Найти плотность кристалла стронция если известно что решетка гранецентрированная кубической сингонии

Энергия связи

При уменьшении расстояния между атомами энергия системы понижается по сравнению с суммарной энергией изолированных атомов. При некотором межатомном расстоянии r = r₀ энергия U (r) достигает минимального значения, которое соответствует силе F:

.

Этот минимум обязательно существует; в противном случае вообще не смогла бы образоваться молекула с конечным расстоянием между ядрами.

При дальнейшем сближении атомов между ними начинают действовать силы отталкивания, быстро возрастающие с уменьшением r, что сопровождается также возрастанием потенциальной энергии U(r).

Смена притяжения отталкиванием может быть приближенно описана путем представления полной потенциальной энергии взаимодействия в виде суммы двух членов, из которых один (отрицательный) соответствует энергии сил притяжения, а другой (положительный) — энергии сил отталкивания:

.

На рисунке 1.15 схематически изображены кривые этих потенциалов и суммарная кривая, соответствующая полной потенциальной энергии взаимодействия. При межатомном расстоянии r = r₀, соответствующем минимуму энергии системы, силы притяжения уравновешиваются силами отталкивания ( ). Вблизи положения равновесия форма кривой U = U(r) близка к параболе. Это видно из разложения U (r) в ряд Тейлора в окрестности r = r₀:

При не слишком больших отклонениях атома от положения равновесия (когда третьим членом в разложении потенциальной энергии в ряд можно пренебречь) возвращающая сила пропорциональна расстоянию, и атомы колеблются как гармонические осцилляторы. Энергетические уровни такого осциллятора, как это следует из квантовой механики, могут быть получены из следующего выражения:

.

Потенциальную энергию сил притяжения, исходя из их электростатического характера, можно представить степенной функцией

, (1.4)

где а, т — положительные константы.

При т = 1 потенциал (1.4) соответствует обычному кулоновскому взаимодействию между противоположно заряженными ионами, а при т = 6 — потенциалу притяжения при взаимодействии между атомами инертных газов.

Для потенциала сил отталкивания Борн и Ланде, исходя из классических представлений, получили выражение

, (1.5)

где b, n > 0 — постоянные;

r — расстояние между центрами взаимодействующих атомов.

Квантово-механический расчет, выполненный Борном и Майером, привел для потенциала сил отталкивания к полуэмпирическому выражению, которое лучше согласуется с экспериментом:

, (1.6)

где b и r – постоянные.

Выражение для полной потенциальной энергии взаимодействия двух атомов в виде

. (1.7)

Энергия связи кристалла представляет собой энергию, которая необходима для разделения тела на составные части.

Квантово-механический расчет сил притяжения для системы из двух идентичных гармонических осцилляторов, находящихся на расстоянии r один от другого, был выполнен Г. Лондоном (1930). Было получено, что полная энергия двух взаимодействующих осцилляторов уменьшается из-за взаимодействия на величину, обратно пропорциональную шестой степени расстояния между ними:

, (1.8)

—постоянная Планка;

a = Р/Е — поляризуемость осциллятора (атома);

Полную потенциальную энергию взаимодействия между двумя атомами, находящимися на расстоянии r, друг от друга, можно записать в виде

,

где а и b — положительные постоянные.

Задачи

1. Определить число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку:

1) примитивной решетки кубической сингонии

2) объемноцентрированной решетки ромбической сингонии

3) гранецентрированной решетки кубической сингонии

4) базоцентрированной решетки ромбической сингонии

5) примитивной решетки гексагональной сингонии

6) гексагональной структурой с плотной упаковкой.

2. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии, а расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,43 нм.

4. Найти постоянную решетки и расстояние между ближайшими соседними атомами кристалла:

1) алюминия (решетка гранецентрированная кубической сингонии)

2) вольфрама (решетка объемно-центрированная кубической сингонии).

5. Используя метод упаковки шаров, найти отношение с/а параметров в гексагональной решетке с плотнейшей упаковкой. Указать причины отклонения этой величины в реальном кристалле от вычисленного.

7. Написать индексы направления прямой, проходящей через два узла с кристаллографическими индексами:

8. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами в двух случаях:

1) [[1 1 1 ]], [[1`1 2]], [[`1 0 1 ]];

Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

9. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, заданных индексами Миллера (212), при рентгеноструктурном измерении оказалось равным 0,12 нм.

Источник

Связь между символами плоскостей и направлений (граней и ребер).

Зная символы 2-х плоскостей можно найти символы ребра (направления), по которому они пересекаются и наоборот. Символы плоскости (hkl) и направления [mnp] связаны между собой: h m+k n+l p = 0. Найдем символы ребра [mnp] по которому пересекаются две грани (h₁k₁l₁) и (h₂k₂l₂). Для этого необходимо решить систему уравнений:

Решением системы уравнений являются детерминанты:

, , (2.4)

а отношение det-ов дает символ грани:

(2.5)

Аналогично можно найти символы грани по символам двух, лежащих на ней ребер:

(2.6)

Обратная решетка.

Обратная решетка представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто и точно описывать условия, в которых протекает то или иное явление в твердом кристаллическом теле. Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка. Они связаны между собой соотношениями:

; ; . (2.7)

Так как , то скалярное произведение:

, (2.8)

. (2.9)

При построении обратной решетки векторы перепендикулярны соответственно , , и, обратно, векторы перпендикулярны парам векторов , , . Векторы прямой решетки связаны с векторами обратной решетки аналогичными формулами:

; ; ; (2.10)

где — объем элементарной ячейки обратной решетки: _.

Свойства обратной решетки:

1. обратная и прямая решетки взаимно сопряжены;

2. решетка обратная обратной, есть исходная прямая решетка;

3. каждый узел [[mnp]]* обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hkl) прямой решетки;

4. обратная решетка Бравэ сама является решеткой Бравэ.

