Как доказать что группа абелева
Абелева группа
Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной. Название дано в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802-1829), за его вклад в исследование групп преобразований.
Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны произведениям циклических групп. Конечные абелевы группы изоморфны произведениям конечных циклических групп.
Примеры
Свойства
Пусть n — натуральное число, а x — элемент коммутативной группы G с операцией, обозначаемой сложением, тогда nx можно определить как x + x + … + x (n раз) и (−n)x = −(nx). Таким образом, G становится модулем над кольцом Z целых чисел. В действительности модули над Z однозначно задаются абелевыми группами.
Пусть f, g : G → H — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f + g, заданная как (f + g)(x) = f(x) + g(x), тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H некоммутативная группа). Тем самым множество Hom(G, H) всех групповых гомоморфизмов из G в H само становится абелевой группой.
Конечные абелевы группы
Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямое произведение своих циклических подгрупп порядков являющихся степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда G не имеет элементов бесконечного порядка. Zmn изоморфно произведению Zm и Zn тогда и только тогда когда m и n взаимно просты. Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямого произведения
двумя различными способами:
Например, Z/15Z = Z/15 может быть разложено в прямое произведение двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: Z/15 = <0, 5, 10>⊕ <0, 3, 6, 9, 12>. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.
bn:আবেলীয় গ্রুপ ca:Grup abelià cs:Abelova grupa da:Abelsk gruppe el:Αβελιανή ομάδα eo:Komuta grupo et:Abeli rühm he:חבורה אבלית hu:Abel-csoport nl:Abelse groep nn:Abelsk gruppe no:Abelsk gruppe nov:Abelan grupe pl:Grupa przemienna sk:Abelovská grupa sl:Abelova grupa sr:Абелова група sv:Abelsk grupp ta:பரிமாற்றுக் குலம் vi:Nhóm giao hoán