Как доказать что функции взаимно обратные

Взаимно обратные функции

Функция, обратная данной

По определению (см. §34 справочника для 7 класса)

Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Пусть некоторое соответствие задано таблицей:

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.

Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения

Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения

Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций

1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.

2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.

4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.

5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.

Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:

Примеры

Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.

Меняем аргумент и значение: x = 5y-4

Меняем аргумент и значение: x = 4y+1

$6 \ge x \ge 2,5 \Rightarrow 2,5 \le x \le 6$

Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.

Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.

$x = y^2 \Rightarrow y = \pm \sqrt$

$x = y-3 \Rightarrow y = x+3$

$x = \frac<1> \Rightarrow y = \frac<1> -1$

$x = 1+ \sqrt \Rightarrow y = (x-1)^2+3$

Источник

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики

Понятие обратной функции

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Нахождение взаимно обратных функций

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

Решение

Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Решение

В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

На графике обе функции будут выглядеть так:

Основные свойства взаимно обратных функций

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3

Графики взаимно обратных функций

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

Графики для функций с a > 1 и a 1 будут выглядеть так:

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:

График главной ветви арктангенса и тангенса:

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

Источник

Взаимно обратные функции с примерами и образцами решения

Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными функциями. Подробное ознакомление с этим понятием начнем с простых примеров.

Напишем формулу для вычисления площади круга по его радиусу: S = . Эта формула задает площадь круга S как функцию его радиуса R, т. е. для каждого (положительного) числа R по этой формуле вычисляется площадь круга S. Представим себе, что надо решить обратную задачу: по данной площади круга S

вычислить его радиус. Для этого выразим R через S так:

Новая формула задает радиус круга R как функцию его площади S. Полученные две функции S=S(R) и R =R(S) являются примерами взаимно обратных функций.

Приведем еще примеры взаимно обратных функций:

В каждом из указанных примеров соответствие между переменными величинами, задаваемое взаимно обратными функциями, одно и то же. В самом деле, зависимость между радиусом и площадью круга остается одной и той же: записывается ли она в виде S = или же в виде Точно так же функции

выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у.

Определение. Две функции fug называются взаимно обратными, если формулы y=f (х) и x=g(y) выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, т. е. если равенство y=f (х) верно тогда и только тогда, когда верно равенство x = g (y).

Если две функции f и g взаимно обратны, то g называют обратной функцией для f и, наоборот, f — обратной для g.

Как ответить на вопрос, что такое обратная функция для функции f? Это можно сделать следующим образом: обратная функция для функции f — это такая функция g, что f и g образуют пару взаимно обратных функций.

Как мы уже отметили, зависимость y = 2x+ 5 и

между переменными x и у одна и та же. Эту же зависимость можно записать и так: 2х —y + 5 = 0. Из последней формулы можно выразить у как функцию от х, а можно и, наоборот, выразить х как функцию от у. Эти две функции будут взаимно обратны.

Таким образом, исходным понятием является понятие зависимости. Если есть некоторая зависимость между переменными хну, которая позволяет выразить у как функцию от х и х как функцию от у, то эти две функции и являются взаимно обратными.

Графики взаимно обратных функций

При построении графиков взаимно обратных функций необходимо внимательно следить за обозначениями переменных. Рассмотрим функцию f. Аргумент этой функции и ее значения можно обозначить произвольными буквами. Так, в формулах у=, s = , N = переменные обозначены различными буквами, однако каждая из этих формул определяет одну и ту же показательную функцию, экспоненту.

Определение взаимно обратных функций сформулировано на языке зависимостей. Чтобы определить, являются ли эти две функции f и g (заметьте, здесь пока нет обозначений для переменных) взаимно обратными, надо взять две переменные, например х и у, составить две формулы y = f

Различия в обозначениях переменных сказываются при построении графиков функций. Пусть у нас есть две переменные х и у, значения которых откладываются на выбранных координатных осях, которые мы обозначаем этими же буквами х и у. Рассмотрим зависимости между х и у.

Ясно, что это разные записи одной и той же зависимости между переменными х и у.

Поэтому график каждой из этих зависимостей один и тот же — он состоит из всех точек Р (х; у), координаты которых связаны соотношением у = 2х+5, справедливым тогда и только тогда, когда или 2ч —у + 5 = 0 (рис. 113). Точно так же график зависимостей у = и х = ln у в системе координат (х; у) один и тот же (и зависимость между х и у на самом деле одна и та же; рис. 113).

Посмотрим на зависимость . Она выражает х как некоторую функцию от у. Аргумент этой функции обозначен буквой у, а значения — буквой х. Поменяем местами х и у, т. е. рассмотрим зависимость . Функция осталась одной и той же, но теперь ее аргумент обозначен, как обычно, буквой х, а значения — буквой у. Построим график функции (например, по двум точкам на рисунке 113). Мы видим, что этот график отличен от графика зависимости .

Как связаны между собой графики функций у = 2х+5 и ?

Возьмем какую-либо точку на графике первой функции, например Р(0; 5). Поменяем местами координаты, т. е. рассмотрим точку Q (5; 0). Эта точка лежит на графике второй функции ,

Точки Р (0; 5) и Q (5; 0) симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу, т. е. прямой у — х. Из рисунка 114 видно, что при любых а и b точки Р (а; b) и Q (b а) симметричны друг другу относительно прямой у=х.

Теорема:

Пусть f и g — взаимно обратные функции. Графики функций y — f(x) и y = g(x) симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу.

Доказательство

По определению взаимно обратных функций формулы y = f(x) и х = g(y) выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, а значит, эта зависимость изображается одним и тем же графиком — некоторой кривой С (схема XII). Кривая С является графиком функции y = f(x). Возьмем произвольную точку Р (а; b) ∈ С. Это означает, что b = f(a) и одновременно a = g(b). Построим точку Q, симметричную точке Р относительно биссектрисы угла хОу. Как мы заметили раньше, точка Q будет иметь координаты (b; а). Так как a = g (b), то точка Q принадлежит графику функции y = g(x): действительно, при х = b значение у = а равно g (х). Таким образом, все точки, симметричные точкам кривой С относительно указанной прямой, лежат на графике функции у = g (х). Они исчерпывают этот график целиком, так как аналогично показывается, что всякая точка функции y — g(x) при указанной симметрии попадает на график функции y = f(x). Теорема доказана.

На рисунке 115 изображены графики пар взаимно обратных функций:

Условие существования обратной функции

Дана функция y = f(x). Поставим следующий вопрос: при каком условии существует функция, обратная к функции f? По определению обратная функция к функции f строится так: из соотношения y=f(x) надо х выразить как функцию от у.

Таким образом, самым простым ответом на поставленный вопрос будет такой: функция f имеет обратную, если из соотношения y = f(x) переменную x можно однозначно выразить через у. Мы уже знакомы с примерами функций, для которых это можно сделать. Приведем примеры таких функций, для которых нельзя однозначно выразить аргумент через заданное значение функции.

Сравним графически эти примеры с примерами, приведенными ранее. Возьмем число у0 из области значений функции f и проведем прямую у = уо, параллельную оси абсцисс. В ранее рассмотренных случаях эта прямая пересекает график в одной точке, т. е. можно по заданному значению у однозначно найти значение х. В последних трех примерах при некоторых у прямая пересекает график более чем в одной точке: для этих значений у мы не можем однозначно найти х, значит, эти функции не имеют обратных.

Дадим геометрическую трактовку условия того, что функция имеет обратную.

Это же условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x)=yo при каждом уо имеет не более одного решения.

Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает. Действительно, если f, например, строго возрастает, то при двух различных значениях аргумента она принимает различные значения, так как большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, уравнение f(x) = y для строго монотонной функции имеет не более одного решения.

Показательная функция у = строго монотонна, поэтому она имеет обратную — логарифмическую функцию y = loga x. Строго говоря, определение логарифма числа у требовало возможности однозначно определить показатель х, такой, что =у, т. е. чтобы из соотношения =у можно было однозначно выразить х через у.

Мы знаем, что многие функции не имеют обратных. Если при некотором b уравнение f(x) = b имеет более одного решения, то функция y =f(x) обратной не имеет. На графике это означает, что прямая у = b пересекает график функции более чем в одной точке.

Многие изучавшиеся ранее функции не имеют обратных, например у = , y = sin x, y = tg x и т. п. С неоднозначностью решения уравнения f(x)=b можно справиться следующим образом: уменьшить область определения функции f так, чтобы ее область значений не изменилась, но чтобы каждое свое значение она принимала ровно один раз.

Примеры:

В каждом из приведенных примеров функция сохранила область значений: для у = это промежуток [0; + ∞]. Для синуса и косинуса это отрезок [—1; 1], для тангенса это вся числовая ось. В то же время, уменьшив область определения, мы добились монотонности функции, а значит, и единственности решения уравнения f(x)=b.

Каждая из выписанных выше функций имеет обратную. Для обратных операций из примеров 1, 3, 5, 6 нами раньше введены специальные обозначения:

С помощью этих обозначений можно ввести функции, обратные к тем, которые были перечислены выше:

Функции в пропущенных примерах 2 и 4 можно выразить через уже введенные:

2. у=—является обратной функцией для функции у = , х ≤ О.

4. у = π — arcsin x является обратной функцией для функции у=sin,

Проверим последнее утверждение:

б) Проверим, что π —arcsin х имеет областью значений отрезок

Свойства взаимно обратных функций

1) Тождества. Пусть f и g — взаимно обратные функции. Это означает, что равенства y = f(х) и x=g(y) равносильны. Подставим одно из этих равенств в другое. Получим два тождества:

Примеры:

2. Функции у = , х ≥ 0 и у = взаимно обратны. Имеем два тождества:

2) Область определения. Пусть f и g — взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и, наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g. Действительно, обратная функция к функции y = f(x) определена для всякого числа у, которое является значением функции f для некоторого числа х: мы берем равенство y = f(x) и из него выражаем л: как функцию от у. Это свойство наглядно проявляется на графике: график функции y = f(x) совпадает с графиком обратной функции x = g(y), только аргумент функции g откладывается по оси у. Ясно, что аргументы функции g — это значения функции f и наоборот.

Пример. Область определения показательной функции — вся числовая ось R, а ее область значений — множество всех положительных чисел. У логарифмической функции наоборот: область определения — множество всех положительных чисел, а область значений — все множество R.

Теорема:

Если одна из взаимно обратных функций строго возрастает, то и другая строго возрастает.

Действительно, пусть f и g— взаимно обратные функции, причем f строго возрастает. Докажем, что тогда и g строго возрастает. Пусть x₁ и x₂ — два числа, лежащие в области определения функции g, причем x₁

Переходя к производным и учитывая, что угловой коэффициент касательной является значением производной в точке касания, делаем вывод:

Значения производных взаимно обратных функций в соответствующих точках взаимно обратны, т. е.

Напомним еще, что b = f

Замечание:

В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что k1 ≠ 0 т. е. касательные к кривым не параллельны осям координат.

Приведем примеры нахождения производной обратной функции.

Обратной функцией будет функция y = g(x) = Найдем производную функции g:

Обратной функцией будет y = g (x) = arcsin x. Найдем производную арксинуса:

Аналогично вычисляется производная арктангенса:

Дополнение к обратным функциям

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики.

Навигация по странице.

Определение обратной функции.

Пусть функция строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения , область значений этой функции , тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция с областью значений , которая является обратной для .

Другими словами, об обратной функции для функции на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений . Решения как раз и записываются через обратные функции.

Примеры нахождения взаимнообратных функций.

Например, требуется решить уравнение .

Решениями являются точки .

Функции косинус и арккосинус как раз являются обратными на области определения.

Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.

Начнем с линейных взаимнообратных функций.

Найти функцию обратную для .

Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x ).

Таким образом, и — взаимно обратные функции.

Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдет ниже.

Теперь рассмотрим пример нахождения логарифмической функции, обратной к заданной показательной функции.

Найти функцию обратную для .

Областью определения этой функции является все множество действительных чисел, областью значений является интервал . Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x ).

Таким образом, и — показательная и логарифмическая функции есть взаимно обратные функции на области определения.

График взаимно обратных показательной и логарифмической функций.

Свойства взаимно обратных функций.

Перечислим свойства взаимно обратных функций и .

Замечание по свойству 1).

Рекомендуем ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО относиться к области определения и области значений функций.

Надеемся, Вы уловили этот тонкий момент.

Особенно аккуратными надо быть с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.

К примеру, , так как область значений арксинуса , а в нее не попадает.

Правильно будет

В свою очередь есть верное равенство.

То есть при и при .

Еще раз подчеркнем: БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ С ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬЮ ЗНАЧЕНИЙ!

Графики основных элементарных взаимно обратных функций.

Взаимно обратные степенные функции, графики.

Для степенной функции при обратной является также степенная функция Если заменить буквы, то получим пару взаимно обратных функций и

Взаимно обратные показательная и логарифмическая функции и , графики.

Подразумеваем, что а положительное и не равное единице число.

Графики для и для

Взаимно обратные тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

График главной ветви синуса и арксинуса (светлая область).

График главной ветви косинуса и арккосинуса (светлая область).

График главной ветви тангенса и арктангенса (светлая область).

График главной ветви котангенса и арккотангенса (светлая область).

Если Вам потребуются обратные функции для ветвей тригонометрических функций, отличных от главных, то соответствующую обратную тригонометрическую функцию нужно будет сдвинуть вдоль оси ординат на необходимое количество периодов.

Например, если Вам потребуется обратная функция для ветви тангенса на промежутке (эта ветвь получается из главной ветви сдвигом на величину вдоль оси ох ), то ей будет являться ветвь арктангенса, сдвинутая вдоль оси oy на .

Пока на этом закончим с обратными функциями.

Источник