Как доказать что числа взаимно простые 6 класс мерзляк

Урок алгебры «Взаимно-простые числа». 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Тип урока: “открытие новых знаний”.

Основные этапы урока.

1. Самоопределение к деятельности.

– Ребята, на прошлом уроке мы изучали тему “Нахождение наибольшего общего делителя”. Сегодня мы продолжим работать с этой темой.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Учитель делит класс на группы по четыре человека и организует работу в них. Задания нужно заранее заготовить на листах.

Задание № 1. Запишите в каждую из клеток таблицы по одному натуральному числу, которое удовлетворяло бы обоим условиям:

Задание № 2.Запишите в каждую клетку по одной цифре так, чтобы все двузначные числа, образованные двумя соседними цифрами, были простыми и различными.

Задание № 3.Заполните пропуски.

1.Все натуральные числа по количеству делителей можно разделить на три класса:____________

2. Простые – это числа, которые имеют только ____ делителя.

3. Составные – это числа, которые имеют_______ делителей.

4. Алгоритм нахождения НОД № 1.

Разложить на множители ______

Разложить на множители ______

Найти ______ множители и ________

5. Алгоритм нахождения НОД № 2.

Найти все ______ первого числа

Найти все ______ второго числа

Найти ________ делители

Выбрать из них___________

Найдите и разложите на множители следующие числа.

Полученные числа разложим на множители:

12 = 2 · 2 · 3
99 = 3 · 3 · 11
10 = 2 · 5

Пользуясь записанными на доске разложениями, найдите: НОД(12, 99), НОД(12,10), НОД(99, 10).

3. Изучение нового материала.

Для нахождения НОД(99, 10) воспользуемся алгоритмом № 2.

Получаем, что НОД(99,10) = 1.

На доске появляется таблица.

4. Первичное закрепление нового материала.

Задание № 6.Найдите наибольший общий делитель каждой пары чисел 4, 15, 22, 77.

Укажите среди них пары взаимно простых чисел.

Затем решение заданий подробно разобрать, проанализировать ошибки.

5. Обучающая самостоятельная работа.

Составьте слово из букв, соответствующих заданиям, ответами которых являются взаимно простые числа.

(о) НОД(12, 18) Ответ: мир или Рим.

6. Итог урока, рефлексия.

– С какими числами мы познакомились?

– Как выяснить, что числа являются взаимно простыми?

– Как вы оцениваете свою работу?

7. Домашнее задание.

Ответить на вопрос: какие числа всегда являются взаимно простыми?

Источник

Взаимно простые числа

Всего получено оценок: 140.

Всего получено оценок: 140.

Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Чтобы не допускать ошибок в этой теме разберемся в вопросе подробнее.

Простые числа

Что такое простое число? Простое число делится только на единицу и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.

Простые числа в знаменателях дробей означают, что для нахождения общего знаменателя нужно перемножить эти числа между собой. Разложить простые числа на множители невозможно. Поэтому НОД двух простых чисел это их произведение.

Числа, которые содержат в себе больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называются сложными. Сложные числа состоят из перемноженных простых.

Взаимно простые числа

Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Нужно учитывать, что взаимно простыми могут быть не только два числа, но и 3, 4, 10 – любое множество чисел может быть взаимно простым.

Как определить взаимно простые числа?

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

Пример

Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282

Определение начинается с разложения на множители:

Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.

Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой

Что мы узнали?

Мы поговорили о простых числах. Выяснили, что такое взаимно простые числа и обговорили некоторые их свойства. Привели примеры взаимно простых чисел. Обговорили неправильные мнения по поводу простых и взаимно простых чисел.

Источник

Мерзляк 6 класс — § 4. Простые и составные числа

Вопросы к параграфу

1. Какое натуральное число называют простым?

Простыми называют числа, которые имеют только два делителя: 1 и само это число. Например: 5, 7, 11, 13 — это простые числа.

2. Какое натуральное число называют составным?

Составными называют числа, которые имеют боле двух делителей. Например, 4, 6, 9, 12 — составные числа.

3. Почему число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам?

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам потому, что у него только 1 делитель — само число 1.

4. Существует ли чётное простое число?

Да, это число 2. У этого числа только 2 делителя: 1 и 2.

5. Назовите наименьшее простое число.

Наименьшее простое число — 2.

6. Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

Да, на простые множители можно разложить любое составное число.

Решаем устно

1. Выполните действия:

2. Какие из чисел 165, 106, 207, 253, 271, 282, 305, 315, 374, 389 делятся нацело:

1) на 2

2) на 5

3) на 3

4) на 9

3. Назовите все делители числа:

1) 28

2) 29

3) 30

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

4) 31

4. Число 204 равно произведению чисел 34 и 6. Является ли число 34 делителем числа 204? А число 6?

Да, оба числа: и 34, и 6, являются делителями числа 204.

5. Чему равно частное чисел 945 и 9? Является ли полученное частное делителем числа 945?

Число 105 является делителем числа 945, так как 945 длится на 105 нацело.

6. У Пети было на 156 р. больше, чем у Димы. После того как Петя купил новую книгу, у него стало на 142 р. меньше, чем у Димы. Сколько стоила книга?

156 + 142 = 298 (р.) — стоила книга.

Упражнения

104. Среди чисел 1, 3, 6, 7, 12, 13, 21, 23, 24, 28, 29, 33, 45, 46, 47 укажите:

1) простые

2) составные

6, 12, 21, 24, 28, 33, 45, 46.

105. Запишите все делители данного числа, подчеркните те из них, которые являются простыми числами:

Простые числа выделены красным

1) 21

2) 30

3) 48

4) 54

106. Разложите на простые множители число:

107. Разложите на простые множители число:

108. Запишите:

1) все простые числа, которые больше 10 и меньше 25

2) все составные числа, которые больше 35 и меньше 49

36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48.

109. Запишите:

1) все простые числа, которые больше 22 и меньше 38

2) все составные числа, которые больше 60 и меньше 78

62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77.

110. Простым или составным числом является произведение:

111. Запишите все делители числа, равного произведению:

1) 2 • 2 • 5

2) 3 • 5 • 7

1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

112. Запишите все делители числа, равного произведению:

1) 2 • 5 • 13

1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130.

2) 3 • 3 • 3 • 7

1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189.

113. Чему равно частное от деления числа a на число b, если:

1) а = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7, b = 2 • 2 • 3 • 7

a : b = ( 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 ) : ( 2 • 2 • 3 • 7 ) = 2 • 3 = 6

2) а = 3 • 5 • 5 • 13 • 17 • 19, b = 3 • 13 • 19

a : b = ( 3 • 5 • 5 • 13 • 17 • 19 ) : ( 3 • 13 • 19 ) = 5 • 5 • 17 = 425

114. Чему равно частное от деления числа a на число b, если:

1) a = 2 • 3 • 5 • 5 • 7 • 11 • 13, b = 2 • 5 • 13

a : b = ( 2 • 3 • 5 • 5 • 7 • 11 • 13 ) : ( 2 • 5 • 13 ) = 3 • 5 • 7 • 11 = 1 155

2) a = 2 • 2 • 3 • 5 • 23 • 37, b = 2 • 3 • 37

a : b = ( 2 • 2 • 3 • 5 • 23 • 37 ) : ( 2 • 3 • 37 ) = 2 • 5 • 23 = 230

115. Запишите все двузначные числа, в разложении которых на простые множители один из множителей равен:

14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

2) 17

3) 23

116. Запишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит:

1) из двух одинаковых множителей

2) из трёх одинаковых множителей

117. Сколько существует чисел, которые можно разложить на два двузначных простых множителя, один из которых на 2 больше другого? Воспользуйтесь таблицей простых чисел.

