Как доказать что это параллелограмм через углы

Как доказать, что фигура – параллелограмм? Какие его признаки?

Содержание:

Параллелограммом – 4-угольник, где противоположные стороны попарно параллельные, одинаковые по длине, а диагонали в точке пересечения делятся на равные отрезки. Изучим признаки параллелограмма по двум, четырём сторонам, внутренним углам, центру симметрии.

Что такое параллелограмм, свойства фигуры

Особенность высоты геометрической фигуры – отрезка, опущенного из любой точки многоугольника на противоположную ей сторону: отсекает от фигуры равнобедренный треугольник.

Свойства биссектрис – отрезков, делящих углы пополам:

У 4-угольника противоположные углы равны, а сумма прилегающих к одному отрезку составляет 180°.

Как доказать, что фигура параллелограмм

Признаки

Дан 4-угольник, где AB=CD, BC=AD. Доказать, что AB∥CD, BC∥AD.

Проведём диагональ BD. В итоге получим пару одинаковых треугольников, исходя из условий задачи и общего отрезка BD.

Отсюда вытекают равенства: ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 – подобные треугольники имеют одинаковые по величине углы, образованные подобными сторонами. Значит AB∥CD и BC∥AD (из свойства: если накрест расположенные углы равны, значит прямые будут параллельными).

В данном четырёхугольнике BC=AD, BC∥AD. Нужно доказать параллельность AB и CD для подтверждения, что это параллелограмм.

Исходя из условий, понимаем, что BCD и ABD – подобные треугольники. Из условия задачи: BC = AD, BD – общая для обоих, значит, ∠2 = ∠3 – следствие того, что накрест лежащие углы подобные. Из равенства 3-угольников: ∠1 = ∠4 получается, что AB параллельна CD.

Признаки параллелограмма по диагоналям с доказательством

Четырёхугольник обладает и прочими особенностями, рассмотрим одну на примере задачи: докажите признак параллелограмма по точке пересечения диагоналей.

Треугольник AOD равен BOC, потому что AD=BC – лежащие напротив стороны четырёхугольника. ∠1=∠2, ∠3=∠4 – они лежат накрест и параллельных прямых. Если треугольники подобные, значит: OC=OA, OB=OD.

Прочие способы как доказать параллелограмм

Получается, треугольник OAF равен OCE, потому что у них стороны AO = OC. Углы, расположенные у общей вершины O, также равны, ведь они вертикальные. ∠1=∠2 – следствие равности накрест лежащих при параллельных прямых углов. Как результат: OF=OE.

Если у четырёхугольника есть точка, которая обладает описанным свойством, её называют центром симметрии этой геометрической фигуры. Для рассматриваемого многоугольника центром симметрии является точка O, разделяющая диагонали на подобные отрезки.

При повороте геометрической фигуры вокруг центра симметрии на 180° она будет совмещена с предыдущим местоположением, ведь противоположные точки поменяются местами относительно оси симметрии.

Для проверки качества усвоения материала самостоятельно сформулируйте признаки параллелограмма без доказательств.

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм

Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм? Для этого можно использовать определение либо один из признаков параллелограмма.

1) Четырехугольник является параллелограммом по определению, если у него противолежащие стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

ABCD — параллелограмм, если

Для доказательства параллельности прямых используют один из признаков параллельности прямых, чаще всего — через внутренние накрест лежащие углы. Для доказательства равенства внутренних накрест лежащих углов можно доказать равенство пары треугольников.

Например, это могут быть пары треугольников

2) Четырехугольник является параллелограммом, если у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AO=OC, BO=OD.

3) Четырехугольник является параллелограммом, если у него противолежащие стороны параллельны и равны.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AD=BC и AD ∥ BC (либо AB=CD и AB ∥ CD).

Для этого можно доказать равенство одной из тех же пар треугольников.

Чтобы воспользоваться этим признаком параллелограмма, нужно предварительно доказать, что AD=BC и AB=CD.

Для этого доказываем равенство треугольников ABC и CDA или BCD и DAB.

Это — четыре основных способа доказательства того, что некоторый четырехугольник — параллелограмм. Существуют и другие способы доказательства. Например, четырехугольник — параллелограмм, если сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадрату сторон. Но, чтобы воспользоваться дополнительными признаками, надо их сначала доказать.

Доказательство с помощью векторов или координат также опирается на определение и признаки параллелограмма, но проводится иначе. Об этом речь будет вестись в темах, посвященных векторам и декартовым координатам.

Источник

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Согласно определению,геометрическая фигура параллелограмм является четырехугольником с попарно параллельными противоположными сторонами и равными противолежащими углами. Доказать, что фигура параллелограмм позволяет как определение, так и ее признаки. Применяя на практике эти свойства, можно решать геометрические задачи разной сложности.

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

Пошаговое доказательство

Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

Источник

Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

На рисунке 16 изображен параллелограмм

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.

Действительно, углы и параллелограмма (рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых и и секущей Поэтому Аналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.

2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Доказательство:

Диагональ разбивает параллелограмм на два треугольника и (рис. 17). -их общая сторона, и (как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых и и и секущей Тогда (по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, и (как соответственные элементы равных треугольников). Так как то

4. Периметр параллелограмма

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть — точка пересечения диагоналей и параллелограмма (рис. 18). (как противолежащие стороны параллелограмма), (как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых и и секущих и соответственно). Следовательно, (по стороне и двум прилежащим углам). Тогда (как соответственные стороны равных треугольников).

Пример:

Дано: параллелограмм, — биссектриса угла (рис. 19). Найдите:

Решение:

1)

2) (как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых и и секущей

3) (по условию), тогда Тогда — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника),

4)

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке 20 — высота параллелограмма,

Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 и — высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам и

Рассмотрим признаки параллелограмма.

Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике и (рис. 22). Проведем диагональ Рассмотрим и (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей — общая сторона, (по условию). Следовательно, (по двум сторонам и углу между ними). Тогда (как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых и секущей Поэтому (по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому -параллелограмм.

2) Пусть в четырехугольнике и (рис. 22). Проведем диагональ Тогда (по трем сторонам). Поэтому и следовательно, (по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Следовательно, — параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике диагонали и пересекаются в точке и (рис. 23). (как вертикальные). Поэтому (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда Аналогично доказываем, что Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что — параллелограмм.

4) Пусть в параллелограмме (рис. 16). Так как то т. е. откуда Но и — внутренние накрест лежащие углы для прямых и и секущей Поэтому

по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Следовательно, — параллелограмм.

Пример:

В четырехугольнике Докажите, что — параллелограмм.

Доказательство:

Пусть — данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим и — их общая сторона, (по условию). Тогда, (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Но тогда в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.

О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).

В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.

Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.

Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник