Как доказать что прогрессия арифметическая прогрессия

a_n+1= a_n + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.

Пусть дано:

Нужно доказать:

Действительно,

Согласно принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Источник

Арифметическая прогрессия (ЕГЭ 2022)

Знаменитый ученый Карл Гаусс однажды сказал:

«Ничего не сделано, если что-то осталось недоделанным.»

Поэтому давай сейчас разберем одну из важнейших тем алгебры – арифметическую прогрессию.

А если остались какие-то пробелы, заполним их.

Кстати, Гаусса мы вспомнили не просто так 🙂

Арифметическая прогрессия — коротко о главном

Определение арифметической прогрессии:

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна \( \displaystyle d\).

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей (\( \displaystyle d>0\)) и убывающей (\( \displaystyle d Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии:

Как найти член прогрессии, если известны его соседние члены:

Сумма членов арифметической прогрессии:

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: \( \displaystyle 4,\text< >7,\text< >-8,\text< >13,\text< >-5,\text< >-6,\text< >0,\text< >\ldots \)

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их \( \displaystyle 7\)). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать.

Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и \( \displaystyle n\)-ное число) всегда одно.

Число с номером \( \displaystyle n\) называется \( \displaystyle n\)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, \( \displaystyle a\)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: \( \displaystyle <_<1>>,\text< ><_<2>>,\text< >…,\text< ><_<10>>,\text< >…,\text< ><_>\).

Арифметическая прогрессия — определения

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна d.

Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

Разобрался? Сравним наши ответы:

Является арифметической прогрессией – 2, 3.

Не является арифметической прогрессией – 1, 4.

Вернемся к заданной прогрессии (\( \displaystyle 3;\text< >7;\text< >11;\text< >15;\text< >19\ldots \)) и попробуем найти значение ее 6-го члена.

Существует два способа его нахождения.

Нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

Способ I

Итак, 6-ой член описанной арифметической прогрессии равен 23.

Способ II

А что если нам нужно было бы найти значение \( \displaystyle 140\)-го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.

А теперь очень важно! Чтобы облегчить себе работу, нужно найти закономерность, потом описать ее формулой и потом пользоваться этой формулой, чтобы вычислять в разы быстрее.

Это и есть математика!

Важно научиться находить закономерности, а потом уже запоминать формулы. Потому что, даже если ты забудешь формулу, ты сможешь ее вывести. И, самое главное, ты сможешь проверить подходит та или иная формула для решения задачи, а не просто подставлять их как обезьянка.

Давай попробуем вывести формулу. Это легко и тебе понравится! Чтобы найти закономерности, надо пользоваться тем, что мы знаем.

Чему равен 2-й член арифметической прогрессии? Попробуй сначала написать числами, а потом в более общем виде, заменив числа буквами.

Закономерности пока не видны. Ок. Идем дальше. Чему равен 3-й член арифметической прогрессии?

Похоже что вырисовывается закономерность! Чтобы узнать значение 2-го члена прогрессии, мы прибавляли одно d, а чтобы узнать 3-го — два d! Иными словами, нам надо прибавлять каждый раз на одно d меньше, чем номер члена прогрессии.

Давай проверим? Чему равен 4-й член арифметической прогрессии?

Бинго! Закономерность подтверждается. Теперь осталось описать закономерность формулой и пользоваться ею!

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером n, мы прибавляем к первому члену арифметической прогрессии число d, которое на одно значение меньше порядкового номера искомого числа.

А теперь запомни эту формулу и используй ее для быстрого счета. А если забудешь — то легко выведешь.

Например, посмотрим, из чего складывается значение \( \displaystyle 4\)-го члена данной арифметической прогрессии:

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена \( \displaystyle n=6\) данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли \( \displaystyle d\) к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.

Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

Кстати, таким образом мы можем посчитать и \( \displaystyle 140\)-ой член данной арифметической прогрессии (да и \( \displaystyle 169\)-ый тоже можем, да и любой другой вычислить совсем несложно).

Попробуй посчитать значения \( \displaystyle 140\)-го и \( \displaystyle 169\)-го членов, применив полученную формулу.

Возрастающие и убывающие арифметические прогрессии

Возрастающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.

Убывающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.

Проверим это на практике.

Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: \( \displaystyle 13;\text< >8;\text< >4;\text< >0;\text< >-4.\)

Проверим, какое получится \( \displaystyle 4\)-ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

Заметим, что так как арифметическая прогрессия убывающая, то значение \( \displaystyle d\) будет отрицательным, ведь каждый последующий член меньше предыдущего.

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.

Попробуй самостоятельно найти \( \displaystyle 140\)-ой и \( \displaystyle 169\)-ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

Свойство арифметической прогрессии (или как найти n-й член прогрессии, зная соседние)

Усложним задачу — выведем свойство арифметической прогрессии.

