Как доказать что касательная параллельна хорде

Окружность. Касательная к окружности.

Прямая (MN), имеющая с окружностью только одну общую точку (A), называется касательной к окружности.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая — касательная.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B. Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.

Обратная теорема.

Если прямая касательная к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

Следствие.

Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

Теорема.

Касательная параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая AB касается окружности в точке M и параллельна хорде СD. Требуется доказать, что ∪CM= ∪MD.

Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EMAB и следовательно, EMСD. Поэтому СM=MD.

Через данную точку провести касательную к данной окружности.

Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A. Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.

Источник

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеСвойства хорд и дуг окружности
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеТеорема о бабочке

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде
Круг
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хордеДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Тогда справедливо равенство

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Источник

Хорды и дуги

Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.

При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.

Теорема 1. Равные дуги стягиваются равными хордами.

Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (рис. 314).

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.

Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.

Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (рис. 314).

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: \(\breve <АВ>= \breve<СК>\).

Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.

Пусть дуга АВ больше дуги СК (рис. 315).

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.

Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.

Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.

Пусть хорда А В больше хорды СК.

Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (рис. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:

Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.

Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, \(\breve <АВ>> \breve<СК>\).

Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами

Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Пусть хорда AB параллельна хорде СD (рис. 316).

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Требуется доказать, что \(\breve = \breve\). Проведём диаметр MN ⊥ AB. Так как CD || AB, то MN ⊥ CD.
Перегнём чертёж по диаметру MN так, чтобы правая часть совпала с левой.

Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN (AB ⊥ MN по построению и AK = KB).

Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда \(\breve = \breve\).

Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой

Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.

Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е — точка касания прямой АВ с окружностью О (рис. 320).

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Требуется доказать, что \(\breve = \breve\).

Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.

OE ⊥ AB, а так как СD || АВ, то OE ⊥ CD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам.

Следовательно, \(\breve = \breve\).

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Пусть диаметр AB перпендикулярен к хорде CD (черт. 312). Требуется доказать, что
$$ CE = ED, \breve = \breve, \breve = \breve $$

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание CD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и ∠1 = ∠2. Но ∠1 и ∠2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно
$$ \breve = \breve $$
Дуги CA и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.

Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.

Пусть диаметр AB делит хорду CD пополам. Требуется доказать, что AB ⊥ CD,

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, AB⊥CD, а отсюда (по теореме 1) следует, что
$$ \breve = \breve; \breve = \breve $$

Теорема 3 (обратная). Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.

Пусть диаметр AB делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что

Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы \(\breve\) = \(\breve\), поэтому ОК будет и медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, диаметр AB проходит через середину хорды и перпендикулярен к ней.

Источник

Окружность. Основные теоремы

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Следствие

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over+\buildrel\smile\over\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Доказательство

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде

Следствие

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть фото Как доказать что касательная параллельна хорде. Смотреть картинку Как доказать что касательная параллельна хорде. Картинка про Как доказать что касательная параллельна хорде. Фото Как доказать что касательная параллельна хорде