Как доказать что четырехугольник параллелепипед

Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм

Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм? Для этого можно использовать определение либо один из признаков параллелограмма.

1) Четырехугольник является параллелограммом по определению, если у него противолежащие стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

ABCD — параллелограмм, если

Для доказательства параллельности прямых используют один из признаков параллельности прямых, чаще всего — через внутренние накрест лежащие углы. Для доказательства равенства внутренних накрест лежащих углов можно доказать равенство пары треугольников.

Например, это могут быть пары треугольников

2) Четырехугольник является параллелограммом, если у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AO=OC, BO=OD.

3) Четырехугольник является параллелограммом, если у него противолежащие стороны параллельны и равны.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AD=BC и AD ∥ BC (либо AB=CD и AB ∥ CD).

Для этого можно доказать равенство одной из тех же пар треугольников.

Чтобы воспользоваться этим признаком параллелограмма, нужно предварительно доказать, что AD=BC и AB=CD.

Для этого доказываем равенство треугольников ABC и CDA или BCD и DAB.

Это — четыре основных способа доказательства того, что некоторый четырехугольник — параллелограмм. Существуют и другие способы доказательства. Например, четырехугольник — параллелограмм, если сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадрату сторон. Но, чтобы воспользоваться дополнительными признаками, надо их сначала доказать.

Доказательство с помощью векторов или координат также опирается на определение и признаки параллелограмма, но проводится иначе. Об этом речь будет вестись в темах, посвященных векторам и декартовым координатам.

Источник

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Согласно определению,геометрическая фигура параллелограмм является четырехугольником с попарно параллельными противоположными сторонами и равными противолежащими углами. Доказать, что фигура параллелограмм позволяет как определение, так и ее признаки. Применяя на практике эти свойства, можно решать геометрические задачи разной сложности.

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

Пошаговое доказательство

Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

Источник

Параллелипипед

Урок 13. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Параллелипипед»

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, какая фигура называется тетраэдром, вспомним элементы тетраэдра и виды тетраэдра.

С параллелепипедом мы уже знакомы. Напомним, что в курсе геометрии базовой школы мы определяли параллелепипед как четырехугольную призму, основаниями которой являются параллелограммы.

Сегодня мы дадим немного другое определение параллелограмма.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, которые расположены в параллельных плоскостях так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ параллельны.

Получили четырехугольники ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁. Рассмотрим один из этих четырехугольников. Например, четырехугольник ABB₁A₁. Стороны AA₁ и BB₁ параллельны по условию. По свойству параллельных плоскостей стороны AB и A₁B₁ параллельны. То есть, четырехугольник ABB₁A₁ – параллелограмм, аналогично, параллелограммами будут каждый из четырехугольников BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁.

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA₁B₁C₁D₁

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями.

На рисунке изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Обратите внимание, все шесть граней параллелепипеда – параллелограммы.

Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра. Например, грани AA₁B₁B и DD₁C₁C – противолежащие.

Грани имеющие общее ребро называются смежными. Например, грани AA₁D₁D и DD₁C₁C – смежные, ребро DD₁ у них общее.

Две вершины, которые не принадлежат одной грани, называются противоположными.

Отрезок, который соединяет противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Соответственно у параллелепипеда есть четыре диагонали.

То есть, если в качестве оснований выбрать грани ABCDиA₁B₁C₁D₁, то боковыми гранями будут параллелограммы ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁, а боковыми рёбрами будут отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.

Мы уже знаем, как изображается параллелепипед. Как и в прочих пространственных фигурах, невидимые рёбра и другие отрезки изображаются штриховыми линиями.

Со свойствами параллелепипеда мы уже знакомы. Повторим их еще раз и докажем с учетом нового определения параллелепипеда.

Первое свойство звучит так: противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Сразу отметим, что две грани параллелепипеда будут параллельны, если их плоскости параллельны.

Докажем, например, параллельность и равенство граней ABB₁A₁ и DCC1D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Поскольку эти грани являются параллелограммами, то можно записать, что AB параллельно DC и AA₁ параллельно DD₁. То есть две пересекающиеся прямые AB и AA₁ одной грани соответственно параллельны двум пересекающимся прямым CD и DD₁ другой грани. Значит, по признаку параллельности плоскостей получим, что грани ABB₁A₁ и DCC₁D₁ параллельны.

Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то можно записать, что AB равно DC и AA₁равно DD₁. По этой же причине стороны углов A₁AB и D₁DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таком, образом мы доказали, что две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB₁A₁ соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC₁D₁, поэтому параллелограммы ABB₁A₁ и DCC₁D₁ равны.

Перейдем ко второму свойству. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство этого утверждения основывается на следующем факте: если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Мы знаем, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Итак, на экране изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Поскольку грани ABCDи AA₁D₁D – параллелограммы, то BC параллельно AD, BC равно AD, A₁D₁ параллельно AD, A₁D₁ равно AD. Из этого следует, что A₁D₁ параллельно BC и A₁D₁ равно BC. Поэтому четырехугольник A₁D₁CB – параллелограмм. А значит, его диагонали A₁C и D₁B пересекаются в некоторой точке О и делятся этой точкой пополам. Заметим, что эти же диагонали A₁C и D₁B являются также диагоналями параллелепипеда.

Поскольку грани ABCDиDD₁C₁C– параллелограммы, то AB параллельно CD, AB равно CD, C₁D₁ параллельно CD, C₁D₁ равно CD. Из этого следует, что C₁D₁ параллельно AB и C₁D₁ равно AB. Поэтому четырехугольник C₁D₁AB – параллелограмм. И, следовательно, его диагонали C₁A и D₁B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D₁B является точка О. Таким образом, диагонали A₁C, D₁B и C₁A параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Поскольку грани ABCDи AA₁B₁B – параллелограммы, то CD параллельно AB, CD равно AB, A₁B₁ параллельно AB, A₁B₁ равно AB. Из этого следует, что A₁B₁ равно CD и A₁B₁ параллельно CD. Поэтому четырехугольник A₁B₁CD – параллелограмм. И, следовательно, его диагонали A₁C и B₁D пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали A₁C является точка О. Таким образом, все четыре диагонали A₁C, B₁D, C₁A и D₁B параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Что и требовалось доказать.

Слово параллелепипед происходит от древнегреческих слов паралелос – параллельный, и епипед – плоскость.

Если все боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани – прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым.

Если параллелепипед не является прямым, то есть если все его боковые ребра не перпендикулярны к плоскостям оснований, то он называется наклонным.

Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямоугольным.

Параллелепипед очень часто встречается в жизни, практически все здания имеют форму параллелепипеда. И многие предметы имеют форму параллелепипеда.

Решим несколько задач.

Задача. Дан параллелепипед . Доказать, что диагональ параллельна .

Что и требовалось доказать.

Задача. Сумма всех рёбер параллелепипеда равна cм. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если , а .

Из соотношений выразим длины ребер AB и BB1 через длину ребра BC.

Получим, что ABравно , BB₁ равно .

У параллелепипеда двенадцать ребер, из них четыре ребра равны ребру AB, четыре ребра равны ребру BB₁, четыре ребра равны ребру BC. Заменим ребра AB и BB₁ и их выражением через ребро BC, получим, что 12BC=120. Тогда получим, что длина ребра BC= 10. Подставим это значение в формулу для нахождения длин ребер AB и BB1, получим, что AB= 8, а BB₁= 12.

Кратко запишем решение задачи.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы познакомились с еще одним пространственнымтелом – параллелепипедом. Познакомились с элементами параллелепипеда, решили несколько задач по данной теме.

Источник

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

Пошаговое доказательство

Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

Источник