Как доказать что хорды равны
Равные хорды
Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.
Равные хорды равноудалены от центра окружности.
Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).
Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.
II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.
2) ∠A=∠C (по доказанному).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.
Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.
Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.
По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.
Что и требовалось доказать.
Равные хорды стягивают равные дуги.
Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,
Соединим центр окружности с концами хорд.
Рассмотрим треугольники AOB и COD
2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).
Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.
Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD
Хорды, стягивающие равны дуги, равны.
Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
Рассмотрим треугольники AOB и COD
Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.
Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.
Хорды и дуги
Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.
При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.
Теорема 1. Равные дуги стягиваются равными хордами.
Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (рис. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.
Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.
Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (рис. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: \(\breve <АВ>= \breve<СК>\).
Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.
Пусть дуга АВ больше дуги СК (рис. 315).
Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.
Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.
Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.
Пусть хорда А В больше хорды СК.
Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (рис. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:
Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.
Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, \(\breve <АВ>> \breve<СК>\).
Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами
Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Пусть хорда AB параллельна хорде СD (рис. 316).
Требуется доказать, что \(\breve
Перегнём чертёж по диаметру MN так, чтобы правая часть совпала с левой.
Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN (AB ⊥ MN по построению и AK = KB).
Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда \(\breve
Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой
Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.
Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е — точка касания прямой АВ с окружностью О (рис. 320).
Требуется доказать, что \(\breve
Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.
OE ⊥ AB, а так как СD || АВ, то OE ⊥ CD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам.
Следовательно, \(\breve
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
Пусть диаметр AB перпендикулярен к хорде CD (черт. 312). Требуется доказать, что
$$ CE = ED, \breve
Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание CD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и ∠1 = ∠2. Но ∠1 и ∠2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно
$$ \breve
Дуги CA и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.
Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.
Пусть диаметр AB делит хорду CD пополам. Требуется доказать, что AB ⊥ CD,
Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, AB⊥CD, а отсюда (по теореме 1) следует, что
$$ \breve
Теорема 3 (обратная). Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.
Пусть диаметр AB делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что
Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы \(\breve
Хорда окружности — определение, свойства, теорема
Термин «хорда» используется в различных науках. Например, в биологии это означает скелетный гибкий стержень, в математике — отрезок, вписанный в окружность. В геометрии хорда окружности — это отрезок, который соединяет две точки окружности. Она является частью секущей, проведенной через окружность.
Хорда в геометрии
Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.
Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.
Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.
Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.
Свойства отрезка окружности
Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:
Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.
Ключевая теорема
Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.
Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.
Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.
Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.
Касательная и секущая
Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.
Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.
Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.
Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.
Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.
Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.
Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.
Решение задач
При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:
Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.
Окружность. Основные теоремы
Определения
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Теорема
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:
1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.
Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Определения
Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:
1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).
2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).
3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).
Теорема
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.
Следствие
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Доказательство
Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :
Следствие
Теорема об угле между секущими
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство
Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:
Теорема об угле между пересекающимися хордами
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over
Доказательство
\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.
Теорема об угле между хордой и касательной
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Доказательство
Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами
Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.
И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.
Доказательство
Теорема
Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.
Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.
Доказательство
Теорема о произведении отрезков хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство
Теорема о касательной и секущей
Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Доказательство
Следствие
Что называется хордой окружности в математике и геометрии
Основные свойства касательных к окружности
Видео
Свойства
Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:
Это интересно: разность векторов, определение разности.
Отношения со вписанными углами
Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:
Взаимосвязь с радиусом и диаметром
Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:
Свойства хорд и дуг окружности
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Диаметр, перпендикулярный к хорде |  | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. |
| Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
| Равные хорды |  | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. |
| Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
| Две хорды разной длины |  | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. |
| Равные дуги |  | У равных дуг равны и хорды. |
| Параллельные хорды |  | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
