К чему стремится арктангенс
arctg бесконечности
Здравствуйте!
Чему равен arctg бесконечности? С тригонометрией сложно у меня все, поэтому нужно подробно.
Спасибо!
Определим, чему равен arctg бесконечности. Для этого нам понадобятся свойства функции арктангенс, а также ее график.
Арктангенс является обратной функцией к тангенсу. Следовательно, область определения арктангенса является областью значений тангенса, то есть это вся числовая прямая. А областью значений арктангенса является область определения тангенса, то есть это промежуток от –Пи/2 до Пи/2.
По графику функции арктангенс можно определить как ведет себя функция на бесконечности. При аргументе x, который стремится к бесконечности (точнее, к положительному значению бесконечности), функция арктангенс приближается к Пи/2. При аргументе х, который стремится к отрицательному значению бесконечности, арктангенс приближается к –Пи/2.
Следовательно, можно сделать вывод о границе арктангенса на бесконечности:
При аргументе х, стремящемся к минус бесконечности, арктангенс стремится к –Пи/2.
При аргументе х, стремящемся к плюс бесконечности, арктангенс стремится к Пи/2.
Так как на всей числовой прямой функция арктангенс является непрерывной, то граница арктангенса в любой точке равна значению arctg в данной точке: arctg 0 = 0 и т.д.
Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.
Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.
Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций
Определение непрерывности функции в точке и передела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции способствует непосредственному вычислению пределов.
Значение предела в точке непрерывности определено значением функции в этой точке.
При опоре на свойства основные элементарные функции имеют предел в любой точке из области определения, вычисляется как значение соответствующей функции в этих точках.
Произвести вычисление предела функции lim x → 5 a r c t g 3 5 · x
Функция арктангенса отличается непрерывностью на всей своей области определения. Отсюда получим, что в точке x 0 = 5 функция является непрерывной. Из определения имеем, что для нахождения предела является значением этой же функции. Тогда необходимо произвести подстановку. Получим, что
lim x → 5 a r c t g 3 5 · x = a r c t g 3 5 · 5 = a r c t g 3 = π 3
Для упрощения выражений применяют свойства пределов:
Для того, чтобы научиться вычислять переделы, необходимо знать и разбираться в основных элементарных функциях. Ниже приведена таблица, в которой имеются переделы этих функций с приведенными разъяснениями и подробным решением. Для вычисления необходимо основываться на определении предела функции в точке и на бесконечности.
Таблица пределов функции
Для упрощения и решения пределов используется данная таблица основных пределов.
Функция корень n-ой степени
Для любых x 0 из опрелеления
lim x → x 0 x n = x 0 n
Функция корень n-ой степени
lim x → x 0 x n = x 0 n
Показательная функия
Для любых x 0 из области опреления lim x → x 0 a x = a x 0
Показательная функия
Для любых знвчений x 0 из област опредения lim x → x 0 a x = a x 0
Логарифмическая функция
Для любых x 0 из области опрелеления lim x → x 0 log a x = log a x 0
Логарифмическая функция
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 log a x = log a x 0
lim x → ∞ t g x не существует
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 t g x = t g x 0
lim x → ∞ c t g x не существует
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 с t g x = с t g x 0
Обратные тригонометрические функции
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 a r c sin x = a r c sin x 0
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 a r c c i s x = a r c cos x 0
Обратные тригонометрические функции
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 a r c t g x = a r c t g x 0
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 a r c c t g x = a r c c t g x 0
По таблице пределов с показательными функциями, имеющими основание больше 1 получаем, что
Когда задан более сложный предел, то при помощи таблицы не всегда получится получать целое или конкретное значение. Чаще получаются разные виды неопределенностей, для разрешения которых необходимо применять правила.
Рассмотрим графическое разъяснение приведенной выше таблицы пределов основных элементарных функций.
Предел константы
Предел функции корень n-ой степени
Предел степенной функции
Необходимо разделить все степенные функции по группам, где имеются одинаковые значения пределов, исходя из показателя степени.
