Найдите ошибку в следующем рассуждении докажем что существует квадратное уравнение
Найдите ошибку в следующем рассуждении докажем что существует квадратное уравнение
Дано квадратное уравнение 
где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.
а) Может ли такое уравнение иметь корень –7?
б) Может ли такое уравнение иметь корень –53?
в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?
а) Да, например, 
б) Пусть уравнение 
имеет корень −53. Тогда 
откуда 
а значит, число с кратно 53. Среди натуральных чисел, не больших 100, такое число только одно: 
Подставляя в (*) вместо с число 53 и сокращая на 53, получаем 
откуда 
Если 
то 
поэтому 
Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число −53.
в) Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, меньший –50. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число −53 на произвольное целое число, меньшее –50, от этого рассуждение не изменится.
Корень, равный –50, у данного уравнения быть может: уравнение 
имеет корень –50 и полностью удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а) да, например, 
б) нет; в) –50.
math4school.ru
Ошибки в уравнениях
При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.
Потеря корней
L Неправильное решение.
2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,
Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:
J Правильное решение.
Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на lg x и получим:
J Правильное решение.
Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.
Посторонние корни
При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.
Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.
K Упражнение. Решить уравнение
L Неправильное решение.
Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:
J Правильный ответ: х = 0.
K Упражнение. Решить уравнение
L Неправильное решение.
J Правильный ответ: решений нет.
Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.
K Упражнение. Решить уравнение
L Неправильное решение.
После приведения подобных слагаемых получим:
Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.
L Неправильное решение.
Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения
для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.
J Правильный ответ: решений нет.
Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.
K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .
L Неправильное решение.
Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:
| tg ( x + y ) = | tg x + tg y |
| 1 – tg x · tg y |
| sin 2 x = | 2 tg x |
| 1 + tg 2 x |
L Неправильное решение.
Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.
J Правильное решение.
\(\left(x-1 \right)^2\cdot \left(x-3 \right)=\left(x-1 \right)^2;\)
\(\left(x-1 \right)^2\cdot \left(x-3 \right)-\left(x-1 \right)^2=0;\)
\(\left(x-1 \right)^2\cdot \left(x-4 \right)=0;\)
Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.
Ошибки, связанные с заменой переменной
K Упражнение. Решить уравнение \(5 \left(x-3 \right)^<1>-6=\left(x-3 \right)^<1>.\)
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Верный результат можно получить, сделав замену \( \left(x-3 \right)^<1>=t\), тогда \( \left(x-3 \right)^<1>=t^2\) с продолжением:
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
K Упражнение. Решить уравнение \(x^2-4x-\sqrt<2x^2-8x+12>=6.\)
L Неправильное (нерациональное) решение.
Чаще всего данное уравнение начинают решать так:
Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.
J Правильное решение.
и исходное уравнение принимает вид:
А дальше все просто:
Ошибки, связанные с использованием модуля
K Упражнение 1. Решить уравнение \(\sqrt
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение \(\sqrt<(x+3)^2>=x+3.\)
L Неправильное решение.
Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.
J Правильное решение.
Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.
J Правильное решение.
На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.
1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:
2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:
что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;
3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:
Подбор корней без обоснования
L Неправильное решение.
Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.
J Правильное решение.
1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях
Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.
L Неправильное решение.
Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.
J Правильное решение.
Возведем в куб обе части уравнения, тогда
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Необходимо помнить, что:
из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;
степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
J Правильное решение 1.
2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.
J Правильное решение 2.
lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.
K Упражнение 1. Решить уравнение \(\left(\log_
L Неправильное решение.
\(\left(1 +2 \log _<5>x\right)\log _<5>x=0;\)
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение \(20\log_<4x>\sqrt
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.
Ошибки в тригонометрических уравнениях
Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.
Урок обобщения, с применением подхода Lesson Study
Тип урока : обобщения знаний
Формы организации учебно-познавательной деятельности : индивидуальная, парная, фронтальная.
Технология : элементы технологии критического мышления.
Цель урока Формирование учебно-логических знаний, умений, навыков при решении уравнений, приводимые к квадратным методом введения новой переменной, через исследовательскую работу, обобщение и систематизацию опыта.
Продолжить работу над развитием речи, умением анализировать, выделять главное, строить аналогии, обобщать, доказывать.
Формировать положительное отношение к ценности Человек, Познание, Творчество, Нравственность.
Методические приемы урока:
Словесные (рассказ, беседа, работа с книгой);
Наглядные (иллюстрации, демонстрация опытов);
Практические (упражнения, практическая работа).
1. Орг. Момент (1–2 мин.) Психологический настрой
Я рада вас всех видеть. Чтобы начать работу, проверим, всё ли готово к уроку.
Я рада видеть ваши лица, ваши улыбки, и думаю, что этот день принесет вам радость, общение друг с другом. Сядьте удобно, закройте глаза и повторяйте за мной: «Я в школе, я на уроке. Я радуюсь этому. Внимание мое растет. Я как разведчик, все замечу. Память моя крепка. Голова мыслит ясно. Я хочу учиться. Я готов к работе. Я работаю.
Класс готовится для работы, включаются в деловой ритм.
Сегодня на уроке мне хотелось бы вас пригласить поглубже заглянуть в замечательный мир математики – в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.
Но для начала давайте вспомним, а что такое уравнение? ( Равенство, содержащее неизвестное).
— А что значит решить уравнение? ( Значит найти все его корни или доказать, что их нет ).
— А что является корнем уравнения? ( Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство ).
— Какие виды уравнений, вы знаете и умеете решать? ( Линейные, квадратные, дробно-рациональные, биквадратные ).
Давайте, сформулируем цель нашего урока.
Открывают тетради и записывают тему в тетрадь.
Итак первое индивидуальное задание.
1. Каждой группе раздаются вопросы
1. Какое название имеет уравнение второй степени?
2. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
3. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?
4. Очень плохая оценка знаний?
5. Что значит решить уравнение?
1. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?
2.Запишите формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.
3.Сформулируйте теорему Виета для приведенного квадратного уравнения.
4.Сформулируйте определение квадратного уравнения.
5..Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?
6. Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение каждого вида?
7. Формула корней квадратного уравнения.
1.Формула полного квадратного уравнения.
2.Формула для вычисления дискриминанта.
3. Формула приведенного квадратного уравнения.
4. Формула нахождения корней квадратного уравнения.
5. Формула неполного квадратного уравнения (с=0).
6. Формула неполного квадратного уравнения (с=0, в=0).
7. Формула неполного квадратного уравнения (в=0).
Запишите квадратное уравнение с коэффициентами а=5; b=-7; с=-3.
Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 7, а свободный член равен 1.
При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?
Парами работают с информацией.
Учащиеся находят соответсвие формул и вопросов и получают код
Во время чтения текста необходимо попросить учащихся делать на полях пометки, а после прочтения текста заполнить таблицу, где значки станут заголовками граф таблицы. В таблицу кратко заносятся сведения из текста.
“ Квадраты равны корням”, т.е. ax 2 = bx.
“ Квадраты равны числу”, т.е. ax 2 = c.
“ Корни равны числу”, т.е. ax = с.
“ Квадраты и числа равны корням”, т.е. ax 2 + c = bx.
Квадраты и корни равны числу”, т.е. ax 2 + bx = c.
Трактат Аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в “Книге абака”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Изданная в Риме в середине 19-го века “Книга абака” содержала 459 страниц.
Учитель: надеюсь, что текст был интересным вам, что у вас появилось желание узнать об истории развития математики больше, и что этот интерес приведет к более осознанному и заинтересованному подходу в изучении разных тем курса алгебры и геометрии.
5. Дифференцированная работа по группам с элементами самоконтроля на 3 варианта- по уровням.
