательность монотонно возрастает;
Последовательность монотонно возрастает:
$$\exists n\in N (x_n\geq x_
$$\forall\varepsilon>0 \exists n\in N (|x_n-a|
$$\exists\varepsilon>0 \forall n\in N (|x_n-a|\geq \varepsilon).$$
Информатика ЕГЭ 15 задание разбор
15 задание ЕГЭ «Основные законы алгебры логики»
15-е задание: «Основные законы алгебры логики»
Уровень сложности — повышенный,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 5 минут.
Проверяемые элементы содержания: Знание основных понятий и законов математической логики
Плейлист видеоразборов задания на YouTube: 
Задания с множествами
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
Ответ: 12
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
Ответ: 18
Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A .
Ответ: 7
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Ответ: 1
Задания с отрезками на числовой прямой
Отрезки на числовой прямой:
На числовой прямой даны два отрезка: P=[44,48] и Q=[23,35].
Укажите наибольшую возможную длину отрезка А, для которого формула
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.
Ответ: 4
✎ Решение 2 (программирование):
Внимание! этот способ подходит НЕ для всех заданий с отрезками!
Python:
def f(a1,a2,x): return((44 maxim: maxim=a2-a1 print(a1,a2, a2-a1) # сами точки отрезка и длина
PascalABC.net:
Отрезки на числовой прямой:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [30,40].
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.
Ответ: 10
Отрезки на числовой прямой:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 20] и Q = [6, 12].
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.
Ответ: 8
Далее возможно 2 способа решения.
✎ 2 способ:
После того, как мы избавились от импликации, имеем:
Отрезки на числовой прямой:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [11, 21] и Q = [15, 40].
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.
Ответ: 19
Задания с ДЕЛ
Поиск наибольшего А, известная часть Дел ∨ Дел = 1
Для какого наибольшего натурального числа А формула
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Ответ: 8
Далее можно решать задание либо с помощью кругов Эйлера, либо с помощью логических рассуждений.
Решение с помощью логических рассуждений:
Решение с помощью кругов Эйлера:
Результат: 8
✎ Решение 2 (программирование):
Python:
for A in range(1,500): OK = 1 for x in range(1,1000): OK *= ((x % 40 == 0) or (x % 64 == 0))
Поиск наименьшего А, известная часть Дел ∧ ¬Дел = 1
Для какого наименьшего натурального числа А формула
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Ответ: 3
Избавимся от импликации:
✎ Решение 2 (программирование). Язык Python, Pascal:
- Из общего выражения:
for A in range(1,50): OK = 1 for x in range(1,1000): OK *= (x % A == 0) 0)or (x mod 42 = 0)) = false then begin ok := 0; break; end; end; if (ok = 1) then begin print(A); break; end end; end.
Результат: 3
Для какого наименьшего натурального числа А формула
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Ответ: 285
✎ Решение 2 (программирование):
Python:
Из общего выражения: