Как доказать что множества равны 8 класс

Операции над множествами

Содержание:

Множества можно определять и при помощи операций над другими множествами.

Равенство множеств. Множества А и В считаются разными (совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: Если множества не равны, то пишут:

Доказательство равенства множеств состоит из двух частей:

1) для любого элемента множества А (формальная запись — ) доказывается, что он принадлежит и множеству В. Формально это записывается так:

2) для любого элемента В доказывается, что он принадлежит и множеству К. формально это можно записать так:

Отсюда следует, что запись равенства двух множеств «А = В» эквивалентна записи

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Доказать, что множество равно множеству В корней уравнения то есть Для доказательства этого утверждения решим уравнение. Получим: Следовательно,

Затем непосредственной подстановкой убеждаемся, что любое из чисел 0, 2, 3 удовлетворяет уравнению, следовательно:

Только теперь можно записать, что

Объединение (сумма) множеств. Объединением множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится хотя бь/в одном из множеств А или В. Обозначается:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Если , то

Можно рассматривать объединение п множеств:

при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств

Например, множество всех действительных чисел R состоит из множества положительных чисел R\ множества отрицательных чисел R’ и множества , содержащего один элемент — ноль, то есть

Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума часто используются круги Эйлера или диаграммы Венна.

Универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — соответствующими кругами. Операция объединения и другие операции иллюстрируются кругами Эйлера представленными на рис. 1.1—1.5.

Пересечение (умножение) множеств. Пересечением множеств А и В называется множество D, составленное из общих для множеств А и В элементов. Обозначение: Для множеств из примера 5 имеем:

Можно рассматривать пересечение множеств:

при этом в А входят только, те элементы, которые входят во все множества

Пересечение двух множеств иллюстрируется на рис 1.2.

Пусть есть некоторое множество А. Говорят, что задано разбиение множества А на классы если

Классы — это такие подмножества разбиваемого множества, которые не имеют общих элементов, а их объединение образует исходное множество А. Следовательно, каждый элемент множества А входит в один и только в один класс. Например, разбиение всех студентов одного факультета университета на учебные группы, разбиение книги на страницы, а страницы на абзацы, разбиение уголовного кодекса на статьи и т. п.

Разность двух множеств

Разностью двух множеств называется множество G, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначение: . Отметим, что в А могут находиться не все элементы из вычитаемого множества В (см. рис.1.3). Например,

Если В — подмножество то разность . называется дополнением к В до А. Например, если и то множество — дополнение к В до А. Операция дополнения иллюстрируется на рис. 1.4.

Дополнение к А до универсума U имеет особое обозначение: (см. рис. 1.5).

Пример 3.

Пусть Такое множество называется множеством неотрицательных чисел. Тогда это множество отрицательных чисел.

Перечисляемые ниже свойства операций над множествами справедливы для любых множеств, поэтому их часто называют законами, часть которых имеет специальные наименования.

1. Коммутативный, или переместительный, закон имеет место, как для операции объединения, так и для операции пересечения:

2. Ассоциативный, или сочетательный, закон также имеет место и для операции объединения и для операции пересечения:

Так как порядок выполнения операций несущественен, то скобки в записи опускают. 3. Дистрибутивный, или распределительный, закон:

4. Закон идемпотентности:

5. Закон поглощения:

6. Закон двойственности де Моргана: 7. 8. 9.

10. Если и одновременно 11. 12.

Анализируя свойства 1—13, можно сформулировать принцип двойственности: всякое равенство, тождественно выполняемое в теории множеств, переходит также в тождественно выполняющееся равенство при замене знака объединения на знак пересечения множество универсум на пустое множество и наоборот.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Класс: 8

Презентация к уроку

Множества в школьной математике ведут себя примерно так же, как обитатели леса: мы их почти не видим, но знаем, что они есть.

В классах с углубленным изучением математики основные понятия теории множеств рассматриваются достаточно подробно. Например, в [1] им посвящена глава «Элементы теории множеств». Ученик, изучивший эту главу, сможет лучше ориентироваться в других разделах математики.

Для обычного класса такую подготовку провести трудно, даже если содержание упомянутой главы значительно сократить. Слишком много новых терминов, чисто абстрактных рассуждений и специфической символики. Да и количество часов по программе не позволяет вводить дополнительную тему. Но если ученика математического класса можно сравнить с опытным охотником, который уверенно идет по лесу, то ученику обычного класса нужен хотя бы определенный минимум знаний по теории множеств, чтобы не заблудиться в трех соснах.

В обычных классах множества только изредка упоминаются. Чтобы сильные ученики смогли, тем не менее, овладеть нужными знаниями, возможно, например, изучать элементы теории множеств на факультативных занятиях. Но все-таки по возможности основные сведения должны получить все дети.

Решительный шаг в этом направлении сделан в последнем издании учебника по алгебре для 8 класса [5]. В прежних изданиях в разделе «Квадратные корни» назывались основные числовые множества (натуральные числа, целые, рациональные, действительные). Вводился знак принадлежности. Сейчас к этому добавилось определение подмножества (и знак включения). Говорится о взаимно однозначном соответствии между точками на прямой и действительными числами.

В теме «Неравенства» помимо рассмотрения числовых промежутков введен параграф «Пересечение и объединение множеств». Если раньше данным терминам уделялось немного внимания при рассмотрении промежутков, то теперь ученик сможет более детально ознакомиться с операциями над множествами. С недавних пор появился новый предмет «Теория вероятностей и статистика». Как раз в курсе теории вероятностей для 8 класса [6] при изучении алгебры событий говорится о правиле суммы и произведения, демонстрируются в качестве иллюстраций круги Эйлера. Нам представляется, что если ученик к этому времени будет знать, что такое вообще объединение и пересечение множеств (а не только для числовых множеств), то и в теории вероятностей объединение, пересечение событий этот ученик встретит как своих знакомых.

Но хотелось бы отметить, что само понятие множества в [5]подробно не обсуждается. По-видимому, авторы учебника допускают, что интуитивно ученик понимает это слово, первый раз встречаясь со словами «множество натуральных чисел» и т.д. Практика показывает, что это не так. У детей в первую очередь срабатывает реакция на названия «натуральные», «целые» и т.д. Они стараются их не перепутать, особенно «рациональные», «иррациональные», «действительные». Хотя предварительные сведения об этих числах встречаются уже в 6 классе, все равно для некоторых детей они оказываются трудными: во-первых, сами названия непростые, во-вторых, использование этих названия не так уж часто.

Чтобы понятие множества более органично воспринималось детьми, я посвящала ему отдельный урок в теме «Неравенства». На следующем уроке вводилось определение подмножества, рассматривалось число подмножеств конечного множества. Затем изучались операции над множествами, Эти уроки предшествовали занятиям по теории вероятностей.

В другом классе ученики не такие подготовленные. Им, скажем, сложно было воспринимать даже само слово «множество», потому что они с трудом могли настроиться на то, что это математический термин, а не обычное слово «множество», то есть «много». Поэтому для них я готовила больше простых конкретных примеров.

В презентации я использовала тот образ множества, который предложил Н.Н. Лузин: «Представим прозрачную непроницаемую оболочку, нечто вроде закрытого прозрачного мешка. Предположим, что внутри этой оболочки заключены все элементы данного множества и что, кроме них, внутри оболочки никаких других предметов не находится»[1].

Тем самым мы фиксируем элементы данного множества, а оболочка показывает, что они собраны в одно множество. Когда мы записываем множество с помощью фигурных скобок, именно эти скобки подчеркивают, что данные элементы составляют множество.

Поэтому на слайдах некоторые множества изображены как будто помещенными в прозрачные шары.

В данной статье представлен материал к уроку «Введение понятия множества».

Ключевые слова: «Множество, элемент множества, пустое множество, конечные и бесконечные множества«.

Понятия теории множеств отражают наиболее общие свойства математических объектов.

Мы только начинаем знакомиться с множествами.

Например, можно говорить о множестве цветов, которые растут на клумбе около нашей школы. Или о множестве точек на плоскости. Элементы множества могут быть любыми!

Говоря о множестве А, мы просто перечисляли его элементы. Иногда это отнимает много времени. Иногда вообще такое перечисление невозможно.

