К чему сходится ряд

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

a k является общим или k –ым членом ряда.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

Разложим исходный вариант:

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Признак Даламбера

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1

Ряд является сходящимся.

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

Интегральный признак Коши

, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Признак Раабе

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

Источник

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряди распишем его подробнее:

К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд: если К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядчётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях, эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, но и его родные братья: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, …. Например:

К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Подводным камнем являются «обманки»: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряди т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, причём, убывают монотонно.

Если выполнены эти условия, то ряд сходится.

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики, но для удобства ещё раз:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю.
– Члены ряда убывают по абсолютной величине.
Модуль общего члена ряда стремится к нулю: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

// Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Для ряда К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядвыполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд.

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Рассмотрим ряд с факториалом: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядЗдесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд.

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

В общий член ряда входит множитель К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряди выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, который чаще всего является очень простым.

К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядне существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

* Согласно, строгому определению предела числовой последовательности, и кроме того, в данном случае это очевидно.

Вывод: ряд расходится.

Как разобраться, чему равно К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Тупо убираем «мигалку»: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Используем признак Лейбница:

1) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Ряд является знакочередующимся.

2) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд(К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд) – поскольку бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби. Таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Однако это еще не всё! Сходимость бывает разной. А именно:

– сходящийся ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядназывают абсолютно сходящимся, если сходится ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд;
в противном случае ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсходится условно.

! Из вышесказанного очевидно следует, что любой сходящийся положительный ряд является абсолютно сходящимся.

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– расходится (гармонический ряд) – тут даже без исследования обошлось.

Таким образом, наш ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсходится условно.

Следует отметить, что при формулировке «Исследуйте ряд на сходимость» можно рискнуть и ограничиться признаком Лейбница (т.е. просто констатировать сходимость), но таки лучше не лениться – с большой вероятностью вас попросят уточнить, сходится ли ряд абсолютно или условно.

Заметьте также, что в Примере 1 второй этап по-любому отпадает, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится.

Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы, чтобы смотреть на мир широко открытыми глазами из кабины моего экскаватора:

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Используем признак Лейбница:

1) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Данный ряд является знакочередующимся.

2) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– члены ряда убывают по модулю.

Для любого номера К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсправедливо неравенство: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, а бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, то есть, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, а это означает, что убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Теперь выясним, как именно. Для этого составим и исследуем соответствующий ряд из модулей:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Анализируя начинку, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Сравним данный ряд со сходящимся рядом К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Используем предельный признак сравнения.

К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсходится вместе с рядом К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд.

Таким образом, ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.

Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, который многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– члены ряда убывают по модулю. Осталось показать монотонность убывания. Неравенство К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядздесь обосновать трудно и поэтому мы проявим разумную хитрость, расписав несколько конкретных членов и всю цепочку:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– не лишним будет взять в руки калькулятор, и убедиться в справедливости первых неравенств (хотя, это, конечно, некорректная проверка).

Вывод: ряд сходится.

Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но от непреодолимой лени в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально, всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Помните об «обманках» К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.

Выясним характер сходимости ряда:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Таким образом, ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Это пример для самостоятельного решения. Хммм… что-то я немного погорячился на счет простоты.

Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно знать, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Примечание: понятие порядка роста функции подробно освещено в статье Методы решения пределов. У нас пределы последовательностей, но это не меняет сути.

Если числитель К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядпри К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядрастёт быстрее факториала, то К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Попробуем записать несколько первых членов ряда:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Создается стойкое впечатление, что К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа, для того она и существует:

Справка:

– Факториал растёт быстрее, чем показательная последовательность К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, иными словами: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядили К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее, чем степеннАя последовательность К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядили многочлен, иными словами: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядили К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Вместо К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядможно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. То есть и здесь факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее произведения показательной К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряди степенной последовательностей К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд(наш случай). А также быстрее произведения и бОльшего количества таких множителей.

И, раз пошла такая пьянка:

– Показательная последовательность К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядрастёт быстрее, чем степенная последовательность К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, например: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Аналогично факториалу, она «перетягивает» произведение степенных последовательностей: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд.

– А есть ли что-нибудь «круче» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядрастёт быстрее, чем К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Таким образом, второй пункт исследования (вы еще о нём помните? =)) можно записать так:
2) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– члены ряда монотонно убывают по модулю (так как К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядболее высокого порядка роста, чем К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд).

Достаточно! О том, что члены начинают убывать лишь с некоторого номера «эн», лучше благоразумно умолчать – по той причине, что найти этот номер не так-то просто, а лишние вопросы вам ни к чему 😉 Ещё труднее показать монотонность убывания, поэтому просто констатируем этот факт. Здесь вас с высокой вероятностью «простят»

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из модулей членов:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

А тут уже работает старый добрый признак Даламбера:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Таким образом, ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом.

Теорема: если ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсходится, то сходится и ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Пример 8 «на бис» вторым способом.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Решение: исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Используем признак Даламбера:

только что печатал

Таким образом, ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсходится, а значит, по соответствующей теореме, сходится и исследуемый ряд, причём, ясно как день – абсолютно.

Вывод: ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд сходится абсолютно.

Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует. Ибо условие не предписывает использовать именно признак Лейбница (но обычно это всё же подразумевается).

И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Пример 4: Используем признак Лейбница:

1) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядданный ряд является знакочередующимся.
2)
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Члены ряда не убывают по модулю, следовательно, предела К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядне существует, и ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Вывод: ряд расходится.
Примечание: в данном примере неопределенность К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядустраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Пример 5: Используем признак Лейбница.
1) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядряд является знакочередующимся.
2) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, т.е. убывание монотонно.

Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним как именно:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Используем предельный признак сравнения:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядрасходится вместе с гармоническим рядом.
Таким образом, ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд сходится условно.

Пример 7: Используем признак Лейбница.
1) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядряд является знакочередующимся.
2) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– члены ряда убывают по модулю. Найдём модуль К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд-го члена: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд. Для любого номера К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсправедливо неравенство :

К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд( К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд), т.е. члены убывают монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем характер сходимости:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Используем признак Даламбера:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Таким образом, рядК чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд сходится.
Ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсходится абсолютно.

Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним какие-нибудь соседние члены ряда:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряди К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, следующий член ряда к предыдущему: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряди К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, следующий член ряда к предыдущему: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд

Таким образом, ряд сходится. Выясним, абсолютно или условно:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Используем признак Даламбера:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, следовательно , ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядсходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 10: Используем признак Лейбница.
1) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Ряд является знакочередующимся.
2) К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд– члены ряда убывают по модулю, и очевидно, что К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд, т.е. убывание монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд, составленный из модулей:
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Используем интегральный признак.
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Подынтегральная функция непрерывна на К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд.
К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд
Таким образом, ряд К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится рядрасходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследуемый ряд сходится условно.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

К чему сходится ряд. Смотреть фото К чему сходится ряд. Смотреть картинку К чему сходится ряд. Картинка про К чему сходится ряд. Фото К чему сходится ряд Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *