Как доказать что логическое выражение является тавтологией
1. Высказывания, формулы, тавтологии
Определение. Высказыванием называется утверждение, которое является истинным или ложным (но не одновременно).
То есть, чтобы выяснить, является ли некоторое предложение высказыванием, нужно сначала убедиться, что это утверждение, а затем установить, истинно оно или ложно.
Пример. “Москва – столица России” – истинное высказывание.
“5 –четное число” – ложное высказывание.
“
” – не высказывание (неизвестно, какие значения принимает 
).
“Студент второго курса” не высказывание (не является утверждением).
Высказывания бывают элементарные и составные.
Элементарные высказывания не могут быть выражены через другие высказывания. Составные высказывания можно выразить с помощью элементарных высказываний.
Пример. “Число 22 четное” – элементарное высказывание.
“Число 22 четное и делится на 11” – составное высказывание.
Высказывания обозначают заглавными буквами латинского алфавита: 
, 
, 
,… Эти буквы называют логическими Атомами.
При фиксированном множестве букв 
Интерпретацией называется функция 
, которая отображает множество 
во множество истинностных (логических) значений 
, то есть 
.
Истинностные значения истина и ложь сокращенно обозначаются и, л или T, F, или 1,0. Мы будем использовать обозначения 1 и 0. В определенной интерпретации буквы принимают значения 1 или 0.
К высказываниям и буквам можно применять известные из курса дискретной математики логические связки или логические операции. При этом получаются Формулы (формы). Формулы становятся высказываниями при подстановке всех значений букв.
Таблицы истинности основных логических операций.
Более строго формула определяется так.
Определение. 1) Всякая буква есть формула.
2) Если , — формулы, то формулами являются также , 
, 
, 
, 
.
3) Символ является формулой тогда и только тогда, когда это следует из 1) и 2).
В классической логике формулы принято заключать в круглые скобки, но в мы этого делать не будем. Для всякой формулы можно построить таблицу истинности.
Значение формулы 
в заданной интерпретации обозначают 
(или 
, или 
).
Часть формулы, которая сама является формулой, называется Подформулой данной формулы.
Определение. Формула называется Тавтологией, если она принимает только истинные значения при любых значениях букв.
Другими словами, тавтология – это тождественно истинная формула.
Установить, является ли формула тавтологией, можно:
– по таблице истинности,
– используя свойства логических операций.
Из курса дискретной математики известны основные логические эквивалентности (свойства логических операций), которые являются примерами тавтологий.
1. Коммутативность: 
, 
.
, 
.
, 
.
4. Идемпотентность: 
, 
.
5. Закон двойного отрицания: 
.
6. Закон исключения третьего: 
.
7. Закон противоречия: 
.
8. Законы де Моргана:
, 
.
9. Свойства операций с логическими константами:
, 
, 
, 
.
Здесь , и – любые буквы.
Примеры. 1. Доказать, что формула 
является тавтологией.
Доказательство. Допустим, что при некоторых значениях букв (то есть в некоторой интерпретации)
Приходим к противоречию, которое доказывает, что исходная формула – тавтология.
2. Доказать, что формула 
является тавтологией.
Доказательство. Эквиваленция истинна, если левая и правая части принимают одинаковые значения на некотором наборе значений букв.
Допустим, что при некоторых значениях букв
Следовательно, исходная формула – тавтология.
3. Доказать, что формула 
является тавтологией.
Доказательство. Допустим, что при некоторых значениях букв
Следовательно, исходная формула – тавтология.
Таким образом, тождественную истинность импликации удобно доказывать от противного, а тождественную истинность эквиваленции установлением равенства значений левой и правой части.
Теорема. Пусть формулы и – тавтологии. Тогда формула – тавтология.
Доказательство. Пусть 
, 
, …, 
– буквы в формулах и . В теории булевых функций было доказано, что все булевы функции, а, следовательно, и формулы, можно считать зависящими от одного и того же количества букв. Рассмотрим некоторый набор значений 
, 
, …, 
, где 
, 
. Подставим данный набор значений в формулы и вместо соответствующих букв. Формулы являются тавтологиями по условию теоремы, следовательно, 
и 
. По таблице истинности импликации получаем, что . Поскольку набор значений , , …, был произволен, формула – тавтология, что и требовалось доказать.
Теорема. Пусть формула – тавтология, , , …, 
– буквы в формуле , 
, 
, …, 
– любые формулы. Тогда новая формула 
– тавтология.
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Тавтология (логика)
Содержание
История [ править ]
В 1800 году Иммануил Кант написал в своей книге « Логика» :
Идентичность понятий в аналитических суждениях может быть либо явным ( explicita ) или без явного ( implicita ). В первом случае аналитические предложения тавтологичны.
В 1884 году Готтлоб Фреге в своей книге «Grundlagen» предложил, что истина аналитична именно тогда, когда ее можно вывести с помощью логики. Однако он проводил различие между аналитическими истинами (т. Е. Истинами, основанными только на значениях их терминов) и тавтологиями (т. Е. Утверждениями, лишенными содержания).
Все, что является утверждением логики, должно быть в том или ином смысле похоже на тавтологию. Это должно быть что-то, имеющее какое-то особое качество, которое я не знаю, как определить, что принадлежит логическим предложениям, но не другим.
Здесь логическое предложение относится к предложению, которое можно доказать с помощью законов логики.
Фон [ править ]
Определение и примеры [ править ]
Проверка тавтологий [ править ]
Например, рассмотрим формулу
Также возможно определить дедуктивную систему (т. Е. Систему доказательств) для логики высказываний как более простой вариант дедуктивных систем, используемых для логики первого порядка (об одной такой системе см. Клини 1967, раздел 1.9). Доказательство тавтологии в соответствующей системе дедукции может быть намного короче, чем полная таблица истинности (формула с n пропозициональными переменными требует таблицы истинности с 2 n строками, которая быстро становится невыполнимой при увеличении n ). Системы доказательств также требуются для изучения интуиционистской логики высказываний, в которой метод таблиц истинности не может быть использован, поскольку не предполагается закон исключенного третьего.
Тавтологический смысл [ править ]
Замена [ править ]
Из правила подстановки следует, что предложение
Семантическая полнота и правильность [ править ]
Эффективная проверка и проблема логической выполнимости [ править ]
Тавтологии и валидности в логике первого порядка [ править ]
Не все логические обоснования являются тавтологиями в логике первого порядка. Например, предложение
На естественном языке [ править ]
Доказательство тавтологий
Этот алгоритм состоит в том, что переменным высказываниям, упорядоченным в набор, последовательно придаются значения И и Л и анализируются формулы, содержащие меньшее число переменных.
Пример: 
. Упорядочим переменные в набор: 
.
_______________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Метод обратных рассуждений
Очевидно, формула не является тавтологией, если она принимает значение Л хотя бы на одном наборе значений переменных. Этим обстоятельством можно воспользоваться для распознавания тавтологий сокращенным методом «обратного рассуждения». Этот метод заключается в поиске таких переменных, при которых формула оказывается ложной.
Пример: 
.
Используя известные законы логики высказываний, можно часть формулы или всю формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными. Равносильные преобразования используются для доказательства тавтологий, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул. При проведении равносильных преобразований каждый шаг основывается на использовании того или иного закона.
Пример: 
.
Доказательство тавтологий можно проводить с помощью правил вывода:
1. правило подстановки:_______________________________________________________________
2. правило заключения:_______________________________________________________________
Выводимая формула – __________________________________________________________
Вообще говоря, не все тождественно истинные формулы могут быть выведены из произвольного множества тавтологий. В то же время, строго доказано, что можно выбрать такую конечную совокупной исходных тавтологий (аксиом логики высказываний), из которой выводимы все тождественно истинные формулы.
Предложено много различных систем аксиом логики высказываний. Рассмотрим одну из них:
А1. ╞ 
А2. ╞ 
А3. ╞ 
Пример. Выведем тавтологию 
из данной схемы аксиом.
Рассмотрим еще одну систему аксиом:
А1. ╞
А2. ╞ 
А3. ╞ 
А4. ╞ 
А5. ╞ 
А6. ╞ 
А7. ╞ 
А8. ╞ 
А9. ╞ 
А10.╞ 
Пример. Выведем тавтологию из данной схемы аксиом.
Формализация процесса вывода имеет большое теоретическое значение и позволяет построить схему доказательства, которая может быть реализована на вычислительных машинах. Однако сложность аксиоматического подхода к выводу тавтологий заставляет искать и применять специальные правила, которые сокращают многократное применение основных правил вывода.
Производные правила вывода, как и рассмотренные правила подстановки и заключения, позволяют получать новые доказуемые формулы. Они получаются с помощью правил подстановки и заключения, а поэтому являются производными от них.
Правило сложного заключения.
Если формулы 
— тавтологии и 
— тавтология, то и формула 
— тавтология.
Если 
и 
– тавтологии, то формула 
– тавтология.
Если , то доказуема формула 
– тавтология.
Правило исключения промежуточной посылки.
Если 
и – тавтологии, то формула – тавтология.
Правило перестановки посылок.
Если , то формула 
– тавтология.
В содержательной математике утверждение «Из А следует В» обычно доказывается по следующей схеме. Предполагается, что А справедливо, посредством некоторой цепочки рассуждений устанавливается, что и В должно быть при этом справедливо, и заключается, что из А следует В. Кроме того, в рассуждениях может участвовать ряд дополнительных предположений. Формализацией этого способа доказательства является теорема о дедукции (для логики высказываний).
Теорема. Пусть Г: 
– некоторый набор формул. Тогда, если формула логически следует из набора Г, дополненного формулой А, то формула 
логически следует из набора Г.
Пусть 
– вывод формулы В из набора формул Г, А. Если существует некоторый вывод из совокупности Г, который уже содержит все формулы вида 
, то он может быть продолжен до формулы 
. Рассмотрим возможные основания для включения формулы 
в исходный вывод .
Случай 1. _______________________________________________________________________
Случай 2. _______________________________________________________________________
Случай 3. _______________________________________________________________________
Случай 4. _______________________________________________________________________
Пример. Докажем, что 
в системе аксиом А1-А10.