Дополнительные вопросы. Существует ли в этом множестве наибольший элемент? Приведите примеры элементов этого множества, которые меньше 1; 0,1; 0,01; 0,001. Существует ли наименьший элемент этого множества? Будет ли принадлежать этому множеству число 0?

На этом примере показано, что мы можем задать множество, описав самое важное свойство его элементов (оно называется характеристическим свойством множества). По этому свойству можно точно понять, из каких элементов состоит данное множество. Если нам удается это свойство сформулировать, то не нужно тратить время на перечисление элементов множества. Указав множество цветов, растущих на школьной клумбе, мы не обязаны перечислять все цветы. Мы только указали, где они находятся.

Таким образом, множества могут быть заданы по-разному. Самое главное, чтобы было понятно, какие именно элементы принадлежат данному множеству, а какие не принадлежат. Элементы могут быть любые, их порядок не важен.

Если два множества состоят из одних и тех же элементов, мы их считаем равными. Пусть множество М состоит из элементов: квадрат, трапеция, пятиугольник, круг, треугольник. Множество Р: круг, квадрат, треугольник, пятиугольник, трапеция. Будут ли множества М и Р равны? Ответ поясните.

Отметим, что здесь мы обсуждаем множество именно как математическое понятие. Но ведь в нашем обычной речи тоже встречается слово «множество»! Важно их не перепутать. «Математическое» множество вовсе не обязано состоять из большого количества элементов. Множество может содержать и всего один элемент. Например, пусть множество D состоит из моей птицы Чир. И даже может быть так, что в множестве вообще нет никаких элементов!

О некоторых множествах трудно сразу сказать, пусты ли они или нет. Например, знаменитая проблема Ферма была решена только в 90-х годах ХХ века: было доказано, что не существует натуральных чисел n, больших двух, при которых уравнение x n +y n =z n имеет целочисленные положительные решения, то есть множество таких n пусто.

Приведите сами примеры различных пустых множеств.

Среди всех множеств выделяют конечные множества и бесконечные.

В конечном множестве число его элементов всегда можно выразить определенным числом (иногда, правда, это число не так-то просто найти).

Рассмотрим множество, состоящее из гласных букв. Сколько в нем элементов?

Будет ли это множество равно множеству, состоящему из цифр?

Перед человечеством встали задачи, которые можно решить с помощью существующих компьютеров только теоретически. В реальности на их решение потребуется время, сравнимое со временем существования Вселенной [3].

Математики и другие ученые предлагают ответы на то, как обойти эти барьеры и ищут новые решения.

Бесконечные множества. В них количество элементов выразить конечным числом невозможно.

Запишите для каждого числа, принадлежит ли оно множествам N, Z, Q, R.

Мы уже знакомы с понятием «числовые промежутки». Это тоже множества.

Как вы думаете, сколько всего действительных чисел на промежутке (5;8)? Сколько на нем целых чисел? Назовите их.

Аналогичные вопросы можно рассмотреть для промежутков [5;8], [5;8).

Почему нужно было расположить прямую CD параллельно АВ? Укажите прямую, которая пройдет через точку О, но не пересечет дугу. Не забудьте, что мы рассматриваем дугу без концов!

Более трудный вопрос. Можно ли аналогичным образом устроить «переезд» точек для [5; 8], [5; 8)? Замечаем, что «мешают» граничные точки. С теми ребятами, кого заинтересует эта задача, мы обсудим ее на факультативном занятии.

Для всех множеств (и конечных, и бесконечных), мы должны научиться определять, какие элементы принадлежат данному множеству, а какие нет.

Источник

Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множество. Дополнение множества

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ О РАБОТЕ

В обычной речи мы часто употребляем слово “множество”: множество людей, множество книг, множество законов, множество денег и т.д.

В математике множеством называют совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Это не есть точное математическое определение. Так же, как и понятия точки, числа и т.д., понятие множества является одним из тех первоначальных, наиболее общих понятий, которые приходится принимать без определения.

Примерами пустых множеств могут служить:

а) множество действительных чисел, являющихся корнями уравнения x 2 + 1 = 0;

б) множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180°;

в) множество решений системы уравнений

.

В каком случае можно считать, что множество задано? Иногда можно задать множество, перечислив все его элементы. Например, множество учеников в классе задается перечислением фамилий в классном журнале. Это нетрудно сделать, так как такое множество содержит конечное число элементов. Однако не всякое конечное множество можно задать перечислением. Множества слонов на нашей планете или рыб в океане тоже конечные, но попробуйте их перечислить
(или пересчитать!)! Тем более нельзя перечислить все элементы бесконечного множества. Так, множество всех цифр конечное и их легко перечислить: А=<0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>. А вот множество всех целых чисел, составленных из этих цифр, бесконечное и их уже не перечислишь. В таких случаях множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характерис-тическим свойством множества. Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Например, множество <2,4>может быть задано как:

а) множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1

1.2. Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множество. Дополнение множества

Приведем примеры подмножеств:

а) множество учеников 10-го класса данной школы есть подмножество множества всех учеников этой школы;

б) множество жителей Москвы является подмножеством множества жителей России;

в) множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;

г) множество Z всех целых чисел есть подмножество множества Q всех рациональных чисел.

Если одновременно с отношением А  В имеет место отношение В  А, то А=В. То есть, если одновременно А есть подмножество В и В есть подмножество А, то такие два множества равны.

Отношение А  В изображено с помощью диаграмм на рис. 2 а, б.

1.3. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность

в) Обозначим через А множество целых чисел, через В множество четных чисел. Тогда А  В есть множество А, то есть А  В=А.

Примеры. а) Термин “пересечение” по существу геометрического происхождения. Пересечением прямой и плоскости, если прямая не параллельна плоскости, является их единственная общая точка. Если прямая и плоскость параллельны, то пересечение этих множеств пусто. Если же прямая лежит на плоскости, то их пересечение совпадает с множеством точек этой прямой.

Множество делителей числа 72 конечно. А множество кратных этого числа бесконечно: С=<72,144,216. 72n. >.

Бесконечно и множество кратных числа 54: D=<54,108,162,216. 54m. >.

Пересечением этих множеств является множество общих кратных для чисел 72 и 54: С  D=<216,432. >.

Наименьшее число в С  D, то есть 216, называется наименьшим общим кратным для 72 и 54.

Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10

в) Разностью множества четных чисел и множества целых чисел является пустое множество.

1.4. Основные законы операций над множествами

Некоторые свойства объединения и пересечения множеств очень похожи на свойства хорошо известных алгебраических операций сложения и умножения. Вместе с тем многие свойства введенных операций над множествами отличаются от свойств алгебраических операций. Приведем здесь основные свойства:

Здесь роль пустого множества аналогична роли числа 0 в алгебре. Однако свойство  \А=  уже не имеет аналога в алгебре.

Первый распределительный закон аналогичен соответствую­щему распределительному закону в алгебре. А вот второй закон никакого аналога в алгебре не имеет.

Свойства, сформулированные в п.п.1-4, очевидны и не нуждаются в доказательстве. Распределительные законы в п.5 уже сложнее. Однако вместо того, чтобы их строго доказывать, лучше попытаться их понять, пользуясь диаграммами Венна.

1.5. Числовые множества. Множества точек на прямой,
задаваемые алгебраическими уравнениями и неравенствами

а) множество всех действительных чисел R;

б) множество всех рациональных чисел Q;

в) множество всех натуральных чисел N;

г) множество всех чисел вида , где n принимает все натуральные значения.

Заштрихованная часть числовой прямой содержит все точки, принад­лежащие соответст-вующему интервалу. Незакрашенные кружочки означают, что эти точки не принадлежат интервалу, а закрашенные, наоборот, означают, что эти точки принадлежат интервалу.

2. Окрестность точки. Окрестностью точки x ₀ называется любой открытый интервал, содержащий эту точку (рис. 15). Открытый интервал (a,b) служит окрестностью всякой принад-лежащей ему точки.

Пример 1. Уравнение имеет своей областью определения множество [-4,+  ). Найдем его корни. Возведем обе части уравнения в квадрат:

x + 4 = (2 – x ) 2 или x 2 – 5 x = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

x ( x – 5) = 0 или x ₁ = 0, x ₂ = 5.

Оба числа x ₁ = 0 и x ₂ = 5 принадлежат множеству [-4,+  ), однако число x ₂ = 5 является посторонним корнем уравнения (это показывает простая проверка: ). Таким образом множество корней данного уравнения <0> [-4,+  ). На прямой эти множества изображаются так:

.

Поэтому данное уравнение можно представить в виде совокупности двух уравнений: х = 3 и
–х = 3. Откуда получим два корня x ₁ = 3, x ₂ = –3. Геометрически эти решения можно истолковать так: расстояние от x ₁ до начала отсчета О и расстояние x ₂ до начала отсчета О равны 3 (рис. 17).

Пример 3. Неравенство | x | x |

4. Системы уравнений и неравенств с одним неизвестным.

Пример 5. Решить систему уравнений

.

или x ₁ = 3, x ₂ = –1.

При решении второго уравнения надо указать вначале его область определения: x  3. Далее, приравняв каждый из множителей нулю и решив получившиеся уравнения, будем иметь x ₁ = 3,
x ₂ = –2. Число x ₂ = –2 не принадлежит области определения [3,+  ) и является посторонним корнем. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение: <3>.

Пример 6. Решить систему неравенств:

.

x 2 – 5 x – 6 = ( x + 1) ( x – 6).

Пересечением множеств является множество точек, на котором штриховки накладываются друг на друга.

Учитывая рассмотренные примеры 5 и 6, можно сделать один вывод. Множество решений системы уравнений или неравенств представляет собой пересечение множеств решений каждого из уравнений или неравенств, входящих в эту систему.

Иногда в процессе решения системы уравнений или неравенств получается некоторая совокупность других систем, к которым приводится данная система. В таких случаях множество решений исходной системы является объединением множеств решений каждой системы, входящей в эту совокупность. Разберем один пример.

Пример 7. Решить систему неравенств

.

Решение. Раскрывая модуль в первом неравенстве системы, получим два случая: 1) при и 2) при x – 6

1) или 2)

Найдем пересечение первого и второго множества:

Используя распределительный закон пересечения относительно объединения (см. §4), будем иметь

Множество решений исходной системы является объединением множеств (9,12] и [4,5), то есть [4,5)  (9,12].

1.6. Множества точек на плоскости, задаваемые уравнениями
и неравенствами с двумя переменными

Множества точек на плоскости можно задавать их характеристическими свойствами. В разд. 1.2 мы уже познакомились с такими примерами. Кроме такого способа задания их часто задают соотношениями между координатами точек в виде уравнений или неравенств.

Аналогично неравенство y > ax 2 + bx + c задает множество точек, лежащих по одну сторону от параболы (рис. 25 и 26), а неравенство y ax 2 + bx + c задает множество точек, лежащих по другую сторону (рис. 27 и 28).

Когда имеется система уравнений или неравенств с двумя переменными, то множество решений такой системы представляет собой пересечение множеств решений каждого уравнения или неравенства, входящего в систему.

Пример. Построить множество точек, удовлетворяющих следующим соотношениям:

б) .

Решение. В случае а) соотношения равносильны следующей системе

.

Рис. 29 Рис. 30 Рис. 31

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

1.7. Отображение множеств. Взаимно-однозначное
соответствие между множествами. Понятие числовой функции

1. Рассмотрим два множества А и В. Если каждому элементу а множества А некоторым способом поставлен в соответствие один элемент b множества В, то говорят, что задано отображение множества А в множество В. Записывают это так: f:A  B или b=f(a). Через f обозначают то отображение (правило), по которому это соответствие устанавливается. С помощью диаграмм Венна это изображается так:

Если же каждый элемент множества В соответствует какому-либо элементу множества А,
то говорят, что множество А отображается на множество В (рис. 36).

В примере 1 так будет, если все стулья окажутся занятыми (то есть количество учеников и количество стульев одинаковое).

Между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие (взаимно-однозначное отображение), если каждому элементу а из А поставлен в соответствие один элемент b из B, и при этом соответствии каждый элемент b из В соответствует одному и только одному элементу а из А. С помощью диаграмм взаимно-однозначное соответствие изображено на рис. 36.

В примере 2 отображение f:A  С никогда не будет взаимно-однозначным, так как, вообще говоря, количество учеников в классе всегда меньше количества букв и, кроме того, ни одна фамилия не начинается с буквы “й” или “ь”.

Приведем теперь примеры взаимно-однозначного соответствия бесконеч­ных множеств. Одним, наиболее хорошо всем знакомым, является взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел R и множеством точек на прямой (числовая прямая). Разберем и другой пример. Выберем на плоскости систему координат и поставим в соответствие каждой окружности вписанный в нее квадрат, стороны которого параллельны осям координат. Мы получим взаимно-однозначное соответствие между множеством всех окружностей и множеством всех квадратов, стороны которых параллельны осям координат. Другое взаимно-однозначное соответствие между этими множествами получается, если сопоставить каждой окружности описанный вокруг нее квадрат, стороны которого параллельны осям координат.

Далее рассмотрим множество А всех точек на плоскости и множество В всех окружностей на этой плоскости, имеющие заданный радиус R. Если поставить в соответствие каждой точке а окружность радиуса R с центром в этой точке, то получим взаимно-однозначное соответствие между множествами А и В.

Функцию можно задавать разными способами. Одним из способов является табличный. Например, таблица

.

1.8. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность множества.

1. Два множества называют эквивалентными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Проще всего проверить эквивалентность конечных множеств. Для двух конечных множеств взаимно-однозначное соответствие можно установить лишь в случае, когда они имеют одинаковое количество элементов. Поэтому конечные множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют поровну элементов. Для бесконечных множеств не имеет смысла говорить о числе элементов. Однако и среди бесконечных множеств можно найти эквивалентные.

2. Рассмотрим множество всех натуральных чисел N=<1,2,3,4. >. Любое бесконечное подмножество А множества N эквивалентно самому множеству N. В самом деле, элементы этого подмножества можно расположить в порядке возрастания и каждому поставить в соответствие его порядковый номер (перенумеровать). Получим Так как элементов в подмножестве А бесконечно много, этот процесс можно неограниченно продолжать. Тем самым устанавливается взаимно-однозначное соответствие между А и N. Нетрудно догадаться, что множество А представляет собой числовую последовательность. Таким образом, все числовые последователь­ности, содержащие различные элементы, эквивалентны множеству натуральных чисел N.

Рассмотрим теперь множество Z всех целых чисел:

Бесконечные множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, называются счетными множествами. Иными словами, если элементы бесконечного множества можно перенумеровать, то такое множество называется счетным. Самым простым примером счетного множества является само множество N натуральных чисел. Более сложные примеры счетных множеств мы рассмотрели выше.

Теперь сформулируем основные теоремы о счетных множествах.

Теорема 1. Каждое бесконечное подмножество А счетного множества В счетно.

Теорема 2. Объединение конечного или счетного множества счетных множеств счетно.

Доказывать эти теоремы мы не будем, хотя отметим, что доказательство теоремы 1 почти ничем не отличается от приведенного выше рассуждения, когда доказывалась эквивалентность между множеством N и его подмножест­вом А.

3. До сих пор мы рассматривали лишь такие бесконечные множества, которые являются счетными. Однако не все бесконечные множества счетные, существуют и такие, элементы которых нельзя перенумеровать. Простейшим примером такого множества является множество всех точек конечного интервала, например, интервала (0,1). Ясно, что в этом множестве содержится счетное подмножество. В качестве такого подмножества можно указать, например, числовую последовательность . Но оказывается, что точек в интервале (0,1) “намного” больше, чем точек этой последователь­ности. Точнее говоря, множество точек интервала (0,1) несчетно, то есть нельзя установить взаимно-однозначного соответствия между множеством точек интервала (0,1) и множеством натуральных чисел N. Доказательство этого утверждения мы проводить не будем. Легко сообразить, что любой другой интервал длины 1 на числовой прямой эквивалентен интервалу (0,1). Вообще, произвольный интервал (a,b) конечной длины эквивалентен интервалу (0,1). Взаимно-однозначное соответствие между ними можно установить так, как показано на рис. 38.

Точно так же любой отрезок (замкнутый интервал) эквивалентен отрезку [0,1] (рис. 39).

Это утверждение означает, что квадрат содержит “столько же” точек, что и отрезок, хотя на первый взгляд кажется, что в нем должно быть “гораздо больше” точек. Доказательство этой теоремы мы приводить не будем. Кстати сказать, множества точек плоскости и пространства тоже имеют мощность континуума.

Источник