Как доказать что число кратно

Доказательство кратности и уравнение

Существует обратная задача – разложить многочлен на множители, она решается также с помощью формул сокращенного умножения.

Пример 6: доказать что число Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратнократно 25:

Очевидно, что если мы будем выполнять все вычисления, это будет сложно и долго, но если заметить формулу, то работа значительно упрощается. Итак, мы видим разность кубов. Распишем выражение:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

В результате преобразований мы получили выражение, один из множителей которого равен 25, очевидно, что это выражение кратно 25.

Пример 7: решить уравнение:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Напомним, что решить уравнение – означает найти такие значения х, которые обращают выражение в верное числовое равенство. Распишем в уравнении квадрат суммы и разность квадратов:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Соберем неизвестные слева, а свободные члены справа и приведем подобные:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Из полученного элементарного уравнения найдем значение х:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Запишем еще несколько формул, которые можно вывести:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно– куб суммы (разности)

Чтобы вывести данные формулы, нужно выполнить умножение скобок, и вы убедитесь в их справедливости.

Итоги урока

Вывод: мы рассмотрели формулы сокращенного умножения, записали вид основных из них и некоторые доказали. Мы рассмотрели примеры различной сложности, чтобы окончательно закрепить данный материал.

1. Преобразовать выражение в многочлен:

а) (а – 2)(а + 2); б) (7а + 8в)²; в) (с³ – 0,1)².

2. Решить уравнение:

3. Упростить выражение и найдите его значение:

Урок 5:Повторение. Разложение многочленов на множители.

На данном уроке мы вспомним все изученные методы разложения многочлена на множители, рассмотрим примеры к ним.

1. Методы разложения многочленов на множители.

Напомним, что многочлен есть алгебраическая сумма одночленов, а одночлен – это произведение чисел и степеней.

Вспомним способы разложения многочлена на множители.

1. В каждом члене многочлена может быть общий множитель, отсюда первый способ – метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример 1, вынесем общий множитель за скобки, для этого определим, какие переменные представлены во всех членах, и вынесем их в минимальной степени:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно;

Напомним, что, перемножив вынесенный множитель на скобку, можно проверить правильность вынесения.

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

В обоих членах есть скобка Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно, в одном в первой, а в другом во второй степени, вынесем минимальную ее степень – первую:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

2. Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример 3:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно;

Сгруппируем первый член со вторым, третий с четвертым и вынесем общие множители в группах:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно;

3. Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример 4:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Мы расписали заданный многочлен по известной формуле разности кубов.

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Комментарий: мы увидели в заданном многочлене формулу суммы кубов и разложили его.

4. Метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно– формула квадрата суммы (разности);

Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример 6:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно;

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Итак, первое выражение – это Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно, а второе должно быть Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно, но не хватает удвоенного произведения. Прибавим и вычтем его:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Свернем полный квадрат разности:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно;

Преобразуем полученное выражение, применяя формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение суммы на их разность:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно;

Напомним, что, перемножив скобки, можно проверить правильность разложения.

Подведение итогов урока

Вывод: мы вспомнили все изученные методы разложения многочленов на множители и рассмотрели примеры. Вспомнили определение и некоторые свойства алгебраических дробей, решили несколько типовых задач, с ними связанных.

1. Вынести общий множитель за скобки:

а) 8х – 8у; б) 5ху – 7х; в) 25х³ – 10х² + 5х;

2. Решить уравнение:

а) (7х – 10)(х + 5) = 0; б) 12у² – 60у = 0; в) х³ + х² – 4х – 4 = 0.

3. Докажите, что выражение:

а) 5¹³ – 5¹¹ делится на 24; б) 125³ + 625² делится на 6.

4. Разложите на множители способом группировки:

а) 3(а + с) + х(а + с); б) 6х – 6у + ах – ау;

Урок 6: Повторение. Сис­те­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми.

1. Определение системы уравнений с двумя переменными

На­пом­ним, что из себя пред­став­ля­ет си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми. Это си­сте­ма вида:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Из пер­во­го урав­не­ния Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноможно по­лу­чить ли­ней­ную функ­цию, в слу­чае если Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно. Гра­фик дан­но­го урав­не­ния – пря­мая линия.

Bто­рое ли­ней­ное урав­не­ние:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно, из него также можно по­лу­чить ли­ней­ную функ­цию, при усло­вии, что Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно. Гра­фик дан­но­го урав­не­ния – также пря­мая линия.

За­пи­шем си­сте­му в дру­гом виде:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Мы знаем, что мно­же­ством ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся мно­же­ство точек, ле­жа­щих на со­от­вет­ству­ю­щей ему пря­мой, ана­ло­гич­но и для вто­ро­го урав­не­ния мно­же­ство ре­ше­ний – это мно­же­ство точек на дру­гой пря­мой. Две пря­мые могут пе­ре­се­кать­ся – и тогда у си­сте­мы будет един­ствен­ное ре­ше­ние, един­ствен­ная пара чисел х и у будет удо­вле­тво­рять од­но­вре­мен­но обоим урав­не­ни­ям. Это про­ис­хо­дит, если Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно. Две пря­мые также при неко­то­рых зна­че­ни­ях чис­лен­ных па­ра­мет­ров могут быть па­рал­лель­ны, в таком слу­чае они ни­ко­гда не пе­ре­се­кут­ся и не будут иметь ни одной общей точки, зна­чит в этом слу­чае си­сте­ма не будет иметь ре­ше­ний. Для этого долж­ны вы­пол­нять­ся усло­вия: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратнои Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно. Кроме того, две пря­мые могут сов­па­дать, и тогда каж­дая точка будет ре­ше­ни­ем обоих урав­не­ний, а зна­чит си­сте­ма будет иметь бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний. Для этого долж­ны вы­пол­нять­ся усло­вия: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратнои Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно.

2. Спо­соб под­ста­нов­ки

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

На дан­ном урав­не­нии можно про­де­мон­стри­ро­вать сразу несколь­ко спо­со­бов ре­ше­ния си­стем урав­не­ний.

1 спо­соб – спо­соб под­ста­нов­ки: вы­ра­зим во вто­ром урав­не­нии х и под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние у во вто­рое урав­не­ние и най­дем зна­че­ние х:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

3. Спо­соб ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния

2 спо­соб – спо­соб ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния: вы­пол­ним сло­же­ние урав­не­ний:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния най­дем х:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Те­перь вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы вто­рое:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли ре­ше­ние си­сте­мы двумя спо­со­ба­ми, и это ре­ше­ние – точка с ко­ор­ди­на­та­ми (2; 1).

4. Си­сте­мы урав­не­ний с одним ре­ше­ни­ем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

В дан­ном слу­чае удоб­нее при­ме­нить спо­соб ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, вы­чтем из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое. По­лу­ча­ем:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Под­ста­вим зна­че­ние у во вто­рое урав­не­ние и най­дем х:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

В дан­ной си­сте­ме нет пе­ре­мен­ных с оди­на­ко­вы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, но мы можем их урав­нять са­мо­сто­я­тель­но, для этого вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Вы­пол­ним сло­же­ние урав­не­ний:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние у в пер­вое урав­не­ние и опре­де­лим зна­че­ние х:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

5. Си­сте­мы, име­ю­щее бес­ко­неч­ное мно­же­ство или не име­ю­щие ре­ше­ний

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Раз­де­лим вто­рое урав­не­ние на два:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния вто­рое:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Оче­вид­но, что по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние не за­ви­сит от зна­че­ний пе­ре­мен­ных си­сте­мы и не яв­ля­ет­ся вер­ным чис­ло­вым ра­вен­ством, зна­чит, си­сте­ма не имеет ре­ше­ний. В дан­ном слу­чае ре­ко­мен­ду­ет­ся гра­фи­че­ски до­ка­зать, что си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, для этого из урав­не­ний за­пи­сать ли­ней­ные функ­ции, по­стро­ить их и по­ка­зать, что пря­мые па­рал­лель­ны.