Предел показательной функции
Предел логарифмической функции
Предел тригонометрических функций
Предел обратных тригонометрических функций
Все имеющееся значения пределов применяются в решении для нахождения предела любой из элементарных функций.
Арктангенс- определение, свойства и формулы
Чётность и возрастание
Чтобы получить график арктангенса, используется кривая тангенса путём замены местами осей ординат и абсцисс. Для устранения многозначности используется интервал, на котором функция монотонна. Это определение считается основным значением арктангенса. Если показатель отрицательный, значит функция нечётная.
Главное свойство arctg — бесконечность на его области определения (для числа х). Так как y = arctg x, где y равен нулю, тогда x = 0, значит и arctg 0. При выполнении расчётов используется таблица арктангенсов.
В ней указаны значения в градусах и радианах, при определённых данных аргумента. Если вычисления выполняются на математическом веб-ресурсе, пользователю предоставляется возможность бесплатно использовать онлайн-калькулятор и таблицу Брадиса. Можно вычислить синус, косинус, производную арктангенса в экселе либо с помощью языка программирования Паскаль.
Чтобы посчитать величину правильно, используются свойства функций. При помощи определения арксинуса выполняется уравнение sin (arcsin a)=a. Свойства других величин:
В первых двух свойствах соблюдается условие −1≤a≤1. Если значение а выходит за указанные пределы, тогда функции нет смысла определять. Учитывая свойства синуса арксинуса, нельзя записать sin (arcsin8)=8, так как выражение sin (arcsin8) не имеет смысла. Аналогичный ответ получается, если необходимо определить разность арккосинуса sqrt (квадратный корень) из пяти.
Противоположные числа
Формулы, с помощью которых производится расчёт связи между производными: arcsin (-a)=-arcsina, arccos (-a)=пи-arccosa, arctg (-a)=-arctga, arcctg (-a)=пи-arcctga. Должно соблюдаться условие −1≤a≤1. Если а принадлежит промежутку −∞ до +∞, тогда arctg (−a), и arcctg (−a).
Чтобы доказать первое отношение с противоположными числами, рассматривается определение arcsin (−a). Число либо угол находится в пределах −π/2-π/2 и синус, равный −a. Учитывая определение арксинуса, можно записать следующее равенство: −π/2≤arcsin a≤π/2.
Необходимо доказать, что sin (−arcsin a)=−a. Для этого рекомендуется придерживаться свойств противоположных углов. Из рассмотренных примеров можно сделать вывод: sin (−arcsin a)=−sin (arcsin a)=−a.
Аналогичным способом можно доказать, что arccos (−a)=π−arccos a. Используя определение производной функции, подтверждается, что π−arccos a — угол либо число, значение которого колеблется в пределах 0-π, а cos (π−arccos a)=−a. Придерживаясь определения арккосинуса числа, выполняется неравенство 0≤arccos a≤π.
Если средняя часть уравнения равняется −a, тогда, придерживаясь формулы приведения, записывается следующее равенство cos (π−arccos a)=−cos (arcos a). С помощью свойства производной косинуса завершается доказательство cos (π−arccos a)=−cos (arcos a)=−a. Аналогичной схемы рекомендуется придерживаться при рассмотрении свойств арккотангенсов и арктангенсов противоположных знаков. Плюс утверждения — возможность избавиться от вычисления производных функций отрицательных чисел.
Сложение величин
Свойство, согласно которому устанавливается связь между arccos arcsin числа а, и между arctg и arcctg переменной, записывается следующим образом: arcsina+arccosa=пи/2, arctga+arcctga=пи/2. Чтобы доказать первую часть равенства, где расписана сумма производных синуса и косинуса числа а, делённая на два, необходимо рассмотреть следующую запись: arcsin a=π/2−arccos a.
Основываясь на определение арксинуса, можно доказать, что выражение верно, когда π/2−arccos a — угол (цифровое значение), лежащий на промежутке −π/2 до π/2, а синус угла равен а. Чтобы показать такую действительность, используется определение арккосинуса и равенство 0≤arccos a≤π. Последнее выражение считается справедливым.