Допустим, нам дано такое условие:

\( \displaystyle 4;\text< >x;\text< >12\ldots \) — арифметическая прогрессия, найти значение \( \displaystyle x\).

Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

Получается, мы сначала находим \( \displaystyle d\), потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое \( \displaystyle x\).

Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа \( \displaystyle 4024;

Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.

А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы?

Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии – это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними.

Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на \( 2\).

Попробуем посчитать значение \( x\), используя выведенную формулу:

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал.

Посчитай значение \( x\) для прогрессии \( \displaystyle 4024;

x;6072\) самостоятельно, ведь это совсем несложно.

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все!

Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» – Карл Гаусс…

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от \( \displaystyle 1\) до \( \displaystyle 40\) (по другим источникам до \( \displaystyle 100\)) включительно».

Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из \( \displaystyle 6\)-ти членов: \( \displaystyle 6;\text< >8;\text< >10;\text< >12;\text< >14;\text< >16…\)

Нам необходимо найти сумму данных \( \displaystyle 6\) членов арифметической прогрессии.

Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму \( \displaystyle 100\) ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?

Конечно, ровно половина всех чисел, то есть \( \frac<6><2>=3\).

Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна \( 22\), а подобных равных пар \( 3\), мы получаем, что общая сумма равна:

\( \displaystyle S\text< >=\text< >22\cdot 3\text< >=\text< >66\).

Таким образом, формула для суммы первых \( \displaystyle n\) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

В некоторых задачах нам неизвестен \( \displaystyle n\)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу \( \displaystyle n\)-го члена. \( <_>=<_<1>>+d\left( n-1 \right)\)

Что у тебя получилось?

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма \( \displaystyle 40\) чисел, начиная от \( \displaystyle 1\)-го, и сумма \( \displaystyle 100\) чисел начиная от \( \displaystyle 1\)-го.

Сколько у тебя получилось?

У Гаусса получилось, что сумма \( \displaystyle 100 \) членов равна \( \displaystyle 5050\), а сумма \( \displaystyle 40 \) членов \( \displaystyle 820\).

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется \( \displaystyle 6\) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

\( \displaystyle 6;\text< >5;\text< >4;\text< >3;\text< >2;\ 1\).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

Способ 2.

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Молодец, ты освоил сумму \( \displaystyle n\)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из \( \displaystyle 6\) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из \( \displaystyle 60\)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Верный ответ – \( \displaystyle 1830\) блоков:

Источник

Некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Дата публикации: 23.03.2018 2018-03-23

Статья просмотрена: 918 раз

Библиографическое описание:

Налегач, Д. И. Некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии / Д. И. Налегач, С. А. Конакпаева. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2018. — № 2 (16). — С. 79-84. — URL: https://moluch.ru/young/archive/16/1114/ (дата обращения: 13.12.2021).

В школьном курсе математики в полной мере изучаются два специальных вида последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии, однако последовательности, обобщающие их, т. е. сочетающие их свойства и признаки, в явном виде не рассматриваются.

Известно, что ряд различных типов последовательностей по природе своей являются рекуррентными, или возвратными, в том смысле, что каждый следующий член последовательности по определенному правилу выражается через некоторое фиксированное число предыдущих. К таким последовательностям относятся арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательность Фибоначчи и др. [1]

В данной статье представлены итоги исследования рекуррентной последовательности , заданной по правилу , где числа и называем соответственно знаменателем и разностью этой последовательности, а саму последовательность — арифметико-геометрической прогрессией.

Актуальность исследования обусловлена тем, что в настоящее время эта проблема стала особенно значима для науки и практики. Этим вопросом занимаются многие теоретики и исследователи. Изучению прогрессий посвящены статьи в периодических изданиях и монографии многих ученых. Как правило, информация, посвященная данной проблеме, изложенная в учебной литературе, имеет общий характер, а в современных монографиях по этой теме анализируются более узкие вопросы проблемы.

Высокая значимость и недостаточная теоретическая разработанность проблемы изучения арифметико-геометрической прогрессии определяют несомненную новизну данного исследования.

Определение 1. [2] Арифметико-геометрическая прогрессия задается следующим рекуррентным соотношением:

, (1)

где и — постоянные, называемые соответственно знаменателем и разностью арифметико-геометрической прогрессии.

Замечание 1. При q=1 и d=0 получим стационарную последовательность .

В случае и в (1), получим арифметическую прогрессию , а при и , — геометрическую прогрессию: .

Вышеуказанное замечание отражается в названии рассматриваемой последовательности: арифметико-геометрическая прогрессия.

Рассмотрим примеры арифметико-геометрических прогрессий.

1) ;

2) .

Указание явных формул для нахождения общего члена последовательности, а также для суммы ее первых n членов являются основными задачами о последовательностях.

Арифметико-геометрическая прогрессия является обобщением арифметической и геометрической прогрессий. А значит, по аналогии можно вывести формулы для нахождения общего члена арифметико-геометрической прогрессии, а также для суммы ее первых n членов, и установить характеристическое свойство данного типа последовательности, а также ряд других важных свойств.

В ходе исследования были получены конкретные результаты:

1. Выведена формула n-го члена последовательности: .

Пусть в соотношении (1) . Прибавив к обеим частям равенства выражение , получим

.

Последнее соотношение является рекуррентным, поэтому можно записать аналогичные равенства для :

, ,…, .

Перемножив выписанные равенства, имеем:

Разделив обе части последнего равенства на произведение , получим , откуда .

Таким образом, получили формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии

. (2)

2. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия сходится и ограничена только в случае, когда ;

Из формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии следует, что

а) при арифметико-геометрическая прогрессия сходится к числу

, а значит, при эта последовательность ограничена.

б) при арифметико-геометрическая прогрессия расходится и не ограничена.

3. Выведена формула суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: . Также установлено, что сумма бесконечного числа членов последовательности не существует.

Рассмотрим n-ую частичную сумму арифметико-геометрической прогрессии .

Согласно соотношению (1), имеем:

. (3)

Умножив последнее равенство на знаменатель , получим

или (4)

Из равенства (3) вычтем равенство (4) и выполним преобразования.

Преобразуя последнее равенство, получим формулу суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: . (5)

4. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задается возвратным уравнением ; как следствия были получены характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий.

Действительно, будем утверждать, что при k=1 и при любом справедливо равенство . Осталось определить значения .

В силу соотношения (1) , тогда

.

Из равенства следует, что

,

,

, откуда уравняв коэффициенты, получим систему линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является .

Итак, верно равенство . Что и требовалось доказать.

5. Выведены формулы для нахождения разности и знаменателя арифметико-геометрической прогрессии: и .

6. Доказано характеристическое свойство арифметико-геометрической прогрессии : последовательность , где , является геометрической прогрессией с тем же знаменателем , то есть . (6)

Доказательство. Согласно формуле (2)

.

Упростив правую часть равенства (6), получим:

.

Тогда .

Таким образом, доказано равенство (6), которое и является характеристическим свойством арифметико-геометрической прогрессии.

Все полученные результаты являются новыми. Данные результаты имеют научную и практическую ценность, в частности, они могут быть использованы при решении геометрических задач. [2]

В доступной нам литературе подобные исследования ранее не встречались, лишь некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии встречаются без доказательства.

Похожие статьи

Показательно-геометрическая прогрессия и некоторые ее.

Характеристическое свойство показательной прогрессии или.

Если — показательная прогрессия, то для любого натурального выполняется равенство В данном проекте будет доказана другая формула, описывающая характеристическое свойство показательной прогрессии. Также будет рассмотрено неравенство — аналог неравенству.

Развитие исследовательских навыков учащихся при изучении.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый ее член, кроме

Из формулы общего члена арифметико— геометрической прогрессии следует, что.

О некоторых бинарных задачах для прогрессий

показательная прогрессия, число, характеристическое свойство, неравенство, равенство, геометрическая прогрессия, свойство логарифма числа, арифметическая прогрессия, Кош, числовая последовательность. Аддитивные задачи для вычетов по модулю k | Статья в.

Метод суммирования расходящихся рядов путем сведения.

В статье представлены формулы и методы нахождения обобщенных сумм знакопеременных рядов, в основном расходящихся, путем преобразования к

Преобразуя последнее равенство, получим формулу суммы первых n членов арифметико—геометрической прогрессии.

показательная прогрессия, показательно-геометрическая.

Идея основывалась на сопоставлении геометрической и арифметической прогрессий с помощью специальных таблиц, причём геометрическая прогрессия являлась исходной. Соответственно, и деление заменилось на более простое вычитание.

Урок в 6 классе на тему «Пропорция. Основное свойство. »

Указание явных формул для нахождения общего члена последовательности, а также для суммы ее

Таким образом, доказано равенство (6), которое и является характеристическим свойством.

Некоторые свойства арифметико—геометрической прогрессии.

Условия нулевой плотности множеств натуральных чисел.

Некоторые свойства арифметико—геометрической прогрессии. К таким последовательностям относятся арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательность Фибоначчи и др. [1]. В данной статье представлены итоги исследования.

Структура блоков модуля «Числовые ряды» | Статья в журнале.

Некоторые свойства арифметико—геометрической прогрессии. Из формулы общего члена арифметико—геометрической прогрессии следует, что. Данные результаты имеют научную и практическую ценность, в частности, они могут быть использованы при решении.

Источник

• ← Как и чем лечат пневмонию
• Магния сульфат в чем растворяется →