Как доказать что квадрат это квадрат 8 класс

Как доказать что квадрат это квадрат 8 класс

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб, у которого углы прямые).

Из всех прямоугольников одного и того же периметра квaдрат имеет наибольшую площадь.
Из всех прямоугольников определенной площади квадрaт имеет наименьший периметр.
Слово «квaдрaт» происходит от латинского «gudratus» — четырехугольник.
Квадрaт был первым четырехугольником, который рассматривался в геометрии.
Любой квадрат можно разрезать на два равных квадрата.

Свойства и признаки квадрата

Свойства квадрата:
1. Квадрaт имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
2. Периметр квадрата в четыре раза больше его стороны.
3. Диагональ квадрата в √2 раз больше его стороны.
4. Диагональ квадрата образует с каждой стороной угол в 45°.
5. Около любого квадрата можно описать окружность.
6. В любой квадрат можно вписать окружность.
7. Если на сторонах параллелограмма за ним построить квадраты, то центры квадратов будут вершинами квадрата.

Признаки квадрата:
Если в ромбе один угол прямой,
Если в ромбе диагонали равны,
Если в ромбе соседние углы равны,
Если в прямоугольнике соседние стороны равны,
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны,
Если в прямоугольнике диагонали являются биссектрисами его углов.

Дополнительные свойства
1. Если от вершин А, В, С, D квадрата ABCD на его сторонах отложить равные отрезки AM, BF, СК, DP, то PMFK — квадрат.
2. Точки пересечения биссектрис всех углов прямоугольника являются вершинами квадрата.
3. Сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата, вписанного в окружность, есть величина постоянная.

Это конспект по теме «Квадрат и его свойства». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Конспект урока по теме»Квадрат» (8 класс)

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Урок по геометрии в 8 классе

Цель : сформировать у учащихся знания о квадрате как последнем представителе четырехугольников, как частного случая параллелограмма, прямоугольника и ромба; создать условия на уроке для того, чтобы учащиеся самостоятельно перечислили все свойства квадрата, на основе ранее изученного и применяли их при решении задач.

— предметные: умение проводить классификацию, логические обоснования, доказательства математических утверждений; формирование умения построения математической модели решения задач;

— метапредметные: умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач, понимать необходимость их проверки; развивать логическое мышление, познавательную активность и навыки научной речи;

— личностные: создание педагогических условий для формирования у обучающихся положительной мотивации к учению, умения преодолевать посильные трудности, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу, умения вести диалог, понимать смысл поставленной задачи; выстраивать аргументацию, приводить примеры.

Тип урока : открытие новых знаний.

Основные методы обучения: наглядный, практический, исследовательский, с элементами технологии деятельностного метода.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная.

Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, документ-камера.

1 .Организационный этап.

Здравствуйте, дети! Садитесь!

Ну-ка проверь дружок,

Ты готов начать урок?

Ручка, книжка и тетрадка?

Все ли правильно сидят?

Все ли внимательно глядят?

Каждый хочет получать,

Только лишь оценку пять.

2. Постановка цели и задач урока.

Сейчас вы послушаете стихотворение и сами определите тему и сформулируйте цели и задачи нашего урока.

Из него мы строим дом.

И окошко в доме том.

За него в обед садимся,

В час досуга веселимся.

Ему каждый в доме рад.

Вспомним, о чём мы с вами говорили на прошлых уроках? Какие фигуры мы изучили? А какую фигуру мы ещё не изучали? Какова же тема и цель нашего урока?

3. Актуализация знаний обучающихся.

Математического диктанта с взаимопроверкой.

1.Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол? (Обязательно ли является прямоугольником четырехугольник, у которого есть прямой угол?)

2. Верно ли, что каждый прямоугольник является параллелограммом? (Верно ли, что каждый параллелограмм является прямоугольником?)

3. Диагонали прямоугольника АЕKМ пересекаются в точке О. Отрезок АО = 3. Найдите длину диагонали ЕМ. (Диагонали параллелограмма равны 3 и 5 дм. Является ли этот параллелограмм прямоугольником?)

4. Диагонали четырехугольника равны. Обязательно ли этот четырехугольник является прямоугольником? (Сумма длин диагоналей прямоугольника 13 см. Найдите длину каждой диагонали.)

6.Верно ли, что каждый параллелограмм является ромбом? (Периметр ромба равен 30 см. Найдите его стороны.)

4. Открытие новых знаний.

На доске изображены фигуры: параллелограмм, прямоугольник и ромб. Ученики по очереди выходят к доске и рассказывают определение, свойства и признаки этих фигур.

А теперь посмотрим на квадрат. Назовите элементы этой фигуры.

— Сосчитайте, сколько у квадрата сторон?

— Что вы узнали о квадрате?

У квадрата 4 вершины, 4 стороны, 4 угла.

— Чем являются стороны квадрата? (отрезками)

Какие углы у квадрата? (прямые)

Измерьте стороны квадрата, сделайте вывод, (они равны)

Есть ли, что- то общего у квадрата с фигурами, изображёнными на доске?

А можно ли дать определение квадрата, используя данные фигуры?

1ряд – определение через параллелограмм и запишет все свойства квадрата, которые он взял от параллелограмма

2ряд – определение через прямоугольник и запишет все свойства квадрата, которые он взял от прямоугольника

3ряд–определение через ромб и запишет все свойства квадрата, которые он взял от ромба

Итог: выступление групп, подведение итога. Все результаты выступлений записываются на доске и в тетрадях.

5. Первичное закрепление материала

Физкультминутка для глаз, (закрыли глаза крепко, затем открыли. Так повторили несколько раз. Круговые движения глаз вправо, влево. Закрыли спокойно глаза, немного отдохнули.)

№ 412 из учебника Л. С. Атанасян (разобрать решение этой задачи с использованием документ-камеры).

.

1.треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный 1 = 4 = 45°.

2.треугольник АFE – прямоугольный.

1 = 45° 3 = 45°, DВ = DE.

3.треугольник DВЕ – прямоугольный.

4 = 45° 2 = 45° AF = FE.

4. С D Е F – квадрат С D = DE = EF = CF.

8.Рефлексия. Подведение итогов.

Итог : С какой геометрической фигурой мы работали на уроке?

— Какие условия должны выполняться, чтобы фигура была квадратом?

— Теперь оцените свою работу сами. Поднимите руку, кто работал «на отлично». Нарисуйте в тетради восклицательный знак.

— Поднимите руку, кто оценил работу на уроке как «хорошую». Нарисуйте в тетради вопросительный знак.

— Поднимите руку, кто оценил работу на уроке как «неудовлетворительную». Нарисуйте в тетради число ноль

.- Что у вас не получилось на уроке? Что было непонятно?

9. Домашнее задание

Выучить теоретический материал, п.45

Решить по учебнику №410,411.

Творческое задание. Сделать презентацию. Доказать, что квадрат – это идеальный четырёхугольник и где в жизни встречается нам квадрат?

Источник

Квадрат, его свойства и признаки.

В теоретической части разработки дано определение квадрата, перечислены и доказаны его свойства, перечислены и доказаны признаки квадрата. К каждому понятию приведены рисунки. Практическая часть содержит большое количество заданий на любой вкус, есть простые задачи, а есть те, над которыми нужно подумать.

Просмотр содержимого документа
«Квадрат, его свойства и признаки.»

Квадрат, его свойства и признаки.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:

Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.

У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.

У квадрата диагонали равны.

У квадрата стороны являются высотами.

Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.

Теперь определим признаки квадрата.

ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.

– квадрат (по определению), ч.т.д.

Т ЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Рассмотрим .

по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).

– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Т ЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Дано: – ромб

Доказать: – квадрат.

Т ЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

Дано: – параллелограмм

Доказать: – квадрат.

Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.

Т ЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – квадрат.

2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.

Т ЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – квадрат.

1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).

3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.

Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

В
четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.

В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.

Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.

Н
айдите периметр квадрата по данным на рисунке.

Источник

Квадрат

Квадрат – ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат – прямоугольник с равными сторонами.

Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны.

Свойства квадрата

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны для квадрата.

Признаки квадрата

Четырехугольник будет являться квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

3. Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90˚.

Описанная окружность

Около квадрата можно описать окружность. Сторона и радиус окружности связаны соотношением:

Вписанная окружность

В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности и сторона квадрата связаны соотношением:

Площадь квадрата

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Квадрат

Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.

Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.

Параллелограмм, ромб и прямоугольник так же являются квадратом, если они имеют прямые углы, одинаковые длины сторон и диагоналей.

Свойства квадрата

1. Длины сторон квадрата равны.

2. Все углы квадрата прямые.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^

3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.

AB \parallel CD, BC \parallel AD

4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^

5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов.

\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^

6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.

\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^

Так как квадрат это прямоугольник \Rightarrow диагонали равны; так как — ромб \Rightarrow диагонали перпендикулярны. А так как — параллелограмм, \Rightarrow диагонали разделены точкой пересечения пополам.

7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

\triangle ABD = \triangle CBD = \triangle ABC = \triangle ACD

8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.

\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD

9. Если сторона квадрата равна a, то, диагональ будет равна a \sqrt <2>.

Отсюда: AC = \sqrt<2>\cdot a

10. Центром квадрата, а так же вписанной в него и описанной окружности является точка пересечения диагоналей

Источник