Я предлагаю вам побывать в роли учителя математики и откорректировать предложенные вам решения уравнений, причем задание у всех разное. Не забудьте отметить выполнение на опорном конспекте по уроку.
Самопроверка по решению у доски (3 ученика)- от каждой группы выходит 1 человек
Учащиеся проверяют решениеуравнений
6. Практическая работа №1 (10 мин.)
Каждая группа получает уравнение
Определяет вид и решает его
( х 2 + 2 х ) 2 – 2( х 2 + 2 х ) – 3 = 0.
Каждая группа получает текст задачи
1.Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 156. Найдите эти числа.
2.Первое число больше другого на 10. Найдите эти числа, если их произведение равно 56
3. На чемпионате команды встретились со всеми другими командами по одному разу. Сколько было команд, если всего состоялось 20 встреч?
Вторая часть : (если останется время)
2. Два велосипедиста одновременно отправляются в 70-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
3. Первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 143 деталей, на 2 часа раньше, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Учащимся предлагается заполнить оценочные листы
Далее: Чемодан, мясорубка, корзина
На доске вывешиваются рисунки чемодана, мясорубки, корзины. Чемодан – всё, что пригодится в дальнейшем. Мясорубка – информацию переработаю. Корзина – всё выброшу. Ученикам предлагается выбрать, как они поступят с информацией, получен- ной на уроке.
Отвечают на вопросы, поставленные на уроке.
Учащиеся заполняют свои оценочные карты. Некоторым можно дать возможность высказать свое мнение, ассоциации, мысли.
Трудности при изучении темы « Квадратные уравнения» в 8 классе.
Трудности при изучении темы « Квадратные уравнения» в 8 классе. Традиционные ошибки, допускаемые учащимися при изучении этой темы.
Акулова О.Н., учитель математики высшей категории МАОУ «СОШ №7» г. Гая Оренбургской области
Прежде, чем приступить к изучению данной темы, мы должны знать трудности изучения темы и те традиционные ошибки, которые допускают учащиеся при изучении данной темы.
Во первых, ученики часто применяют нерациональные приемы решения и излишне подробно записывают процесс преобразования данного уравнения к простейшему виду. Выучив формулу решения полного квадратного уравнения, учащиеся, нередко, применяют ее и в случае решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при неизвестном в первой степени. Таким образом, большее внимание в процессе обучения следует уделять рациональным способам вычисления корней.
Наиболее часто встречающиеся ошибки в работах учеников 8-го класса при решении квадратных уравнений, относятся к операциям с буквенными коэффициентами. На вопрос, что называется коэффициентом, получаем один ответ: числовой множитель, стоящий перед буквенным выражением. Этот факт подтверждает, что при оперировании с буквами ученики 8-го класса не всегда видят их конкретный смысл. Если бы ученики были приучены контролировать свою работу, они придавали (хотя бы мысленно) численные значения буквам и сами вскрывали свои ошибки. Следовательно, при обучении большее внимание следует обращать на нахождение числовых значений алгебраических выражений и на аналогию в выполнении алгебраических и арифметических действий; тем самым, учащиеся будут привыкать смотреть на буквенное выражение не только как на объект для тождественных преобразований, но и как на функцию входящих в него букв.
Теорема Виета при изучении квадратных урав нений является наиболее сложной темой. Нередко ее смысл учащиеся усваивают формально и не мо гут применить теорему на практике. Для проверки понимания теоремы и знаний по данной теме, ре комендуется предлагать следующие обучающие- воп росы.
Известно, что сумма двух искомых чисел и их произведение — целые числа. Могут ли эти искомые числа быть дробными? Объясните на примерах.
Известно, что сумма и произведение корней квадратного уравнения — целые числа. Могут ли корни этого уравнения быть дробными числами?
Объясните на примерах.
Известно, что сумма корней квадратного урав нения (или сумма двух чисел) — число дробное, а произведение этих чисел — число целое. Могут ли
корни этого уравнения быть целыми числами?
