Как доказать что число простое в 6 классе
Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Таблица простых чисел
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Простых чисел бесконечно много.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Решето Эратосфена
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Перейдем к формулировке теоремы.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Ответ: 11723 является составным числом.
Взаимно простые числа
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение взаимно простых чисел
Сначала определимся, что значит простое число.
Главное свойство простых чисел в том, что простое число делится только на единицу и на само себя.
Таких чисел немного, большинство все-таки можно разделить на другие числа. В простых числах самое важное — это деление нацело. Дробные частные и деление с остатком не рассматриваем.
Понятие взаимно простых чисел можно применить для двух целых чисел или для большего количества. Сформулируем, какие числа называются взаимно простыми.
Взаимно простые числа
Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице — то есть НОД (a, b) = 1.
Проще говоря, взаимно простые числа — это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.
Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать так: НОД (a, b).
Наибольший общий делитель взаимно простых чисел — это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.
Приведем примеры взаимно простых чисел.
Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Вот такая математика в 5 классе. И еще раз: либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример.
Делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8.
На математике в 5 и 6 класса часто встречаются задания, в которых нужно доказать, что конкретные целые числа являются взаимно простыми. Из чего обычно состоит такое доказательство:
Перед вычислением НОД можно заглянуть в таблицу простых чисел и проверить, вдруг исходные целые числа можно назвать простыми. Тогда решение будет проще, так как мы знаем, что НОД простых чисел равен единице.
Повторим еще раз. Что значит взаимно простые числа? Это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.
Пример 1
Доказать, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.
Сверяемся с таблицей простых чисел. 84 и 275 не являются простыми, поэтому нельзя сразу сказать об их взаимной простоте.
Вычислим НОД. Используем алгоритм Евклида для нахождения НОД:
Доказали, что числа 84 и 275 взаимно простые.
Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.
То есть если у некоторого набора целых чисел есть положительный общий делитель, отличный от единицы, то эти целые числа не являются взаимно простыми.
Любая совокупность простых чисел составляет набор взаимно простых чисел, например, 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 677 — взаимно простые числа. А четыре числа 12, −9, 900 и −72 не являются взаимно простыми, так как у них есть положительный общий делитель 3. Числа 17, 85 и 187 тоже не взаимно простые, потому что каждое из них можно разделить на 17.
Как определить взаимно простые числа:
Пример 2
Являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми?
Заглянем в таблицу простых чисел. Видим, что 331, 463 и 733 — простые. Значит, у них есть единственный положительный общий делитель — единица. Поэтому, 331, 463 и 733 есть взаимно простые числа.
Пример 3
Доказать, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми.
Найдем НОД заданных чисел и убедимся, что он не равен единице.
Делители целых отрицательных чисел совпадают с делителями соответствующих противоположных чисел. Поэтому НОД (−14, 105, 2 107, −91) = НОД (14, 105, 2 107, 91). Посчитаем:
НОД (14, 105, 2 107, 91) = 7.
Мы получили, что наибольший общий делитель исходных чисел равен семи, поэтому эти числа не являются взаимно простыми. Доказали.
Свойства взаимно простых чисел
У взаимно простых чисел есть определенные свойства. Рассмотрим основные свойства взаимно простых чисел.
Свойство 1
Числа, которые получились при делении целых чисел a и b на их наибольший общий делитель, называются взаимно простыми. То есть, a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.
Это свойство взаимно простых чисел помогает находить пары взаимно простых чисел. Для этого достаточно взять два любых целых числа и разделить их на наибольший общий делитель. В результате получим взаимно простые числа.
Свойство 2
Докажем эту необходимость:
Пусть числа a и b взаимно простые. Тогда по определению взаимно простых чисел НОД (a, b) = 1. А из свойств НОД мы знаем, что для целых чисел a и b верно соотношение Безу au0 + bv0 = НОД (a, b). Следовательно, au0 + bv0 = 1.
Соотношение Безу — представление НОД целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами.
Докажем достаточность:
Свойство 3
Если числа a и b взаимно простые, и произведение ac делится на b — значит c делится на b.
Действительно, так как a и b взаимно простые, то из предыдущего свойства у нас есть равенство au0 + bv0 = 1. Если умножть обе части этого равенства на c, получится acu0 + bcv0 = c.
Первое слагаемое суммы acu0 + bcv0 делится на b, так как ac делится на b по условию, второе слагаемое этой суммы также делится на b, так как один из множителей равен b. Можно сделать вывод, что вся сумма делится на b. А так как сумма acu0 + bcv0 равна c, то и c делится на b.
Свойство 4
Если числа a и b взаимно простые, то НОД (ac, b) = НОД (c, b).
Покажем, во-первых, что НОД (ac, b) делит НОД (c, b), а во-вторых, что НОД (c, b) делит НОД (ac, b), это и будет доказывать равенство НОД (ac, b) = НОД (c, b).
НОД (ac, b) делит и ac и b, а так как НОД (ac, b) делит b, то он также делит и bc. То есть, НОД (ac, b) делит и ac и bc, следовательно, в силу свойств наибольшего общего делителя он делит и НОД (ac, bc), который по свойствам НОД равен c * НОД (a, b) = c. Таким образом, НОД (ac, b) делит и b и c, следовательно, делит и НОД (c, b).
С другой стороны, НОД (c, b) делит и c и b, а так как он делит с, то также делит и ac. Поэтому НОД (c, b) делит и ac и b, следовательно, делит и НОД (ac, b).
Так мы показали, что НОД (ac, b) и НОД (c, b) взаимно делят друг друга, значит, они равны.
Свойство 5
Предыдущее свойство взаимно простых чисел поможет намзаписать ряд равенств вида:
Определение попарно простых чисел
Через взаимно простые числа можно дадим определение попарно простых чисел.
Приведем пример попарно простых чисел.
При этом, взаимно простые числа далеко не всегда могут быть попарно простыми. Подтвердим на примере. 8, 16, 5 и 15 не являются попарно простыми, так как числа 8 и 16 не взаимно простые. Однако, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые. Таким образом, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые, но не попарно простые.
Остановимся на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Эти числа всегда являются и взаимно простыми и попарно простыми. Например, 71, 443, 857, 991 — и попарно простые, и взаимно простые.
Когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.
Урок 4 Бесплатно Простые и составные числа
На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.
Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.
Простые и составные числа
Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.
Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.
Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18
Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.
Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.
Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:
Пример 1
Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:
В) больше двух делителей
Решение:
Число 1 имеет один делитель: 1
Число 7 имеет два делителя: 1, 7
Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10
Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Число 13 имеет два делителя: 1, 13
Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ответ:
А) один делитель- 1
Б) два делителя- 7, 13
В) больше двух делителей- 10, 12, 24
Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.
Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.
Пример 2
Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?
Найдите все делители для составных чисел.
Решение:
Простые: 2, 17, 127
Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55
Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4
Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21
Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Простые и составные числа с древнейших времён интересовали разных учёных. Например, древнегреческий учёный Эратосфен (276- 194 гг. до н.э.) занимался вопросом таких чисел.
Он был главой Александрийской библиотеки и в его работах появились первые факты математической географии, вычисления величины земного шара с достаточно для того времени хорошей точностью.
Для своих вычислений он создал довольно простой способ, который использовался для исследования простых чисел и дошел до нашего времени без изменений. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».
Пусть перед нами стоит задача нахождения простых чисел от 1 до 100 включительно.
Распишем все эти числа в квадрате 10 на 10.
После этого начинаем зачеркивать те, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 (на 4 не берем, ведь они уже будут зачёркнуты, когда мы будем зачеркивать делящиеся на 2), потом на 7 и… всё!
Больше зачеркивать ничего не нужно, так как дальше работает доказанное правило: оставшиеся числа в таблице будут простыми.
Почему вдруг такую таблицу назвали решетом?
Получается вот что: мы убираем числа, потом повторяем с оставшимися числами, и то, что будет не зачёркнуто, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ.
Если внимательно посмотреть на табличку, то можно увидеть что все вычеркнутые стоят на прямых линиях. А, кто видел решето, тот знает, что оно состоит из нитей, натянутых в виде прямых. Значит, можно построить такое решето, просто проводя прямую в тех местах, где число нужно вычеркнуть – вот и все. Поэтому мы и получаем подобие решета.
Решето Эратосфена работает по подобию простой вычислительной машины. И значит, еще очень давно, была изобретена СЧЕТНАЯ МАШИНА.
На сегодняшний день не существует формулы получения любого простого числа, зато еще с древности известно решето Эратосфена. Всё гениальное просто, как говорится в известном афоризме.
На числовой прямой простые числа не имеют никакой закономерности, стоят в хаотичном порядке. Но если мы соберем числовую прямую в решето Эратосфена большого размера, мы их все просеем через него и соберем без исключения и потерь.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Взаимно простые числа
Всего получено оценок: 140.
