Как доказать что плоскости в тетраэдре параллельны
10 класс. Геометрия. Параллельные плоскости.
10 класс. Геометрия. Параллельные плоскости.
Вопросы
Задай свой вопрос по этому материалу!
Поделись с друзьями
Комментарии преподавателя
1. Тетраэдр и его элементы
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС. Произвольную точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВD ∩ АСD.
Тетраэдр определение
2. Задача 1 на построение тетраэдра
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
3. Задача 2 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Решение:
Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
4. Задача 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС.
В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.
5. Задача 4
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
6. Задача 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямаяР1Р2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.
7. Итоги урока по теме «Тетраэдр», «Ребро тетраэдра», «Грани тетраэдра», «Поверхность тетраэдра», «Вершины тетраэдра»
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
Как доказать что плоскости в тетраэдре параллельны
На этом уроке мы будем решать разнообразные задачи в тетраэдре с использованием свойств сечений параллелограмма, средней линии треугольника, признака параллельности прямой и плоскости и параллельности двух плоскостей.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Задачи на тетраэдр
На этом уроке мы будем решать разнообразные задачи в тетраэдре с использованием свойств сечений, средней линии треугольника, признака параллельности прямой и плоскости и параллельности двух плоскостей.
Точки М и N – середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСD (рис. 1). Докажите, что прямая МN параллельна плоскости ВСD. Найдите длину отрезка МN, если ВС = а.
Прямая МN параллельна прямой ВС, которая лежит в плоскости ВСD, и не лежит в плоскости ВСD. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая МN параллельна плоскости ВСD, что и требовалось доказать.
Через середины ребер АВ и BС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SАB и SBС по параллельным прямым.
Обозначим середины ребер АВ и АС – как М и N соответственно, а плоскость, проходящую через точки М и N параллельно ребру SB, как φ.
Плоскость АВS проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой МL, 
. Значит, прямая МL параллельна прямой SB.
Плоскость ВSС проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой NP, 
. Значит, прямая PN параллельна прямой SB.
Имеем, что две прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой SB. Значит, прямые МL и NP параллельны, что и требовалось доказать.
Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD параллельна плоскости BCD.
А1С1 – средняя линия треугольника АВD. Из свойств средней линии следует, что А1С1параллельна BD.А1В1 – средняя линия треугольника АСD. Из свойств средней линии следует, что А1В1параллельна СD. Прямые А1С1и А1В1 пересекаются в точке А1. По признаку параллельности плоскостей, плоскости А1В1С1 иBCD параллельны, что и требовалось доказать.
а) Постройте сечение тетраэдра АBCD плоскостью α, проходящей через точку М ребра ВD, параллельно ребрам АD и ВС.
б) Докажите, что полученное сечение – параллелограмм.
в) Найдите углы полученного в сечении параллелограмма, если угол между прямыми АD и ВС равен𝜑.
1) Проведем прямую ML параллельно прямой АD в плоскости АDВ, 
.
2) Проведем прямую MN параллельно прямой BC в плоскости BCD, 
.
3) Проведем прямую NP параллельно прямой АD в плоскости АDC, 
.
4) Проведем прямую LP.
5) Так как прямая АD, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой ML, лежащей в плоскости MNL, то прямая АD параллельна MNL по признаку. Так как прямая ВС, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой MN, лежащей в плоскости MNL, то прямая ВС параллельна MNL по признаку.Значит, MNLP – искомое сечение.
б) Докажем, что сечение MNLP – параллелограмм. Прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой АD. Значит, прямые МL и NP параллельны. Прямые МN и LP параллельны одной и той же прямой ВС. Значит, прямые МN и LP параллельны. Имеем, что в четырехугольнике МNLP противоположные стороны попрано параллельны, по определению, МNLP – параллелограмм.
в) Заметим, что прямые АD и ВС – скрещивающиеся прямые (по признаку скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми АD и ВС равен либо углу МLP, либо углу LМN. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна π. Значит, в этом параллелограмме углы равны либо 𝜑, либо π – 𝜑.
Итак, мы решили серию типовых задач на тетраэдр. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на параллелепипед.
Список рекомендованной литературы
1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник)
3. Построение сечений тетраэдра (Источник)
Рекомендованное домашнее задание
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Задания 13, 14, 15 стр. 50
4. Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, C и середину ребра AD. Вычислите периметр сечения.
В тетраэдре ДАВС точки M, N и P – середины рёбер ДА, ДВ, ДС соответственно. а) Доказать, что плоскости (MNP) и (АВС) параллельны. б) Найти площадь ∆ АВС, если S∆MNP = 14 см2
помогите пожалуйста ни как решить не могу
Лучший ответ по мнению автора
а) 1) NP — средняя линия треугольника DCB, следовательно, NP || BC (по свойству средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна стороне и равна ее половине)
MP — средняя линия треугольника АDC, следовательно, MP || AC
2) Используя признак параллельности плоскостей (Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны), получаем:
MP || AC, NP || BC и МР пересекает NP и АС пересекает BC, следовательно, (MNP) || (ABC), ч. т. д.
б) 1) NP = 1/2 BC |
MP = 1/2 AC | (по свойству средней линии треугольника), следовательно, P (MNP) = 1/2 * ( AB + AC + BC) =
MN = 1/2 AB |
= 1/2 P (ABC), т. е. k = Р(MNP) / P(ABC) = 1/2 (где k — коэффициент подобия треугольников)
2) S(MNP) / S(ABC) = k^2 (свойство подобных треугольников: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия), т. е. получаем:
14 / S(ABC) = 1/4
Перемножаем пропорцией:
S(ABC) = 14 * 4 = 56 см^2
Ответ: а) ч. т. д.; б) S(ABC) = 56 см^2
Задачи на тетраэдр с использованием свойств сечений, средней линии треугольника, признака параллельности прямой и плоскости и параллельности двух плоскостей
Задачи на тетраэдр
с использованием свойств сечений, средней линии треугольника, признака параллельности прямой и плоскости и параллельности двух плоскостей.
2. Задача 1
Точки М и N – середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСD (рис. 1). Докажите, что прямая МN параллельна плоскости ВСD. Найдите длину отрезка МN, если ВС = а.
Прямая МN параллельна прямой ВС, которая лежит в плоскости ВСD, и не лежит в плоскости ВСD. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая МN параллельна плоскости ВСD, что и требовалось доказать.
3. Задача 2
Через середины ребер АВ и АС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SАB и SBС по параллельным прямым.
Обозначим середины ребер АВ и АС – как М и N соответственно, а плоскость, проходящую через точки М и N параллельно ребру SB, как ц.
Плоскость АВS проходит через прямую SB, параллельную плоскости ц и пересекает эту плоскость по прямой МL, 
. Значит, прямая МL параллельна прямой SB.
Плоскость ВSС проходит через прямую SB, параллельную плоскости ц и пересекает эту плоскость по прямой NP, 
. Значит, прямая PN параллельна прямой SB.
Имеем, что две прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой SB. Значит, прямые МL и NP параллельны, что и требовалось доказать.
4. Задача 3
Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD параллельна плоскости BCD.
Пусть А1, В1, С1 – середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD (рис. 3). Докажем, что плоскость А1В1С1параллельна плоскости BCD.
А1С1 – средняя линия треугольника АВD. Из свойств средней линии следует, что А1С1параллельна BD. А1В1 – средняя линия треугольника АСD. Из свойств средней линии следует, что А1В1параллельна СD. Прямые А1С1иА1В1 пересекаются в точке А1. По признаку параллельности плоскостей, плоскости А1В1С1 иBCD параллельны, что и требовалось доказать.
5. Задача 4
а) Постройте сечение тетраэдра АBCD плоскостью б, проходящей через точку М ребра ВD, параллельно ребрам АD и ВС.
б) Докажите, что полученное сечение – параллелограмм.
в) Найдите углы полученного в сечении параллелограмма, если угол между прямыми АD и ВС равен��.
1) Проведем прямую ML параллельно прямой АD в плоскости АDВ, 
.
2) Проведем прямую MN параллельно прямой BC в плоскости BCD, 
.
3) Проведем прямую NP параллельно прямой АD в плоскости АDC, 
.
4) Проведем прямую LP.
5) Так как прямая АD, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой ML, лежащей в плоскости MNL, то прямая АD параллельна MNL по признаку. Так как прямая ВС, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой MN, лежащей в плоскости MNL, то прямая ВС параллельна MNL по признаку. Значит, MNLP – искомое сечение.
б) Докажем, что сечение MNLP – параллелограмм. Прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой АD. Значит, прямые МL и NP параллельны. Прямые МN и LP параллельны одной и той же прямой ВС. Значит, прямые МN и LP параллельны. Имеем, что в четырехугольнике МNLP противоположные стороны попрано параллельны, по определению, МNLP – параллелограмм.
в) Заметим, что прямые АD и ВС – скрещивающиеся прямые (по признаку скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми АD и ВС равен либо углу МLP, либо углу LМN. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна р. Значит, в этом параллелограмме углы равны либо ��, либо р – ��.
Презентация по теме: «Решение задач по теме: «Параллельность плоскостей. Тетраэдр и параллелепипед».
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Решение задач по теме «Параллельность плоскостей. Тетраэдр и параллелепипед».
Цели урока: 1. обобщить и систематизировать знания по темам; 2. совершенствовать навыки решения задач по теме «Параллельность плоскостей. Тетраэдр и параллелепипед»; 3. подготовиться к решению контрольной работы.
Проверка домашнего задания
1)Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость трапеции? 2) Две стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость параллелограмма? 3)Прямые а и b расположены соответственно в параллельных плоскостях α и β. Верно ли, что эти прямые не имеют общих точек.
Параллельность плоскостей Дано: АА1||BB1||CC1 АА1=BB1=CC1 Доказать: параллельность плоскостей АBC и А1B1C1 А С1 В А1 С В1
Параллельность плоскостей Дано: D лежит вне плоскости АВС Доказать: параллельность плоскостей АBC и А1B1C1 А С1 В А1 С В1 D
Параллельность плоскостей Дано: плоскости и параллельны, a||b, АВ=6 см Найти: А1В1 b а А В А1 В1
Параллельность плоскостей Дано: плоскости и параллельны, прямые а и b пересекаются в точке О. Найти: ОВ и А1В1. b а А В А1 В1 O 5 4 3 6
Параллельность плоскостей Дано: α||β KC=14 см, BD=5 см, KB=AC Найти: KD
Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M,N и P M P N
Самостоятельная работа I вариант 1. Построить сечение: 2. АBCD параллелограмм. Параллельные прямые АА1 и СС1 не лежат в плоскости параллелограмма. Доказать: (A1AD) ||(C1CB) II вариант 1. Построить сечение: 2. ABCD и A1B1CD, параллелограммы, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что (ADA1) || (BCB1).
Проверка AA1||CC1 (дано) AD||BC (свойство пар – ма) AA1 пересекает AD, СС1 пересекает BC => (A1AD) ||(C1CB) DA1||CB1 (свойство пар – ма) AD||BC (свойство пар – ма) DA1 пересекает AD, СB1 пересекает BC => (ADA1) ||(CBC1)
Домашнее задание п. 10 – 14 № 88, 105, 107
Спасибо за внимание.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДВ-007484
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Россияне чаще американцев читают детям страшные и печальные книжки
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Школьники из Москвы выступят на Международной олимпиаде мегаполисов
Время чтения: 3 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
МГУ откроет первую в России магистерскую программу по биоэтике
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.