Известно, что сумма корней и их произведе ние — числа дробные. Могут ли корни данного урав нения быть целыми числами. Приведите примеры для различных случаев.
Дано полное квадратное уравнение неприведенного вида, свободный член и коэффициенты которого не имеют общего множителя. Какими числами может выражаться сумма и произведение его корней? Приведите примеры неприведенных полных квадрат ных уравнений для случая:
а)когда и сумма, и произведение их корней выра жаются дробными числами;
б)когда только сумма или только произведение выражается дробным числом.
Могут ли в указанных случаях оба корня быть целыми?
Изучая ошибки по рассматриваемой теме, мы пришли к выводу, что теорему Виета целесообразно изучать индуктивным путем, исходя из рассмотрения приведен ного квадратного уравнения вида x 2 +рх+ q = 0. Затем перейти к рассмотрению этого вопроса для неприве денного квадратного уравнения вида ах 2 + b х + с = 0 и установить соотношение (- b / a )= p и ( c / a )= q
Исследование корней квадратного уравнения по его дискриминанту и коэффициентам, исследование вопроса, будут ли корни данного квадратного уравне ния действительными, различными или равными или среди действительных чисел нет корня данного урав нения, не затрудняет учащихся. Обычно, допускае мая ошибка состоит в том, что за дискриминант при нимают не подкоренное выражение, а квадратный корень из дискриминанта, то есть считают, что D =√( b 2 -4 ac ) или D 1 =√(( b /2) 2 — q ) при исследовании корней уравнения школьники часто применяют не рациональный прием, который состоит в том, что для ответа на вопросы: будут ли корни данного квадратного уравнения действительными числами, будут ли они различны или равны, учащиеся вычисляют дискриминант, хотя достаточно только установить его
знак. Заметим еще, что не всегда учащиеся умеют самостоятельно указать квадратное уравнение, заве домо имеющее действительные корни без нахождения числовой величины его дискриминанта. Только после приведения нескольких аналогичных примеров квадратных уравнений с отрицательным свободным членом и наводящего вопроса, учащиеся могут сделать вывод, что в этих случаях всегда D > 0 (сказывается недостаточный навык вычитания отрицательного числа). При определении знаков корней квадратного уравнения не всегда можно получить полное, последова тельное, доведенное до логического конца объясне ние процесса исследования без наводящих (и даже подсказывающих) вопросов учителя.
Четкость речи, как известно, связана с осознанно стью соответствующей мысли. Поэтому при объяснении данного вопроса учитель должен дать четкий об разец рассуждений. Прежде всего надо указать, что о знаках корней можно говорить лишь тогда, когда они существуют (во множестве действительных чисел).
Надо убедиться в неотрицательности дискриминанта, причем для этого не следует доводить до конца вычисления, достаточно убедиться, что он не отрица телен (в случае, когда свободный член квадратного уравнения отрицателен, а коэффициент при х 2 поло жителен, не надо вычислять дискриминант — он положителен). Затем рассмотреть на примерах все четыре возможных случая: оба корня уравнения отрицательные, положительные, один из корней отрица тельный, положительный. Выводы следует оформить таблицей.
Расположите в порядке возрастания или убы вания абсолютные величины тех же чисел. Сделайте выводы.
Найдите сумму, разность, произведение, част ное абсолютных величин двух чисел, если компонен тами действий служат различные действительные числа в различных комбинациях, не исключая и нуля.
К изучению данного учебного материала учащихся следует готовить, начиная с 5-го класса:
Знание квадратов натуральных чисел от 1 до 20 нужно проверять на протяжении всех лет обучения математики.
К работе по схеме учащиеся готовятся, начиная с устного счета, по цепочке, с указанием порядка действий, с помощью стрелок, по элементарным программам при работе с микрокалькулятором, при прохождении многих тем учащиеся учатся выполнять те, или другие преобразования по алгоритму. У учащихся должны быть отработаны навыки решения линейных уравнений.