С учётом свойств неравенств, умножаются части на минус один, изменяются знаки. Полученные значения суммируются с числом π/2. Выполнив перечисленные действия, получается неравенство −π/2≤π/2−arccosa≤π/2. Чтобы показать, что sin (π/2−arccos a)=a, используется формула приведения, свойство производной функции косинус.
Доказано, что сумма arccos и arccos a равна π/2. Аналогично понадобится доказать, что сумма арккотангенса числа a и арктангенса равняется π/2. Главное предназначение таких свойств заключается в том, что они выражают арксинус через акрккосинус одного числа, а также арккотангенс через арктангенс и наоборот.
Примеры и задачи
Задания на свойства функций и их производных от числа либо угла можно решить с помощью разных программ: excel, pascal. Действия будут зависеть от условий задачи. Решение должно основываться на основные признаки, доказанные либо утверждённые равенства. Свойствам производных отвечают следующие выражения:
Равенства при определённых условий следуют из определений функций числа. Чтобы понять утверждения, необходимо доказать: arcsin (sin α)=α, при этом должно выполняться требование −π/2≤α≤π/2. Аналогичным образом доказываются оставшиеся свойства. Если обозначить sin α=а, которое находится на отрезке [−1, 1], тогда получится выражение arcsin (sin α)=α, то есть arcsin a=α. Известно из условий задач, что −π/2≤α≤π/2. При решении через а обозначили sin α.
Поэтому можно записать, что arcsin a=α, что эквивалентно определению производной функции синуса. Вывод: arcsin (sin α)=α при условии, что −π/2≤α≤π/2. Разные свойства, связанные с синусом и косинусом, тангенсом и котангенсом, можно применить на практике.
Запись arccos (cos α) правдивая, не только при условии, что 0≤α≤π. Выражение arccos (cos α)=α считается справедливым только при таком условии. Поэтому arccos (cos (−3π))=−3π не верно, так как −3π не принадлежит указанному отрезку. Схожие утверждения логичны и для arcctg (ctg α), arctg (tg α).
Используя определение всех функций, их признаки, тригонометрические формула можно получить другие равенства и уравнения, в которых отображается связь между arcsin, arcctg, arctg и arccos. Чтобы быстро решать задачи на данную тематику, рекомендуется выучить некоторые утверждённые равенства (arcsin 0=0, arccos 1=0, как угол arccos (-1)=180 градусов). Они описаны в специальных таблицах, которые можно найти в глобальной сети либо в учебниках по математике.
Обратные тригонометрические функции и их графики
Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Сначала дадим определения.
Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.
Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что
Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.
Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение
Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?
Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.
А вторая серия решений нашего уравнения — это
Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.
Повторим определение еще раз:
Мы готовы построить график функции
Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.
Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок
Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и
Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.
Строим график функции
1. Область определения
2. Область значений
Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой
Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок
Арккосинусом числа a называется число , такое, что
Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке
Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок
Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:
Построим график функции
Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.
Вот график арккосинуса:
1. Область определения
2. Область значений
Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.
5. Функции и являются взаимно обратными.
Следующие — арктангенс и арккотангенс.
Арктангенсом числа a называется число , такое, что
Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.
А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?
Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это
А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте
Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте
На рисунке — график функции
1. Область определения
2. Область значений
3. Функция нечетная.
4. Функция является строго возрастающей.
5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.
6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке
Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.
Арккотангенсом числа a называется число , такое, что
1. Область определения
2. Область значений
4. Функция является строго убывающей.
5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.
6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке
Все про арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс
Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.
Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.
Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.
Арксинус
Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.
Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.
Арккосинус
Arccos числа а – это значение угла α, косинус которого равен а.
Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.
Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.
Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.
Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 – 1.
В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.
Арктангенс
Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.
Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:
Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.
Арккотангенс
Arcctg числа a – принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.
Свойства функции арккотангенса:
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.
Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.
Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,
Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.
Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg
Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.
Также существуют соотношения для arctg и arcctg:
Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.
Примеры решения задач
Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.
При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:
При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.
Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:
Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.
Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:
Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = – 1/a. При a = 0, x будет равен 1.