118. Найдите все числа, которые можно разложить на два двузначных простых множителя, разность которых равна 4. Воспользуйтесь таблицей простых чисел.

119. Задумали простое число. Известно, что следующее за ним натуральное число тоже простое. Какое число задумали?

В таблице простых чисел только два натуральных числа следуют друг за другом. Это 2 и 3. Значит задумали число 2.

Ответ: задумали число 2.

120. Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом? В случае утвердительного ответа приведите пример.

121. Может ли быть простым числом:

1) произведение двух различных чисел

Да, может, если это произведение простого числа и единицы. Например:

2) значение площади квадрата, длина стороны которого выражается натуральным числом

Нет, не может, так как площадь квадрата равна произведению длин двух его сторон — а • а. Значит число, обозначающее площадь квадрата будет иметь как минимум 3 делителя: 1, число равное длине стороны квадрата — а и число равное площади квадрата — а².

Если же длина стороны квадрата равна 1, то его площадь также будет равна 1 • 1 = 1. Но 1 не является простым числом, так что этот вариант также не подходит.

Ответ обоснуйте.

122. Может ли сумма двух составных чисел быть простым числом? В случае утвердительного ответа приведите примеры.

123. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами, а периметр — простым числом (длины сторон и периметр прямоугольника выражены в одних и тех же единицах измерения)? Ответ обоснуйте.

Ответ: Нет, такого прямоугольника не существует.

124. Может ли произведение ста различных простых чисел делиться нацело:

1) на 3

Да, это возможно в том случае, если один из множителей равен 3.

2) на 9

Нет, это невозможно:

125. Существуют ли три последовательных натуральных числа:

1) каждое из которых является простым

Нет, не существует, так как при последовательном счёте четные числа чередуются с нечётными, а единственное чётное простое число — это 2. При этом предыдущее двойке нечётное число — 1 — не является ни простым, ни составным.

2) ни одно из которых не является составным

Да, это последовательность 1, 2, 3:

Ответ обоснуйте.

126. При каком натуральном значении n будет простым числом значение выражения:

1) 2n — будет простым числом при n = 1.

2) n² — не будет простым числом ни при каких условиях, так как:

3) n (n + 1) — будет простым числом при n = 1.

n (n + 1) = 1 • (1 + 1) = 1 • 2 = 2 — простое число.

127. Натуральное число а, которое больше 1 и меньше 100, не делится нацело ни на одно из чисел 2, 3, 5 и 7. Верно ли, что число а — простое? Ответ обоснуйте.

Получается, что число а:

Значит число а может делиться только на 1 и на себя, а это значит, что число а — простое число.

128. Простое число, большее 1 000. поделили на 6. Чему может быть равным остаток?

Пусть х — задуманное простое число больше 1 000, а неполное частное равно а. Тогда:

Значит остаток при делении простого числа на 6 может быть равен либо 1, либо 5. Отметим, что это справедливо для всех простых чисел.

Ответ: остаток равен 1 или 5.

Комментарий: Для выполнения задания надо вспомнить распределительный закон умножения: a • c + b • c = (a + b) • c

129. Найдите все пары простых чисел, разность которых равна 17.

Ответ: существует единственна пара таких чисел: 2 и 17.

130. Найдите количество делителей числа, равного значению выражения:

1)

Значит делителями этого числа могут быть:

2)

Значит делителями этого числа могут быть:

Ответ: 12 делителей.

3) , m и n — натуральные числа.

Для поиска количества всех делителей натурального числа существует формула:

Количество делителей d равно произведению всех степеней простых делителей, увеличенных на единицу.

В нашем случае степенью первого простого множителя 2 является число n, а степенью второго простого множителя 3 является число m.

Значит количество делителей можно вычислить по формуле:

Ответ: (n + 1) • (m + 1) делителей.

Проверим формулу на примере:

Комментарий: Для выполнения задания вспомним, что любое составное число можно разложить на простые множители и одинаковые простые множители заменить в записи степенью.

Все возможные варианты произведений имеющихся простых множителей и будут делителями заданного числа.

Не стоит забывать и о том, что у каждого натурального числа одним из множителей является единица.

Кроме того, для выполнения последнего задания необходимо найти в Интернете формулу, позволяющую посчитать количество натуральных делителей числа.

Упражнения для повторения

131. Решите уравнение:

132. Запишите пять чисел, кратных:

1) числу 8

2) числу 18

18, 36, 54, 180, 1 800

3) числу n

133. При делении нацело числа а на 15 получили число, кратное 6. Делится ли нацело число а на 10? Ответ обоснуйте.

Мы видим, что среди делителей числа а находятся числа 2 и 5, а значит число 10 = 2 • 5 также является делителем числа а.

Ответ: Да, число а нацело делится на на число 10.

134. При делении нацело числа а на 6 получили число, кратное 12. Делится ли нацело число а на 9? Ответ обоснуйте.

Мы видим, что среди делителей числа а находится как минимум две тройки: 3 и 3, а значит число 9 = 3 • 3 также является делителем числа а.

Ответ: Да, число а нацело делится на на число 9.

Готовимся к изучению новой темы

135. Найдите значение степени:

136. Из чисел 348, 975, 1 026, 2 531, 12 120, 43 674, 58 121 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 2

348, 1 026, 12 120, 43 674.

2) на 3

348, 975, 1 026, 12 120, 43 674.

3) на 5

Задача от мудрой совы

137. Шахматный конь начинает свой маршрут в левом нижнем углу доски, а заканчивает его в правом верхнем углу. Может ли конь при этом побывать на всех полях доски по одному разу?

Если конь ходит буквой Г, то в процессе каждого хода он переходит с клетки одного цвета на клетку другого цвета: с белой на чёрную, потом с чёрной на белую и т.д.

Чтобы побывать на каждой клетке доски, надо сделать конём 63 хода: 1 клетка начальная, а затем ещё 63 оставшиеся клетки. И каждый раз он будет менять цвет клетки. Например:

То есть каждый чётный ход конь будет находится на коричневой клетке, а каждый нечётный — на белой.

Так как ходов всего будет 63, то после последнего хода — нечётного — конь окажется на белой клетке.

Это не соответствует условию задачи, так как в верхнем правом углу находится коричневая клетка. Значит выполнить условие задачи невозможно.

Ответ: шахматный конь не сможет переместиться из нижнего левого угла в верхний правый угол побывав на каждой клетке доски по одному разу.

Источник

Как находить в 6 классе взаимно простые числа и что это такое

Одним из основных понятий в арифметике является деление. Каждая величина характеризуется делимостью. В зависимости от неё определяют и взаимно простые числа. Что это такое и какую пользу несёт знание правила их нахождения, изучают в шестом классе средней школы. Это базисное понятие, которое позволяет в дальнейшем выполнять различные математические упрощения и преобразования как при решении элементарных задач, так и сложного уровня на уроках высшей математики.

Общие сведения

В системе счисления и мер используется специальная система знаков, называемая цифрами. Слово «цифра» происходит от латинского cifra. Интересно, что на арабском термин пишется как صفر‎, что в дословном переводе на русский язык обозначает «пустой». С этих символов формируются числа. Чтобы разобраться в отличиях одних от других, нужно запомнить 3 утверждения:

Нужно знать, что существует несколько систем счисления. В России принято использовать арабскую. В церковнославянском и древнегреческом применяли запись буквами. Её до сих пор используют в иврите. В программировании применяется смешанная запись. Так как она шестнадцатеричная, используют комбинации знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Итак, «число» и «цифра» разные понятия по происхождению. Первое используют как единицу счёта. Им выражают количество. Второй же параметр применяют для обозначений значений. Для записи в международном формате принята арабская последовательность от 0 до 9, но в некоторых случаях ставят и римские символы — I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X и так далее.

По своему виду числа бывают:

Свойства и определение

Существует правило, объясняющее, какие числа называются взаимно простыми. Согласно ему, это 2 целых натуральных значения, у которых самый большой общий делитель не превышает единицу. Из этого правила следует, что 2 таких выражения будут иметь только лишь один общий делитель, при этом равняться он будет единице. Например, можно рассмотреть 5 и 11. Разделить их без остатка можно или самих на себя или единицу.

Понятие взаимности простых чисел справедливо как для пары выражений, так и большего их числа. Два натуральных числа, стоящие один за одним, всегда будут взаимными. Например, 13 и 14 — простая пара, такая же как 23 и 24.

Это легко можно доказать, используя то, что 2 натуральных значения a и b делятся на одно и то же натуральное число, превышающее единицу, если их разница будет делиться на это выражение. Так как a и b — 2 соседних значения, для удобства можно принять что a &lt,b, то b — a = 1. Исходя из того, что один делится только на себя, a и b не будут иметь других общих делителей, кроме единицы.

Из определения о взаимных значениях следует, что любые простые величины всегда окажутся взаимными. Ведь делителями любого простого выражения являются лишь оно само и 1. Кстати, такие значения обозначают так: (a, b) = 1.

Из признаков и свойств можно выделить:

Здесь важно понять, что натуральные значения будут взаимными, если их общий делитель равняется единице. Вот пример пары таких чисел: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 или 7, 9, 16.

Таблица и примеры

Часто попадаются задачи, в которых требуется доказать, что целые числа будут взаимно простыми. Доказательство сводится к нахождению наибольшего общего делителя для заданных условием данных. Затем результат проверяют на равенство единице.

Нужно доказать, что делитель не совпадает с членами выражения. Если это не так, произведение k1* k2 *… * kn можно поделить на kn+1. Но на него делится и число k, определяемое суммой k1 * k2 *…* kn+1. Следовательно на kn+1 должно разделиться и второе слагаемое, которое равно одному, а это невыполнимо. То есть всегда может быть новое простое число, не стоящее среди любого количества наперёд заданных простых чисел. Проверка предположения выполнена.

Перед выполнением действий полезно проверить заданные выражения по таблице взаимно простых чисел. Эта таблица строится на том, что если исходные целые значения являются простыми, значит, их НОД равен единице. Обычно в книгах таблица заканчивается 1000. Но такую таблицу можно составить не только до тысячи, но и до сколь угодно большего значения, поэтому она является бесконечно большой. Проверить, что ряд простых значений может быть бесконечным, довольно просто.

Доказательство строится на обратном. Пусть количество простых величин ограничено n штуками. Если имеется значение k, равное k1 * k2 *… * kn+1, оно отлично от каждого из входящих в многочлен. Когда k — простое число, утверждение будет доказано. Должен существовать простой делитель этого числа kn+1.

Как пример, можно привести 3 значения: −99, 17 и −27. Они взаимные, так как любая совокупность простых величин составляет набор взаимности. Например, 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 677. А вот такие значения как 12, −72 не являются взаимными, так как у них есть общее делимое 3, и оно отлично от единицы.

Таким образом, чтобы определить взаимность, необходимо попробовать разложить значения на простые множители. Например, пара состоящая из 8 и 15 будет взаимной, хотя сами числа не являются простыми. То же самое, можно сказать, о 8, 15 и 49. В то же время 6, 8 и 9 хоть и взаимные, но они не будут парно простыми.

Зная, какие выражения попарно взаимные, а какие нет, можно определить возможность сокращения дроби. Интересно, что количество зубцов на звёздочках в цепи передачи стремятся делать взаимно простыми. Это помогает обеспечить равномерность износа: каждый зубец будет входить в звенья цепи по очереди.

Источник