Всего получено оценок: 140.
Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Чтобы не допускать ошибок в этой теме разберемся в вопросе подробнее.
Простые числа
Что такое простое число? Простое число делится только на единицу и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.
Простые числа в знаменателях дробей означают, что для нахождения общего знаменателя нужно перемножить эти числа между собой. Разложить простые числа на множители невозможно. Поэтому НОД двух простых чисел это их произведение.
Числа, которые содержат в себе больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называются сложными. Сложные числа состоят из перемноженных простых.
Взаимно простые числа
Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.
При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.
Нужно учитывать, что взаимно простыми могут быть не только два числа, но и 3, 4, 10 – любое множество чисел может быть взаимно простым.
Как определить взаимно простые числа?
Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:
Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.
Пример
Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282
Определение начинается с разложения на множители:
Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.
Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой
Что мы узнали?
Мы поговорили о простых числах. Выяснили, что такое взаимно простые числа и обговорили некоторые их свойства. Привели примеры взаимно простых чисел. Обговорили неправильные мнения по поводу простых и взаимно простых чисел.
Как определить простое число или нет
Простые числа – это числа, которые делятся только на себя и на 1; все остальные числа называются составными числами. Существует множество способов определения того, является ли число простым. Некоторые способы являются относительно простыми, но они не подходят для больших чисел. Другие способы, применимые для больших чисел, фактически представляют собой вероятностные алгоритмы, которые иногда ошибочно характеризуют число как простое или составное.
Метод 1 Перебор делителей
Перебор делителей – самый легкий способ определить простоту числа. В случае малых чисел это, пожалуй, также и самый быстрый способ. Он основан на определении простого числа: число является простым, если оно не имеет делителей кроме самого себя и единицы.
Метод 2 Тест Ферма
В 1640 году французский математик Пьер Ферма впервые сформулировал теорему (малая теорема Ферма), которая используется при определении простоты числа. Фактически, тест Ферма служит для определения составных чисел, а не простых. Этот тест с уверенностью определяет, является ли число составным, или определяет, что число «скорее всего» простое. Тест Ферма полезен в случаях, когда перебор делителей непрактичен и когда доступен список чисел, являющихся исключениями из теоремы.
Метод 3 Тест Миллера-Рабина
Тест Миллера-Рабина эффективно определяет, является ли число составным (и лучше обрабатывает исключения, такие как числа Кармайкла).
Условие задачи 2.30
Задача 2.30
Дан одномерный массив А, состоящий из натуральных чисел. Вывести на экран количество простых чисел в массиве.
Для начала напомню, что такое простые числа.
Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя.
То есть если число делится без остатка только на 1 и на самого себя, то такое число является простым.
Например, простыми числами являются 2, 3, 5 и т.п.
А вот 4 уже не является простым, так как делится без остатка не только на 1 и 4, но ещё и на 2.
Если вы подзабыли, что такое натуральное число, то см. здесь.
А теперь перейдём к задаче. По сути нам нужна программа, определяющая простые числа. А уж перебрать элементы массива в цикле и проверить их значения — это дело техники. Заодно мы можем не только подсчитать, но и вывести на экран простые числа массива.
Как определить простое число в Паскале
Алгоритм решения с подробным разбором приведу на Паскале. Решение на С++ можете посмотреть в примере программы на С++.
ВАЖНО!
На этом многие могут ошибиться. В определении сказано, что простое число имеет ровно два различных делителя. Следовательно, число 1 не является простым (также не является простым, так как ноль можно делить на любые числа).
Проверять, является ли число простым, будем с помощью функции, которую сами и создадим. Эта функция будет возвращать TRUE, если число простое.
В функции сначала будем проверять, не является ли число меньше двух. Если да, то это уже не простое число. Если же число равно 2 или 3, то оно является однозначно простым и делать какие-то дополнительные проверки не требуется.
А вот если число N будет больше трёх, то в этом случае в цикле будем перебирать все возможные делители, начиная от 2 до (N-1). Если на какой-то делитель число N делится без остатка, значит, это тоже не простое число. В этом случае мы прерываем цикл (потому что проверять дальше нет смысла), а функция возвращает FALSE.
Проверять, делится ли число на самоё себя нет смысла (поэтому цикл длится только до N-1).
Саму функцию здесь приводить не буду — посмотрите её в примерах программ.
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Таблица простых чисел
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Простых чисел бесконечно много.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Решето Эратосфена
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Перейдем к формулировке теоремы.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Ответ: 11723 является составным числом.