Как доказать что функция убывает 9 класс

Условие \eqref не является необходимым для строгого возрастания функции. Например, функция \(f(x)=x^<3>\) строго возрастает на \(\mathbb\), но условие \eqref не выполняется, так как \(f'(0)=0\).

Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), дифференцируема на интервале \((a,b)\) и удовлетворяет условию \eqref, то эта функция строго убывает на отрезке \([a,b]\).

\(\circ\) Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа. \(\bullet\)

Доказать, что если \(0 \frac<2><\pi>x.\label
$$

\(\triangle\) Рассмотрим функцию \(f(x)=\displaystyle \frac<\sin x>,\;f(0)=1\). Эта функция непрерывна на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right]\) и дифференцируема на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)\), причем \(f'(x)=\displaystyle \frac<\cos x>>(x-\operatornamex) 0,\ \operatornamex > x\). По теореме 3 функция \(f(x)\) строго убывает на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right]\), и поэтому \(f(x) > f(\displaystyle \frac<\pi><2>)\) для \(x\in\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)\), то есть выполняется неравенство \(\displaystyle \frac<\sin x> > \frac<2><\pi>\), равносильное на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)\) неравенству \eqref. Геометрическая интерпретация неравенства \eqref: на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)\) график функции \(у=\sin x\) лежит выше графика функции \(y=\displaystyle \frac<2><\pi>x\) (рис. 20.1).

Рис. 20.1

Отметим, что
$$
\sin x\geq \displaystyle \frac<2><\pi>x \ при \ x\in \left[0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right],\label
$$
причем при \(x=0\) и \(x= \displaystyle \frac<\pi><2>\) неравенство \(\sin x\geq \displaystyle \frac<2><\pi>x\) обращается в равенство.\(\blacktriangle\)

Возрастание (убывание) функции в точке.

Будем говорить, что функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\) если существует \(\delta\;>\;0\) такое, что
$$
\begin
\forall x\in (x_<0>-\delta,x_0)\rightarrow f(x) f(x_<0>),
\end\label
$$

Заметим, что условие \eqref равносильно условию
$$
\frac)>> > 0,\quad x\in\dot_<\delta>(x_<0>).\label
$$
Аналогично вводится понятие строгого убывания функции \(f(x)\) в точке \(x_0\). В этом случае
$$
\frac)>> Теорема 4.

Если \(f'(x_0) > 0\), то функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\), а если \(f'(x_0) Доказательство.

Источник

Урок с презентацией по алгебре на тему «Возрастание и убывание функции» (9 класс)

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выбранный для просмотра документ Возрастание и убывание функции (3).doc

с использованием информационно – коммуникационных технологий (ИКТ)

Учитель : Жамалетдинова Галия Алиевна

Предмет : алгебра, урок изучения нового материала.

Тема: «Возрастание и убывание функции».

Продолжительность : 45 минут

Место урока в учебной программе – глава 3 «Степенная функция», тема «Возрастание и убывание функции», четвертый урок в главе, первый урок в теме.

Основные компоненты урока:

организационный – организация класса в течение урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина;

целевой – постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы;

мотивационный – определение значимости изучаемого материала, как в данной теме, так и в главе;

коммуникативный – уровень общения с классом;

содержательный – подбор материала для изучения, закрепления, повторения, самостоятельной работы;

технологический – выбор форм, методов и приёмов обучения, оптимального для данного типа урока, данной темы, класса;

аналитический – подведение итогов урока, анализ результатов деятельности учащихся на уроке, анализ результатов собственной деятельности по организации урока;

— объяснительно – иллюстративный : использовала рассказ – повествование для изложения изучаемого материала, наглядные средства обучения – записи формул функций, определений, рисунки графиков функций на слайдах презентации, практический показ способа решения задачи;

— методы стимулирования и мотивации учебно- познавательной деятельности;

Сообщение темы урока, целей урока (слайды 1,2).

повторить ранее изученные свойства функции;

сформулировать определения возрастающей и убывающей функций;

научить находить промежутки возрастания и убывания с помощью графика рассматриваемой функции.

( Урок проводится демонстрацией презентации на экран.)

2. Актуализация опорных знаний учащихся (5-7 мин).

— На протяжении последних уроков мы с вами учились находить область определения функции; используя параллельный перенос, строили графики функций.

— Давайте повторим теорию по предыдущей теме, для этого выполним устные упражнения (слайд 3).

3. Изучение нового материала (17-20 мин).

— Запишите тему урока «Возрастание и убывание функции» и число.

— Ребята вы знакомы с функциями (смотри слайд 4).

— Степенная функция определена для тех значений х, при которых эта формула имеет смысл.

— Давайте вспомним область определения этих функций (отвечают ученики).

— А теперь вспомним определение возрастающей функции (слайд 5).

Привести примеры (слайд 5).

— Вспомним определение убывающей функции (слайд 6).

Привести пример (слайд 6).

— Найдите в учебнике эти определения, дома прочитайте и выучите.

— Ребята, теперь давайте посмотрим, от чего зависит поведение степенной функции

— На двух рисунках даны графики функций (слайд 7). В учебнике эти рисунки 4 и 5 на странице 70.

Объяснение проводиться по готовым рисункам и записям 7 слайда на экране.

— Итак, поведение степенной функции у = х r зависит от знака показателя степени r .

Учащиеся сами делают выводы:

2) если r r убывает на промежутке х > 0 (слайд 7).

— Устно решить № 165 из учебника (слайд 7).

— На рисунках 1 и 2 можно увидеть, каким же еще свойством обладают графики функций (слайд 7).

— Ребята, мы забыли про функцию у = х², не указали промежутки возрастания и убывания. Объяснения и выводы по слайду 8.

Выводы: на промежутке х≤0 большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция убывает; на промежутке х≥0 большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция возрастает.

4. Закрепление изученного материала (13-14 мин).

Задание. Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функций. Объяснение на готовых рисунках и записях на слайде 9.

1. Выполнить № 164 (1, 3, 5) из учебника.

Построить график и найти промежутки возрастания и убывания. К доске выходят три ученика, остальные выполняют самостоятельно, все пользуются шаблоном параболы.

-2. Выполнить № 166 (1, 3) из учебника.

Нарисовать эскиз графика функции при х>0.

выполняют вместе с учителем;

самостоятельно, потом ученик показывает решение на доске.

Рядом с буквами написаны ответы- промежутки возрастания и убывания семи функций (с левой стороны слайда).

Под номером, соответствующим каждой функции, напишите букву. Если правильно напишите, то угадаете зашифрованное слово. В тетрадях пишите только номера функций и соответствующие буквы под ними.

После выполнения, проводиться взаимопроверка.

— Внимание, проблемная задача! Задача- пословица.

— «Чем дальше в лес, тем больше дров», гласит народная пословица. Изобразить графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса.

— Горизонтальная ось графика-это лесная дорога. По вертикали откладывайте количество дров.

— Что представляет собой график? (- Количество дров как функцию пути. Согласно пословице, эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс не взять, для более дальней (чем дальше в лес …) значение функции будет больше (… тем больше дров)).

Выставление оценок за успешное выполнение заданий и знание теоретического материала.

6. Домашнее задание (2 мин). Слайд 13.

Урок сегодня завершен,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К успеху в жизни приведут!

— Ребята, вы сегодня все хорошо потрудились на уроке.

Мне было приятно сегодня с вами работать.

Методическая часть работы

Элемент ИКТ (№ слайда)

Как (приёмы и методы) используется этот элемент в уроке?

индивидуальная и фронтальная работа с учащимися

Какие цели преследуются применением конкретно этого элемента на уроке?

повторить теорию по предыду-щей теме

отражение главных теоретических положений при изучении

показать образец оформления задачи и способ решения

теоретического материала через выполнение заданий

компетент-ности, которая содействует саморазвитию

Каким образом этот элемент усиливает эффективность достижения целей?

наглядные средства обучения – формулы, графики на слайдах

развитие внимания, логического мышления при решении задач,

формирование коммуникативной компетенции при проверке

возможность проверки знаний учащихся с наименьшим

развитие навыков просмотрового и поискового чтения у учащихся.

Источник

Возрастание и убывание функции — справочник студента

Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

Спирина Ирина Марксовна, учитель математики, I категории.

График функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10].

Возрастание и убывание функции синус

Возрастание и убывание функций тангенса и котангенса

Точки минимума, точки максимума

Спасибо за урок! Всем удачи!

Возрастание и убывание функций

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

Так как x2>x1, то x2-x1>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Отсюда y(x2)-y(x1)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной (начала математического анализа — производную и её применение — проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

Основные свойства функций. Справочник репетитора по математике

Данная страница справочника представляет собой виртуальную шпаргалку по математике для учеников и методическое справочное пособие для репетиторов. Тема «свойства функций», адаптированное для разных уровней учащихся 8-9класов.

В нем перечислены определения основных понятий и свойств, виды функций, термины и обозначения, принятые в математике. Репетитору по математике показаны образцы рисунков, которые должны остаться в теради ученика.

Информация изложена как на строгом и формальном математическом языке (для среднего и сильного ученика), так на простом (бытовом) уровне, доступном для понимания широкому кругу посетителей сайта.

Каждый такой перевод с математического языка на русский отмечен одним из следующих указателей: «пояснение репетитора по математике», «редакция репетитора по математике» или «уточнение репетитора по математике». В этих — переводах вы встретите несколько моих собственных уникальных дополнений и комментариев к классическим фомулировкам, которые я использую на занятиях со слабым учеником.

Определение функции: функцией или функциональной зависимостью называется такое соответствие f (x) при котором числу x из множества X сопоставляется некоторое единственное число из множества Y.

Редакция репетитора по математике: функцией называется закон или правило, по которому можно найти число y (значение какой-нибудь величины), если известно число x (значение какой-нибудь другой величины).

При этом букву x называют независимой переменной (или аргументом), а букву y — зависимой переменной. Число, которое подставляется вместо x, называется значением переменной (или значением аргумента), а число y, которому оно соответствует, называется значением функции.

График функции — множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Свойства функции:

1) Что такое область определения функции? Область определения функции (О.О.Ф) — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции.

Редакция репетитора по математике: область определения — множество значений переменной x, у которых можно найти y.

Обозначения области определения Для обозначения области определения используются следующие знаки:
Как найти область определения по графику? Область определения — это промежутки на оси Ох, над которыми (или под которыми) имеются части графика.

2) Что такое область значений функции? Областью значений функции (О.З.Ф) называется множество всех ее значений.
Редакция репетитора по математике:областью значений функции можно назвать часть оси ОY, состоящую из игреков, у которых есть соответствующие им иксы.

Как найти область значений по графику?: область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полоске) находятся части графика.

Редакция репетитора по математике: Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если, большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для графика это будет означать то, что при движении по нему карандашом слева направо карандаш будет подниматься вверх.

Какая функция называется убывающей? Функция называется убывающей, если для любой пары значений аргументов и из неравенства следует неравенство

Редакция репетитора по математике: нулями функции называются такие числа х, у которых соответствующие игреки равны нулю.
Как найти нули функции без графика? Составьте и решите уравнение f (x)=0, то есть приравняйте аналитическое выражение функции (правую часть ее записи) к нулю.

Редакция репетитора по математике:функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Уточнение репетитора по математике: равенство можно получить только тогда, когда функция имеет симметричную область определения, поэтому проверку этой симметричности при решении задач часто опускают.

Как определить четность функции по графику?График четной функции должен быть симметричен оси Оу.

Пояснения репетитора по математике: симметрия графика означает то, что он состоит из двух частей, одна из которых является зеркальным отражением другой.

Редакция репетитора по математике:функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Уточнение репетитора по математике: равенство можно получить только тогда, когда функция имеет симметричную область определения, поэтому проверку этой симметричности при решении задач часто опускают.

Как определить нечетность функции по графику?График нечетной функции должен быть симметричен началу координат, Пояснения репетитора по математике: симметрия означает то, что если какая-то точка лежит на графике, то и симметричная ей точка (с противоположными координатами) тоже должна лежать на графике.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике, профессиональный репетитор и методист. Москва, Строгино.

Возрастающие функции, убывающие функции

— растет, если для любых

Свойства возрастающей функции

Признак возрастания функции

Примеры функций возрастают на всей области определения

Нисходящая функция

Свойства убывающей функции

Признак убывания функции

Примеры функций, спадающими на всей области определения

Раздел: Функции и графики

Если Вы будете продолжать использовать данный веб-сайт, мы предполагаем, что Вы согласны получать все файлы cookie на всех сайтах Cubens. Получить подробную информацию можно здесь.

Возрастание и убывание функции

Преподаватель ГБПОУ СТТТ АО Мальцева О.В.

Урок разработан в соответствии с содержанием учебной программы по математике. Цели и задачи отвечают программным требованиям.

Урок по теме «Признак возрастание (убывания) функции» изучается в рамках раздела «Применение производной к исследованию функции». Для освоения данной темы студенты должны хорошо владеть понятием «Производная функции» и уметь находиться её, используя основные правила дифференцирования.

Литература для студентов и преподавателя

Математика: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования/ М. И. Башмаков. – 10-е изд., стер.- М.: Издательство «Академия», 2015. – 256 с.

Математика. Сборник задач профильной направленности: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования/ М. И. Башмаков. – 5-е изд., стер.- М.: Издательство «Академия», 2014. – 208 с.

Литература для преподавателя

Математика. Книга для преподавателя: методическое пособие для НПО и СПО/ М. И. Башмаков. – 8-е изд., стер.- М.: Издательство «Академия», 2013. – 256 с.

Организационная структура урока

Актуализация опорных знаний

Изучение нового материала

Применение знаний, формирование умений

Подведение итогов. Домашнее задание

Какой рисунок иллюстрирует эту ситуацию (см. слайд 1)?

Давайте запишем признак в тетрадь (см. слайд 5).

На слайде представлен график функции. С помощью признака определите промежутки возрастания и убывания функции.

Прочитайте еще раз формулировку признака и ответьте на вопрос: «Какие действия необходимо выполнить, чтобы определить промежутки возрастания и убывания?» (Предполагаемый ответ: Найти производную функции, определить ее знак)

Составим и запишем полный алгоритм в тетради (см. слайд 7).

4. Отметить на области определения точки, в которых производная равна нулю и не существует (см. п.3)

5.Расставьте знаки производной в каждом из полученных промежутков.

6.Определите промежутки возрастания и убывания

Задание. Применим алгоритм для нашей функции и найдем промежутки возрастания и убывания функций без построения графика функции.

Задание 3. Исследуем следующие функции на возрастание и убывание. В чем отличие этих функций от предыдущих? (Предполагаемый ответ: Количество промежутков возрастания и убывания может быть различным)

6.Подведение итогов. Домашнее задание

Сверим решение со слайдом.

Подведем итоги. Как вы думаете, где можно использовать полученные знания на уроке? (Предполагаемый ответ: Для построения сложных графиков функций, определять поведение функции без построения графика функции).

В начале урока были сформированы две цели урока:

-определить признак возрастания и убывания функции;

-научиться использовать признак для исследования функции.

Отметьте знаком : «+» — те цели, выполнение которых удалось на уроке;

«-» — те, выполнение которых не удалось на уроке и знаком «?» — те, над реализацией которых необходимо еще поработать на ваш взгляд.

Найти промежутки возрастания и убывания для функций:

Связь производной с возрастанием/убыванием функции

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе.

Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин.

Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля».

На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей.

Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов.

Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» — здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков.

К каждому из них, например, на нахождение производной функции, прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.

Лекции — Математический анализ — файл Глава — 2.doc

Лекции — Математический анализскачать (4427.7 kb.)Реклама MarketGid:

Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается (x0).

Пример 1. Найти производную для функции f(x) = x2 в точке x0 = 3.

сли (x0) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x0. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x0 и ее непрерывностью в этой точке.

Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство: Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Дано, что f’(x0) существует, т.е. есть некоторое число. Покажем, что выполняется равенство (*):

Итак, доказано, что f(x) непрерывна в точке x0.

Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

не существует, т.е. f(x) не дифференцируема в точке x0 = 0. Рассмотрим геометрический смысл производной.

На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции y = f (x). Точка M0 на графике имеет координаты x0, f(x0), другая точка графика M – координаты x0 + x, f(x0 + x).

Прямая MM является секущей для линии y = f(x), она наклонена к оси Ox под углом . Пусть (x0) существует, т.е. есть некоторое число. Из MMА получаем: (известно, что tg – угловой коэффициент прямой MM).

Если x  0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M0, при этом секущая MM, поворачиваясь вокруг точки M0, стремится занять предельное положение, т.е.

совпасть с касательной MK, при этом ( – угол между касательной MK и осью Ox), tg  tg.

Таким образом, но tg = k есть угловой коэффициент касательной MK.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x0: (x0) = k = tg.

В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной MK имеет вид: y – f (x0) = (x0)(x – x0).

Переходим к рассмотрению механического смысла производной.

усть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.

Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0 (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t0. Рассмотрим другой момент времени

t0 + t. За время t0 пройденный точкой путь равен: S0 = f (t0), за (t0 + t) пройдено расстояние S = f(t0 + t), и точка оказалась в положении M, тогда за время t пройден путь MM и он равен:

Средняя скорость Vср за пpомежуток времени t равна: Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени t. Скоростью в момент времени t0 (обозначим V(t0)) называется предел средней скорости Vср при t  0. Итак,

Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t0 есть скорость в момент времени t0.

Скачать файл (4427.7 kb.) Нажми чтобы узнать.

Источник