Векторы трансляции связывают в прямой кристаллической решетке пары точек, которые имеют одинаковые атомные окружения. В обратном пространстве также вводится понятие трансляций, которые описываются векторами обратной решетки, образующих следующее семейство:

, (2.11)

где h, k и l – целые числа.

Если прямая решетка строго периодична, то обратная решетка, т.е. множество точек, удовлетворяющих условию (2.11), также периодична и бесконечна. Однако для решения тех задач, где удобно пользоваться представлением об обратной решетки, достаточно бывает ограничиться конечными объемом обратного пространства.

Элементарную ячейку Вигнера-Зейтца для обратной решетки называют первой зоной Бриллюэна. Первая зона Бриллюэна является зоной с наименьшим объемом. Она полностью ограничена плоскостями, которые делят пополам перпендикулярные к ним векторы обратной решетки, проведенные из начала координат.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку объемноцентрированной кубической решетки?

В элементарной ОЦК ячейке имеются узлы кристаллической решетки двух типов: узлы, находящиеся в вершинах куба, и узел, находящийся на пересечении двух пространственных диагоналей куба. Каждый узел в вершинах принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, на данную элементарную ячейку приходится 1/8 узла. Узел, находящийся на пересечении диагоналей, целиком находится в ячейке. Так как вершин восемь, то на одну элементарную ячейку в ОЦК решетке приходится 2 атома.

Пример 2. Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9; 10; 30, если параметры решетки а = 3, в = 5 и с = 6.

Из кристаллографии следует, что

h : k : l = , (2.12)

h : k : l = .

Таким образом, искомые индексы плоскости (10 15 6).

ОТВЕТ: Индексы плоскости (10 15 6).

Пример 3. Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl) решетки кристалла равно обратной величине длины вектора из начала координат в точку hkl обратной решетки.

Если через обозначить единичный вектор нормали к плоскости (hkl), то межплоскостное расстояние

. (2.13).

Но . Тогда .

Поскольку , то .

Таким образом .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

2.1. Определить плотность кристалла стронция, если известно, что кристаллическая решетка гранецентрированной кубической сингонии, а период решетки равен 0,43 нм.

2.3. Чему равно число атомов в элементарной ячейке гексагональной плотноупакованной решетки?

2.4. Показать, что с/а для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой равно: с/а = (8/3) 1/2 = 1,633.

2.5. Определить объемы элементарной ячейки через радиусы равновеликих шаров, образующих плотные упаковки для: 1) объемноцентрированной; 2) гранецентрированной; 3) гексагональной плотноупакованной решеток.

ОТВЕТ: ; ; .

2.6. Пусть элементарная ячейка простой кубической решетки построена из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r. Ребро элементарной ячейки а = 2 r (атомы касаются друг друга). Показать, что часть объема занятая атомами при таком расположении, равна p/6 = 0,523.

2.7. Объемноцентрированная кубическая решетка состоит из атомов одного вида, имеющих радиусы r. Пусть атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, касаются друг друга. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна .

2.8. Пусть гранецентрированная кубическая и гексагональная решетки постороены из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна: .

2.9. Два элемента а и b образуют кристалл аb, у которого решетка типа NaCl. Показать, что атомы, расположенные по диагонали грани куба, не могут касаться друг друга, если больше чем 2,44.

ОТВЕТ: = 2,44.

2.10. Пусть атомы а и b образуют кристалл, имеющий структуру CsCl, и представляют собой жесткие сферы с радиусами r_a и r_b. Показать, что атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, не могут касаться друг друга, если или больше чем 1,37.

ОТВЕТ: = 0,73; = 1,37.

2.11. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами [[111]], [[ ]], [[ ]]. Найти также отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

ОТВЕТ: ( ); отрезки на осях: 4а; 2b; 1c.

2.12. Даны грани (320) и (110). Найти символы ребра их пересечения.

2.13. Даны два ребра [ ] и [201]. Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.

ОТВЕТ: ( ).

2.14. Положение плоскостей в гексагональной системе определяется с помощью четырех индексов. Найти индекс i в плоскостях (100), (010), (110) и (211) гексагональной системы.

ОТВЕТ: ( ); ( ); ( ); ( ).

2.15. Найти символы плоскости, отсекающей на осях координат отрезки 4а,

2.16. Найти символ плоскости, параллельной осям X и Z и отсекающей 3 единицы на оси Y.

2.17. Элементарная ячейка магния принадлежит к гексагональной системе и имеет параметры а = 3,20 Å и с = 5,20 Å. Определить векторы обратной решетки.

2.18. Выразить углы между векторами обратной решетки через углы прямой решетки.

ОТВЕТ: ; ; .

2.19. Показать, что решетка, обратная кубической объемноцентрированной, будет кубической гранецентрированной.

2.21. Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.

2.22. В триклинной решетке цианита параметры а,b,c и углы a,b,g элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72; 5,56 Å; 90 0 55`; 101 0 2`; 105 0 44`. Определить расстояния между плоскостями (102).

2.23. Получить формулы для вычисления межплоскостных расстояний кристаллов:

1) ромбической; 2) гексагональной; 3) тетрагональной; 4) кубической систем из формулы для межплоскостных расстояний кристаллов триклинной системы.

ОТВЕТ: В ромбической системе в гексагональной

в тетрагональной в кубической

2.24. Векторы примитивных трансляций гексагональной пространственной решетки можно выбрать следующим образом:

а) показать, используя формулу V= , что объем примитивной ячейки равен .

б) показать, что векторы примитивных трансляций обратной решетки равны:

; ; , так что решетка есть ее собственная обратная, но с поворотом осей.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник