Как доказать что неравенство верно

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

Раскрываем скобки и упрощаем:

Что и требовалось доказать.

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

При a₁= a₂= …= a_n неравенство превращается в равенство.

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

при x

Равенство достигается лишь в случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны, то есть существует число k такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство x_i=ky_i.

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

Если x>-1, n — действительное число:

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

для каждого из множителей:

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

0,2\sqrt > 0,2\sqrt > 0. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

Применим неравенство Бернулли:

Так как в неравенстве

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

Источник

Алгебра

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Сравнение чисел

Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ « », означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).

Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.

Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.

Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.

Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):

b располагается правее а, а потому

Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что

Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить

Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.

Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40

Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.

Свойства неравенств

Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.

Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:

умножив части равенства на (– 1), получим:

Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоb

Для доказательства этого очевидного факта используем координатную прямую:

Ясно, что если b>a, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.

Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:

Следующее свойство неравенств позволяет их складывать:

Докажем эту теорему. Найдем разность чисел (а + c) и (b + d):

(а + c) – (b + d) = а + с – b – d = (a– b) + (b– d)

Получили сумму двух слагаемых, (a– b) и (b– d). Каждое из них является отрицательным числом, так как a 25

В одном стоит знак «меньше», а в другом «больше», поэтому сразу их складывать нельзя. Сначала «перевернем» второе неравенство

Пример. Пете надо купить 2 килограмма бананов и пакет молока. Он точно знает, что пакет молока стоит в разных магазинах от 65 до 80 рублей, а стоимость килограмма бананов колеблется от 54 до 69 рублей. Помогите Пете оценить, сколько денег он потратит в магазине.

Решение. Обозначим буквой h стоимость килограмма бананов, а через k – цену пакета молока. Затраты Пети составят 2h + k, при этом можно написать следующие оценки:

Решение. Запишем очевидно верное неравенство

Добавим к нему число 11:

Число 11 больше 5, поэтому можно записать:

Пример. Докажите, что неравенство

n 2 – 8n + 19> 0

справедливо для любого n.

В левой части стоит квадратный трехчлен, попытаемся преобразовать его с помощью формулы квадрата суммы:

n 2 – 8n + 19 = n 2 – 2•4n + 19 = n 2 – 2•4n +16 – 16 + 19 =

= (n 2 – 2•4n + 4 2 ) – 16 + 19 = (n– 4) 2 + 3

Величина (n – 4) 2 является неотрицательным числом, поэтому сумма (n – 4) 2 + 3 никак не меньше трех, то есть положительна.

Иногда для доказательства числового неравенства можно определить знак разности выражений, стоящих в правой и левой части.

Пример. Докажите, что при любом значении переменных выполняется условие

Решение. Запишем разность выражений, стоящих в неравенстве, а потом преобразуем ее:

2ut – (u 2 + t 2 ) = 2ut – u 2 – t 2 = – (u 2 – 2ut + t 2 ) = – (u – t) 2

Разность получилась неположительной. Значит, между уменьшаемым и вычитаемым можно поставить знак «⩽»:

Полученное выражение означает, что удвоенное произведение двух чисел не превосходит сумму их квадратов. Этот факт мы используем при решении следующего задания.

Пример. Докажите, что

d 2 + s 2 + m 2 ⩾ds + dm + sm

Решение. В предыдущем примере мы установили, что сумма квадратов чисел больше или равна их двойному произведению, поэтому можно записать:

Сложим полученные неравенства:

(d 2 + s 2 ) + (s 2 + m 2 ) + (d 2 + m 2 ) ⩾2ds + 2sm + 2dm

2d 2 + 2s 2 + 2m 2 ⩾2ds + 2sm + 2dm

Осталось поделить на два это неравенство:

d 2 + s 2 + 2m 2 ⩾ds + sm + dm

Решение неравенств с одной переменной

Очевидно, что не все неравенства справедливы при любом значении входящих в них переменных. Так, нер-во

справедливо для х = 3 (так как 3 – 2 > 0), но несправедливо при х = 1. Такие выражения называют неравенствами с одной переменной. Его решением называют значение переменной, при подстановке которого получается справедливое числовое неравенство.

Так, 3 – это одно из решений для нер-ва

ведь при его подстановке получается справедливое числовое нер-во

Чтобы решить нер-во, надо указать сразу ВСЕ решения для него. Однако стоит заметить, что почти всегда нер-во, в отличие от уравнения, имеет бесконечное количество решений. Так, решением для нер-ва

является не только число 3, но также числа 4, 5, 6, 7, 8, и т.д. Более того, подойдут и дробные числа, например, 2,5; 2,6; 2,61 и т.д. Поэтому для указания решения нер-в используются особые математические объекты – числовые промежутки.

Отметим на координатной прямой числа а и b, а также точку с, лежащую между ними. Все числа, расположенные между ними, образуют множество, которое называют числовым промежутком:

Числовой промежуток обозначается скобками, в которых указаны его граничные точки: (а;b). В данном случае скобки круглые, это означает, что сами числа a и b НЕ входят в это множество. По этой причине концы промежутка на рисунке показаны незакрашенными точками, которые ещё называют «выколотыми».

Если некоторое число c располагается между числами a и b, то говорят, что с принадлежит промежутку (а; b). Записывается это так:

Естественно, что с принадлежит промежутку в том случае, если выполняется неравенство

Отметим на числовой прямой число 20 и всё множество решений этого нер-ва:

Решением нер-ва будет промежуток (20; + ∞)

Введем понятие равносильных неравенств:

Более сложные нер-ва можно свести к более простым, но равносильным им, с помощью нескольких приемов:

Эти способы основаны на свойствах нер-в и очень сильно напоминают способы преобразований уравнений. Рассмотрим их использование на примере.

Пример. Найдите решение неравенства с одной переменной

х + 10 > 18

Перенесем слагаемое 10 вправо, изменив его знак на противоположный:

Получили нер-во, решением которого является интервал (8; + ∞):

Пример. Решите нер-во

5у ⩾ 20

Решение. Поделим обе части на число 5. Оно положительное, а потому знак нер-ва не меняется:

Решением этого нер-ва будет интервал [4; + ∞)

Пример. Найдите значения переменной, при которых верна запись

–6z > 42

Решение. Поделим нер-во на (– 6). Так как это число отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный:

Решение. Перенесем слагаемое 26 вправо:

Теперь поделим на 12 правую и левую часть:

Для нер-ваk> 10 решением является промежуток

Пример. Решите нер-во

9(h + 2) + 21 10 (штриховка сверху) и х 0

Первый шаг – заменим знак «>» на «=»:

Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому

х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0

Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:

Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:

В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140

Получили число, большее нуля: 140 > 0

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16

Получили отрицательное число.

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– 8) = 8

Получили положительное число

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36

Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:

Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.

В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:

Пример. Определите, при каких значениях переменной полином

х 2 – 8х + 12

принимает отрицательные значения.

Решение. По сути, нам надо решить нер-во

х 2 – 8х + 12 2 – 8х + 12 = 0

D = (– 8) 2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16

Зная х₁ и х₂, можем записать, что

х 2 – 8х + 12 = (х – х₁)(х – х₂) = (х – 2)(х – 6)

Перепишем исходное нер-во:

К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):

х – 2 = 0 или х – 6 = 0

Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:

На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5

Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3

На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5

В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).

Источник

math4school.ru

Доказательство неравенств

Немного теории

Редкая олимпиада обходится без задач, в которых требуется доказать некоторое неравенство. Алгебраические неравенства доказываются с помощью различных методов, которые основываются на равносильных преобразованиях и свойствах числовых неравенств:

1) если a – b > 0, то a > b; если a – b

2) если a > b, то b a;

Напомним некоторые опорные неравенства, которые часто используются для доказательства других неравенств:

2) aх 2 + bx + c > 0, при а > 0, b 2 – 4ac

3) x + 1 /_x > 2, при х > 0, и x + 1 /_x –2, при х

4) |a + b| |a| + |b|, |a – b| > |a| – |b|;

5) если a > b > 0, то 1 /_a 1 /_b;

a 2 > b 2 и n √ a > n √ b ;

7) если a > b > 0 и х x x ;

8) если х > 0, то sin x

Многие задачи олимпиадного уровня, и это не только неравенства, эффективно решаются с помощью некоторых специальных неравенств, с которыми учащиеся школы часто не бывают знакомы. К ним, прежде всего, следует отнести:

К наиболее «популярным» методам доказательства неравенств можно отнести:

Задачи с решениями

1. Доказать неравенство:

а) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 · (a + b + c);

б) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;

в) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 при x > 0, y > 0.

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,

б) Доказываемое неравенство после умножения обеих частей на 2 принимает вид

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

(a 2 – 2ab + b 2 ) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,

(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

что очевидно. Равенство имеет место лишь при a = b = 1.

x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5 ) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =

= (x – y) ( x 4 – y 4 ) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2 ) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2 ) > 0.

2. Доказать неравенство:

в) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, где a > 0, b > 0, c > 0.

б ) Доказательство данного неравенства элементарно следует из следующей оценки:

Равенство достигается для равностороннего треугольника.

ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) =

так как сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

3. Доказать, что если a + b = 1, то имеет место неравенство a 8 + b 8 > 1 /₁₂₈.

Из условия, что a + b = 1, следует, что

Сложим это равенство с очевидным неравенством

2a 2 + 2b 2 > 1, или 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

Сложив это неравенство с очевидным неравенством

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

8a 4 + 8b 4 > 1, откуда 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Сложив это неравенство с очевидным неравенством

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

128a 8 + 128 b 8 > 1 или a 8 + b 8 > 1 /₁₂₈.

е – π · ln е = е – π > π – π · ln π

Отсюда получаем, что

Используя свойства логарифмов, нетрудно свести данное неравенство к равносильному неравенству:

после почленного умножения которых, непосредственно получаем, что (n + 1) n > n!.

2013 2015 · 2015 2013 = 2013 2 · 2013 2013 · 2015 2013 =

= 2013 2 · (2014 – 1) 2013 · (2014 + 1) 2013 2 · (2014 2 – 1) 2013

Очевидно, так же можно получить общее утверждение: для любого натурального n выполняется неравенство

7. Докажите, что для любого натурального числа n выполняется неравенство:

Оценим левую часть неравенства:

что и требовалось доказать.

Пусть наибольшее из этих чисел равно m. Тогда

так как в правую часть добавлены множители, меньшие 1. Вычислим правую часть, разложив каждую скобку на множители:

Раскрыв в левой части скобки, получим сумму

Методом математической индукции докажем, что для всех натуральных n верно неравенство:

В силу принципа математической индукции неравенство доказано.

10. Доказать неравенство Бернулли:

Воспользуемся методом математической индукции.

При n = 1 получаем истинное неравенство:

Предположим, что имеет место неравенство:

Покажем, что тогда имеет место и

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α.

Действительно, поскольку α > –1 влечет α + 1 > 0, то умножая обе части неравенства

(1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α)

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2

Поскольку nα 2 ≥ 0, следовательно,

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α.

Таким образом, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли справедливо.

Задачи без решений

1. Доказать неравенство для положительных значений переменных

a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c).

2. Доказать, что при любом a имеет место неравенство

3. Доказать, что многочлен x 12 – x 9 + x 4 – x + 1 при всех значениях x положителен.

Источник