Как доказать что плоскости перпендикулярны

Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей.

Эта статья о перпендикулярных плоскостях. Сначала дано определение перпендикулярных плоскостей, показаны обозначения и приведены примеры. После этого сформулирован признак перпендикулярности плоскостей и условие перпендикулярности двух плоскостей. В заключении детально разобраны решения характерных задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные плоскости – основные сведения.

Определение перпендикулярных плоскостей дается через угол между пересекающимися плоскостями.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам.

Для обозначения перпендикулярности используют символ вида «». То есть, если плоскости и перпендикулярны, то можно кратко записать .

Если плоскости и перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость перпендикулярна к плоскости или плоскость перпендикулярна к плоскости . Поэтому перпендикулярные плоскости и часто называют взаимно перпендикулярными.

В качестве примера перпендикулярных плоскостей можно привести плоскости стены и пола в комнате.

Перпендикулярность плоскостей – признак и условие перпендикулярности.

На практике часто приходится определять, перпендикулярны ли две заданные плоскости. Для этого можно найти угол между заданными плоскостями, и если он будет равен , то по определению плоскости будут перпендикулярными.

Также существует признак перпендикулярности двух плоскостей, который часто используется для доказательства перпендикулярности двух плоскостей. В его формулировке участвуют перпендикулярные прямая и плоскость. Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей в виде теоремы.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.

Из этого признака напрямую следует, что если плоскость перпендикулярна к линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Теперь рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей, которое удобно применять для проверки перпендикулярности плоскостей, заданных в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. Определение нормального вектора плоскости позволяет доказать следующее необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.

Для перпендикулярности двух пересекающихся плоскостей необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы этих плоскостей были перпендикулярны.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат. Если и — нормальные векторы плоскостей и соответственно, то необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид . Таким образом, если и — нормальные векторы плоскостей и соответственно, то для перпендикулярности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство .

Разберем решения нескольких примеров.

Перпендикулярны ли плоскости, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями и ?

Чтобы ответить на вопрос о перпендикулярности заданных плоскостей, найдем координаты нормальных векторов этих плоскостей и проверим выполнение условия перпендикулярности этих векторв.

Общее уравнение плоскости позволяет сразу записать координаты нормального вектора: .

Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости , перейдем от уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости: . Таким образом, — нормальный вектор плоскости .

Вычислим скалярное произведение векторов и : . Так как оно отлично от нуля, то векторы и не перпендикулярны, следовательно, заданные плоскости не перпендикулярны.

нет, плоскости не перпендикулярны.

Убедимся, что скалярное произведение нормальных векторов указанных плоскостей равно нулю – это будет доказательством перпендикулярности плоскостей. Для этого сначала нам нужно найти координаты нормальных векторов и плоскостей АВС и ABD соответственно.

Нормальным вектором плоскости АВС является векторное произведение векторов и , а нормальным вектором плоскости ABD является векторное произведение векторов и , то есть,

Заметим, что можно было по координатам заданных точек получить общие уравнения плоскостей АВС и ABD (смотрите статью уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки), из них найти координаты нормальных векторов этих плоскостей, после чего проверить выполнение условия перпендикулярности нормальных векторов плоскостей.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №11. Перпендикулярность плоскостей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей в виде прямой а, не принадлежащими одной плоскости. Перпендикуляры к ребру двугранного угла образуют линейный угол двугранного угла. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Если угол между пересекающимися плоскостями равен 90 градусом, то плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Следствие из признака перпендикулярности плоскостей: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Прямоугольный параллелепипед – фигура, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей в виде прямой а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. Прямая а, которая является общей границей полуплоскостей, называется ребром двугранного угла (рис. 1а и 1б).

Двугранный угол с ребром CD, на разных гранях которого отмечены точки A и B называют двугранным углом CABD.

Перпендикуляры к ребру AO и BO образуют линейный угол двугранного угла AOB (рис. 1в). Так как луч ОА перпендикулярен прямой CD и луч OB перпендикулярен прямой CD, то плоскость АОВ перпендикулярна к прямой CD. Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Так же как и плоские углы, двугранные углы могут быть прямыми, острыми и тупыми.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и А₁О₁В₁ (рис. 1г). Лучи ОА и О₁А₁, лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО₁, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены лучи OB и O₁B₁. Поэтому углы АОВ и А₁О₁В₁ равны как углы с сонаправленными сторонами.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Если один из этих двугранных углов равен фи, то другие три угла равны соответственно 180 градусов минус фи, фи и 180 градусов минус фи (рис. 2 а). В частности, если один из углов прямой, то и остальные три угла прямые. Если угол между пересекающимися плоскостями равен 90 градусом, будем называть такие плоскости перпендикулярными (рис. 2б).

Для доказательства теоремы рассмотрим плоскости альфа и бетта такие (рис. 3), что плоскость альфа проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости бетта и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что плоскости альфа и бетта перпендикулярны. Плоскости альфа и бетта пересекаются по некоторой прямой АС. При этом прямая АВ перпендикулярна прямой АС, так как по условию прямая АВ перпендикулярна плоскости бетта, это означает, что прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости бетта.

Проведем в плоскости бетта прямую AD, перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD — линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей альфа и бетта. Но угол BAD равен 90 градусов так как прямая АВ перпендикулярна плоскости бетта. Следовательно, угол между плоскостями альфа и бетта равен 90 градусов. Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы вытекает важное следствие:

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

На рисунке 4 представлен прямоугольный параллелепипед. У этой фигуры все боковые ребра перпендикулярны основанию.

Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁, а боковые ребра АА₁,BB₁,CC₁ и DD₁ перпендикулярны к основаниям. Отсюда следует, что ребро АА₁ перпендикулярно к ребру АВ, т. е. боковая грань АА₁В₁В является прямоугольником. То же самое можно сказать и об остальных боковых гранях.

Таким образом, прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами:

1) В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней — прямоугольники.

2) Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

3) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются длины трех ребер, имеющих общую вершину.

Докажем последнее свойство.

Так как ребро СС₁ перпендикулярно к основанию ABCD, то угол АСС₁, прямой. Из прямоугольного треугольника АСС₁, по теореме Пифагора получаем

Следствием из этого свойства является то, что диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Стоит отметить, что если у прямоугольного параллелепипеда все три измерения равны, то он называется, а все его грани являются равными друг другу квадратами.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 5) боковая грань DD₁C₁C – квадрат, DC равно 4 см, BD₁ равно 6 см. Найдите BC и докажите, что плоскости BCD₁ и DC₁ B₁ взаимно перпендикулярны.

Сначала найдем BC. Воспользуемся тем свойством прямоугольного параллелепипеда, что квадрат его диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Тогда диагональ BD₁ в квадрате равна AD в квадрате плюс DD₁ в квадрате плюс DC в квадрате. BD₁ – известно из условия, DD₁ и DC – стороны квадрата и тоже известны из условия, тогда отсюда мы можем выразить ребро AD, которое ребру BC.Отсюда находим, что BC равно 2 сантиметрам.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей BCD₁ и DC₁ B₁ воспользуемся признаком перпендикулярности плоскостей. Этот признак звучит следующим образом: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Заметим, что плоскость BCD₁ проходит через диагональ грани DD₁ C₁C – CD₁. Эта диагональ перпендикулярна плоскости DC₁ B₁ в соответствии с признаком перпендикулярности прямой и плоскости, так как CD₁ перпендикулярна второй диагонали квадрата – C₁D и перпендикулярна ребру прямоугольного параллелепипеда C₁ B₁. Что и требовалось доказать.

Тестовый вопрос №2. В прямом двугранном угле дана точка A. Расстояния от точки A до граней угла: AA₁=6 см и AB₁=8 см. Определите расстояние от точки A до ребра двухгранного угла.

Отрезки AA₁ и AB₁ перпендикулярны граням двугранного угла, поэтому AA₁BB₁ – прямоугольник. Искомое расстояние – диагональ этого прямоугольника, которую найдем с помощью теоремы Пифагора: сантиметров.

Тестовый вопрос №10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ длины рёбер: AB = 2, BC=3, AA₁ = 4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C_​1​​.

Решение. Нарисуем рисунок.

В рассматриваемом прямоугольном параллелепипеде проведем отрезок BC_​1​​. Затем построим плоскость на прямых BC_​1​​ и AB. Так как плоскости прямоугольного параллелепипеда AA₁D₁D и BB₁C₁C параллельны, поэтому искомым сечением является прямоугольник ABC₁D₁.

Источник

Поэтому так важно не только знать теоремы, но и уметь доказывать утверждение о расположении поверхностей в пространстве.

Общие сведения

Пожалуй, одним из главных понятий в математике является плоскость. Различные вычисления геометрических параметров связаны с ней. Согласно определению, плоскость не имеет ограничений. То есть это бесконечная поверхность, состоящая из множества точек. Все линии, проходящие через две и более точки, считаются принадлежащими ей. Поэтому в какой-то мере плоскость можно назвать геометрической фигурой.

Любую поверхность можно описать с помощью уравнения первой степени: Ax + By + Cz + D = 0. Латинскими буквами обозначают постоянные коэффициенты, которые не могут одновременно равняться нулю. В произвольном пространстве может находиться множество различных плоскостей. Они могут принимать три положения относительно друг друга:

При этом если в базисе имеется прямая, то через неё может проходить неограниченное число незамкнутых поверхностей. Грани, не имеющие ограничений, обозначают на чертежах маленькими греческими буквами. Изображают их в виде произвольного размера параллелограмма или имеющей любую форму замкнутой линии, образующей область. Рассмотрение плоскости построено на изучении расположения точек и линий. Принадлежащие плоскости геометрические элементы записывают через символ «Є». Например, если вектор AB принадлежит поверхности γ, то математически это записывают так: AB Є γ.

Расстояние от точки до плоскости является наименьшей длиной между ней и элементами поверхности.

Определяется оно через перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Прямая же может как лежать на поверхности, так и пересекать её. В первом случае геометрические объекты будут иметь как минимум две общие точки, а во втором — только одну. При рассмотрении темы особое значение имеет ненулевой вектор, располагающийся на линии, перпендикулярной этой поверхности. Такой отрезок также можно принять за направляющий вектор прямой, поэтому его называют нормальным вектором плоскости.

Аксиомы и теоремы

Вся теория изучения признаков, построения и свойств перпендикулярных плоскостей строится на различии положений линий и точек в пространстве. Занимается этим стереометрия. В науке есть пять основных теорем и аксиом, являющихся базисными для всего курса:

Из последнего утверждения следует, что две пересекающиеся поверхности называются перпендикулярными в том случае, когда третья поверхность перпендикулярная прямой пересечения и проходит через них по перпендикулярным прямым. При построении таких плоскостей образуются две полуплоскости. Их общая граница формирует четыре двухгранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным параметром. Для этого на ребре можно выбрать произвольную точку и провести через неё два к нему перпендикуляра. Получится четыре линейных угла: φ, 180 0 — φ, φ, 180 0 — φ. Углом между плоскостями называется наименьшим из указанных углов. Так как ∠ φ меньше либо равняется 180 градусам, то угол между поверхностями лежит в пределах от нуля до 90 градусов. Отсюда следует, что плоскости называются взаимно перпендикулярными, когда угол между ними составляет 90 градусов.

Если начертить эту конструкцию в пространстве, то можно увидеть, что прямая L перпендикулярна стороне b, а она, в свою очередь, грани a. Иными словами, прямая b составляет с двумя пересекающими линиями, расположенными на плоскости альфа, угол 90 градусов. А это означает, что она перпендикулярна альфе. Аналогично можно сказать и про поверхность бета.

Признак перпендикулярности

Две плоскости являются перпендикулярными друг другу, если одна из них пересекает прямую, расположенную под ∠ 90 градусов к другой грани. Для наглядности доказательства признака нужно начертить рисунок. На нём изобразить две области — альфа и бета, перпендикулярно пересекающие друг друга.

Будем считать, что прямая, принадлежащая альфа, перпендикулярна бета. За начало этой линии можно принять точку B, а место, в котором грани проникают одна в другую, отрезок С. А также на полуплоскости бета нужно изобразить линию, берущую начало в точке D и пересекающуюся с прямой, относящейся к альфе в точке A. Отрезок BA лежит на полуплоскости альфа, то есть она проходит через перпендикуляр другой поверхности.

Прямая AB перпендикулярна к поверхности бета, а значит, она будет иметь прямой угол с любой линией или точкой, принадлежащей β. При этом отрезок AD не является исключением.

Следствие из критерия

Из доказанного признака вытекает важное следствие, которое и используется при решениях задач. Оно гласит, что плоскость, перпендикулярная к прямой, через которую проходят две рассматриваемые поверхности, будет составлять с каждой из них прямой угол.

Доказательство следствия удобно выполнять с помощью рисунка. Пусть имеется грань альфа и бета, которые пересекаются по прямой L.

Тогда будет существовать некая поверхность гамма, перпендикулярная этой линии. Нужно доказать, что гамма составляет прямой угол как с альфой, так и с бетой.

Если прямая перпендикулярна к поверхности, это означает то, что они имеют единственную общую точку. Пусть на чертеже она будет обозначена M. По условию L с плоскостью гамма составляет прямой угол. Причём L лежит на грани альфа. Отсюда следует, что альфа будет пересекать прямую, перпендикулярную к другой плоскости. А это значит, что они взаимно перпендикулярные: α ┴ γ.

Учитывая, что линия L принадлежит также и β, верно будет сказать, что плоскость бета проходит через ось, перпендикулярную к грани гамма. Значит, угол между бетой и гаммой составляет девяносто градусов. Следствие доказано.

Правило линейного угла

Эта закономерность позволяет сформулировать правило для линейного угла. Когда имеется фигура, состоящая из двух полуплоскостей и берущая начало из отрезка вместе с определённой областью пространства, при этом части плоскости ограничивают геометрическое тело, то она называется двугранным углом. Если угол находится между двумя перпендикулярами к ребру этой фигуры, построенными из её боковых поверхностей и одной точки ребра, то его называют линейным.

Плоскость же такого угла будет перпендикулярна любым элементам соответствующей ему фигуре, то есть ребру и граням. Пусть имеется двугранный угол, образованный полуплоскостями альфа и бета. Грани этого угла пересекаются по прямой L. Имеется некая третья плоскость угла, построенная из ребра. Образована она путём взятия L произвольной точки и проведения из неё двух перпендикуляров к альфа и бета. Нужно доказать, что она будет перпендикулярна L, α и β.

Рассуждать нужно следующим образом. Плоскость гамма составляет с L угол, равняющийся девяноста градусам, так как отрезок перпендикулярен двум пересекающимся отрезкам из плоскости гамма.

Из всего рассмотренного можно вывести ещё одно утверждение, характеризующее геометрию перпендикулярных плоскостей. Если в одной из них проведён отрезок, расположенный под ∠ 90 0 к общей линии пересечения, то этот отрезок будет составлять с другой плоскостью такой же угол.

Пусть даны две поверхности с линией пересечения L. На гране бета построена прямая B, перпендикулярная к линии пересечения, то есть линия B и альфа образуют прямой угол. Доказательство строится через свойства двугранного угла. Для его видимости нужно построить дополнительно угол, перпендикулярный L.

Тогда получаем, что линия B перпендикулярна А и L. То есть она составляет прямой угол с двумя прямыми, принадлежащим альфа, а это значит, что она также перпендикулярна α, что и требовалось подтвердить.

Примеры решения задач

На уроках учащимся для закрепления результата предлагается решить несколько типовых заданий, касающихся рассматриваемой темы. В своём большинстве они несложные и позволяют на практике воспользоваться полученными знаниями. Вот некоторые из них:

Таким образом признаки и следствия перпендикулярности позволяют довольно быстро и точно определять расположение плоскостей в пространстве.

Источник