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Оче­вид­но, что, если раз­де­лить вто­рое урав­не­ние на два, по­лу­чим пер­вое урав­не­ние:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Мы по­лу­чи­ли два оди­на­ко­вых урав­не­ния, зна­чит, чтобы до­ве­сти ре­ше­ние си­сте­мы до конца, можем оста­вить одно: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно; это ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми, гра­фик его – пря­мая линия, и оно имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний, а зна­чит и си­сте­ма имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний. Чтобы за­пи­сать ре­ше­ния, вы­ра­зим у: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно, таким об­ра­зом, дадим ответ: х – любое число, Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Гра­фи­че­ская ил­лю­стра­ция (рис. 1):

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

6. Под­ве­де­ние ито­гов урока

Вывод: мы рас­смот­ре­ли си­сте­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми, ва­ри­ан­ты и спо­со­бы их ре­ше­ния. Мы вспом­ни­ли неко­то­рые тер­ми­ны, по­ня­тия и свой­ства и ре­ши­ли при­ме­ры для за­креп­ле­ния тех­ни­ки.

1. Решите систему тремя способами: сложением, подстановки, графическим: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

2. Сколько решений имеет система: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

3. Решите систему любым способом: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Урок 7:Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями.Основные понятия.

На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется по Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратночасти торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.

1. Определение и примеры алгебраических дробей

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения.

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Определение.Рациональная дробь – дробное выражение вида Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно, где Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно– многочлены. Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно– числитель, Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно– знаменатель.

Примерырациональных выражений: Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно– дробные выражения; Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно– целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно, а знаменателя – Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно.

Значение алгебраической дроби, как и любого алгебраического выражения, зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратнои Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно, а во втором только от значения переменной Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно.

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Источник

Делимость чисел. Признак делимости

Определение 1. Пусть число a 1 ) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b.

1 ) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a, или b делит a, или b входит множителем в a.

Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Действительно. Так как

где m и n какие то числа, то

Следовательно a делится на c.

Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Действительно. Так как

Признаки делимости

Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m, которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r1, 10&middotr1 на m будет r2, и т.д. Тогда можно записать:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно(1)

Так как при делении любого числа на m остатки могут быть 0,1. m-1, то через m шагов остатки от деления на m будут повторяться (следовательно пересчитать их не нужно).

Любое натуральное число A в десятичной системе счисления можно представить в виде

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно(2)

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно(3)

Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.

Рассмотрим разность A−A’

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно(4)

Покажем, что 10 iri делиться на m при всех i=1,2. m−1.

10−ri=mk1 делится на m (т.к. mk1 кратно m),

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно(5)
Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно(6)
Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно(7)

Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.

Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Признак делимости на 2.

Следуя процедуре (1) для m=2, получим:

10=2·5+0,
10·0=2&middot5+0,
и т.д.

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Следовательно число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делиться на 2 (т.е. когда число является четным).

Признак делимости на 3.

Следуя процедуре (1) для m=3, получим:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Следовательно число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4.

Следуя процедуре (1) для m=4, получим:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Следовательно число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков сложенное с числом единиц делится на 4. Число делится на 4, если последние две цифры составляют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 5.

Следуя процедуре (1) для m=5, получим:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Следовательно число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 5, т.е. число оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6.

Следуя процедуре (1) для m=6, получим:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7, получим:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно(8)

Следовательно число делится на 7 тогда и только тогда, когда (8) делится на 7.

Пример. 3801 делится на 7, т.к. 1+0*3+8*2+3*6=1+16+18=35 делится на 7.

Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.

Признак делимости на 8.

Следуя процедуре (1) для m=8, получим:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно(9)

Следовательно число делится на 8 тогда и только тогда, когда (9) делится на 8.

Пример. 4328 делится на 8, т.к. 8+2*2+4*3=24 делится на 8.

Признак делимости на 9.

Следуя процедуре (1) для m=9, получим:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Следовательно число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10.

Следуя процедуре (1) для m=10, получим:

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Как доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратноКак доказать что число кратно. Смотреть фото Как доказать что число кратно. Смотреть картинку Как доказать что число кратно. Картинка про Как доказать что число кратно. Фото Как доказать что число кратно

Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *