Как доказать что функция возрастает на определенном промежутке

Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.

теория по математике 📈 функции

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Источник

Возрастание и убывание функций

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

x_1 \Rightarrow f(x_2 ) > f(x_1 ). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

x_1 \Rightarrow f(x_2 )

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).

На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).

Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x₁;x₅]:

Кратко это записывают так:

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \ge f(x_1 ), \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.

6) Если для любых двух значений x₁,x₂ из некоторого промежутка выполняется условие

x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \le f(x_1 ), \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.

7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.

Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых функции y=g(x), определённая на отрезке [x₁;x₃], является невозрастающей и неубывающей:

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x₁;x₂].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x₂;x₃].

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

Теперь выносим общий множитель (x₂-x₁) за скобки:

Так как x₂>x₁, то x₂-x₁>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x₁, x₂ ∈(-∞;-2) x₂+x₁+4

возрастает на промежутке (2;+∞).

Функция определена при x∈(-∞;2) и (2;+∞).

0. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Отсюда y(x₂)-y(x₁)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной (начала математического анализа — производную и её применение — проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

Источник

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Точки экстремума, экстремумы функции

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

После чего необходимо найти производную:

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

Перейдем к вычислению минимумов:

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

Второй признак экстремума функции

Для начала находим область определения. Получаем, что

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

Третье достаточное условие экстремума

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №15. Возрастание и убывание функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение промежутков монотонности функции,

2) Определение алгоритма нахождения промежутков возрастания и убывания функции,

3) Решение задачи на нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₁ f(x₂)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежутки монотонности функции

1.Найдем область определения функции.

D(y) =

2.Найдем производную функции.

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на и на .

Ответ: Функция возрастает на

Функция убывает на и на .

№2. Определите промежутки монотонности функции

у = х 5 –5х 4 +5х 3 – 4.

y‘ =

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на .

Источник

Возрастание и убывание функции

Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале \((a,b)\) функция \(f(x)\) была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
$$
f'(x)\geq 0\ при \ всех\ x\in(a,b).\label
$$
Аналогично, условие
$$
f'(x)\leq 0\ при \ всех \ x\in(a,b)\label
$$
является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\).

\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастающей функции.

Необходимость. Пусть \(x_0\) — произвольная точка интервала \((a,b)\). Из определения возрастающей функции следует, что
$$
\forall x\in (a,b):\ x > x_<0>\ \rightarrow f(x)\geq f(x_<0>),\nonumber
$$
$$
\forall x\in (a,b):\ x x_1\rightarrow f(x_2) \geq f(x_<1>).\label
$$
Это означает, что функция \(f(x)\) является возрастающей на интервале \((a,b).\ \bullet\)

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Если для всех \(x\in (a,b)\) выполняется условие
$$
f'(x) > 0,\label
$$
то функция \(f(x)\) строго возрастает на интервале \((a,b)\), а если для всех \(x\in (a,b)\) справедливо неравенство
$$
f'(x) Доказательство.

\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется условие \eqref. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные точки интервала \((a,b)\) такие, что \(x_1 f(x_<1>)\). Это означает, что функция \(f(x)\) строго возрастает на интервале \((a,b)\). \(\bullet\)

Доказать, что функции \(\operatornamex\) и \(\operatorname

x\) строго возрастают на \(\mathbb\).

\(\triangle\) Так как \((\operatornamex)’=\operatornamex > 0\) и \((\operatorname

x=\displaystyle \frac<1><\operatorname^<2>x> > 0\) для всех \(x\in\mathbb\), то по теореме 2 функции \(\operatornamex\) и \(\operatorname

x\) являются строго возрастающими на \(\mathbb\). \(\blacktriangle\)

Условие \eqref не является необходимым для строгого возрастания функции. Например, функция \(f(x)=x^<3>\) строго возрастает на \(\mathbb\), но условие \eqref не выполняется, так как \(f'(0)=0\).

Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), дифференцируема на интервале \((a,b)\) и удовлетворяет условию \eqref, то эта функция строго убывает на отрезке \([a,b]\).

\(\circ\) Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа. \(\bullet\)

Доказать, что если \(0 \frac<2><\pi>x.\label
$$

\(\triangle\) Рассмотрим функцию \(f(x)=\displaystyle \frac<\sin x>,\;f(0)=1\). Эта функция непрерывна на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right]\) и дифференцируема на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)\), причем \(f'(x)=\displaystyle \frac<\cos x>>(x-\operatornamex) 0,\ \operatornamex > x\). По теореме 3 функция \(f(x)\) строго убывает на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right]\), и поэтому \(f(x) > f(\displaystyle \frac<\pi><2>)\) для \(x\in\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)\), то есть выполняется неравенство \(\displaystyle \frac<\sin x> > \frac<2><\pi>\), равносильное на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)\) неравенству \eqref. Геометрическая интерпретация неравенства \eqref: на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)\) график функции \(у=\sin x\) лежит выше графика функции \(y=\displaystyle \frac<2><\pi>x\) (рис. 20.1).

Рис. 20.1

Отметим, что
$$
\sin x\geq \displaystyle \frac<2><\pi>x \ при \ x\in \left[0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right],\label
$$
причем при \(x=0\) и \(x= \displaystyle \frac<\pi><2>\) неравенство \(\sin x\geq \displaystyle \frac<2><\pi>x\) обращается в равенство.\(\blacktriangle\)

Возрастание (убывание) функции в точке.

Будем говорить, что функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\) если существует \(\delta\;>\;0\) такое, что
$$
\begin
\forall x\in (x_<0>-\delta,x_0)\rightarrow f(x) f(x_<0>),
\end\label
$$

Заметим, что условие \eqref равносильно условию
$$
\frac)>> > 0,\quad x\in\dot_<\delta>(x_<0>).\label
$$
Аналогично вводится понятие строгого убывания функции \(f(x)\) в точке \(x_0\). В этом случае
$$
\frac)>> Теорема 4.

Если \(f'(x_0) > 0\), то функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\), а если \(f'(x_0) Доказательство.

Источник