Как доказать что прямая является касательной

Касательная к окружности

Определение 1. Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

На рисунке 1 прямая l является касательной к окружности с центром O, а точка M является точкой касания прямой и окружности.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Свойство касательной

Теорема 1 (Теорема о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания прямой и окружности.

Предположим, что радиус OM является наклонной к прямой l. Поскольку перпендикуляр, проведенной из точки O к прямой l меньше наклонной OM, от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности. Тогда прямая l и окружность имеют две общие точки (см. статью Взаимное расположение прямой и окружности). Но касательная не может иметь с окружностью две общие точки. Получили противоречие. Следовательно прямая l пенрпендикулярна к радиусу OM.Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, которые проходят через точку A и касаются окружности в точках B и C (Рис.2). Отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенных из точки A.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через данную точку и центр окружности.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной

Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности и перпенжикулярна к этому радиусу, то эта прямая является касательной.

Доказательство. По условию теоремы данный радиус является перпендикуляром от центра окружности к данной прямой. То есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку (теорема 2 статьи Взаимное расположение прямой и окружности). Но это означает, что данная прямая является касательной к окружности (Определение 1).

Построение касательной к окружности

Задача 1. Через точку M окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.3).

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательнойКак доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Решение. Проведем прямую p через точки O и M. На прямой p из точки M отложим отрезок MN равной OM. Построим две окружности с центрами O и N и одинаковыми радиусами ON. Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую l. Полученная прямая является касательным к окружности с центром O и радиусом OM.

Задача 2. Через точку A не принадлежащая к окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.5).

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательнойКак доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Решение. Проведем прямую p через точки O и A (Рис.6). Найдем среднюю точку отрезка OA и обозначим буквой K. Постоим окружность с центром K радиусом KO=KA. Найдем точки пересечения этой окружности с окружностью с центром O. Получим точки B и C. Через точки A и C проведем прямую m. Через точки A и B проведем прямую n. Прямые m и n являются касательными к окружности с центром O.

Источник

Касательная к окружности

Что такое касательная к окружности? Каково взаимное расположение касательной и радиуса?

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

a — касательная,
A — точка касания

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку — точку касания.

(Свойство касательной к окружности).

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Дано: окружность (O;R), R=OA,

a — касательная к окружности,

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что радиус OA и прямая a не перпендикулярны.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Опустим из точки O на прямую a перпендикуляр OB.

Тогда OA — наклонная, проведенная из точки O на прямую a.

По свойству перпендикуляра и наклонной, любая наклонная больше перпендикуляра. Значит, OA>OB.

Получается, расстояние от точки O до прямой a — длина перпендикуляра OB — меньше радиуса. Из этого следует, что прямая a и окружность имеют две общие точки.

Противоречие получили, так как предположили, что радиус OA и касательная a не перпендикулярны. Значит, касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания:

Источник

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Решение

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

Для наглядности изобразим графически.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Решение

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

Вычисляем соответствующие значения функции

Рассмотрим графическое изображение решения.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Решение

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Касательная к эллипсу

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Решение

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

Графически касательные обозначаются так:

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Касательная к гиперболе

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

Ответ: уравнение касательной можно представить как

Наглядно изображается так:

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Касательная к параболе

Графически изобразим как:

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

Ответ: уравнение касательной принимает вид

Источник

Касательная к окружности

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

Докажем, что касательная и радиус АВ перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

Поскольку ∠АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, ⌒АВ = 62°.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Если провести две касательных к окружности из одной точки, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично должны быть равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

sin BDA = AB : AD = 4,5 : 9 = 0,5

Мы знаем, что прямая, проложенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проложенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN между ними равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Задача 1

Из точки М к окружности опускаются две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Задача 2

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

Сократим уравнение на (у + R) и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ ⌒АВ.

⌒АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

⌒КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

Источник

Свойства касательной

Относительное положение прямой и окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B.

Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.

Обратная теорема. Если прямая касательна к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

Требуется доказать, что OA^MN.

Возьмем BС = AB и проведем OС.

Тогда OA и OС будут наклонные, одинаково удаленные от перпендикуляра OB, и следовательно, OС = OA.

Следствие. Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

Теорема. Касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая AB (рис.) касается окружности в точке M и параллельна хорде СD.

Требуется доказать, что ÈCM = ÈMD.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ^ AB, и следовательно, EM ^ СВ.

Задача. Через данную точку провести касательную к данной окружности.

Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

Пусть требуется (рис.) провести к окружности с центром O касательную через точку A.

Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Действительно, из построения видно, что тр-ки AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.

Следствие. Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Так AD=AE и ÐOAD = ÐOAE (рис.), потому что прямоугольные тр-ки AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны.

Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.

Задача. Провести касательную к данной окружности O параллельно данной прямой AB (рис.).

Опускаем на AB из центра O перпендикуляр OС и через точку D, в которой этот перпендикуляр пересекается с окружностью, проводим EF || AB.

Искомая касательная будет EF.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Задача. К двум окружностям O и O1 провести общую касательную (рис.).

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Анализ. Предположим, что задача решена.

Очевидно, что если мы найдем одну из этих точек, например, A, то затем легко найдем и другую.

Проведем радиусы OA и O1B. Эти радиусы, будучи перпендикулярны к общей касательной, параллельны между собой.

Поэтому, если из O1 проведем O1С || BA, то тр-к OСO1 будет прямоугольный при вершине С.

Вследствие этого, если опишем из O, как центра, радиусом OС окружность, то она будет касаться прямой O1С в точке С.

Построение. Из центра O описываем окружность радиусом, равным разности данных радиусов.

Из O1 проводим к этой окружности касательную O1С (способом, указанным в предыдущей задаче).

Через точку касания С проводим радиус OС и продолжаем его до встречи с данной окружностью в точке A. Наконец из A проводим AB параллельно СO1.

Совершенно таким же способом мы можем построить другую общую касательную A1B1 (рис.). Прямые AB и A1B1 называют внешними общими касательными.

Можно еще провести две внутренние касательные следующим образом:

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Проведем радиусы OA и O1B в точки касания A и B. Так как эти радиусы оба перпендикулярны к общей касательной, то они параллельны между собой.

Поэтому, если из O1 проведем O1С || BA и продолжим OA до точки С, то OС будет перпендикуляр к O1С.

Вследствие этого окружность, описанная радиусом OС из точки O, как центра, будет касаться прямой O1С в точке С.

Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA+AС = OA+O1B, т.е. он равен сумме радиусов данных окружностей.

Построение. Из O как центра, описываем окружность радиусом, равным сумме данных радиусов.

Из O1 проводим к этой окружности касательную O1С.

Точку касания С соединяем с O.

Наконец через точку A, в которой OС пересекается с данной окружностью, проводим AB = O1С.

Подобным же способом можем построить другую внутреннюю касательную A1B1.

Общее определение касательной

Пусть к окружности с центром (рис.) проведены через точку A касательная AT и какая-нибудь секущая AM.

Станем вращать эту секущую вокруг точки A так, чтобы другая точка пересечения B все ближе и ближе придвигалась к A.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Тогда перпендикуляр OD, опущенный из центра на секущую, будет все больше и больше приближаться к радиусу OA, и угол AOD может стать меньше всякого малого угла.

Угол MAT, образованный секущей и касательной, равен углу AOD (вследствие перпендикулярности их сторон).

Поэтому при неограниченном приближении точки B к A угол MAT также может стать как угодно мал.

Это выражают иными словами так:

касательная есть предельное положение, к которому стремится секущая, проведенная через точку касания, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается к точке касания.

Это свойство принимают за определение касательной, когда речь идет о какой угодно кривой.

Как доказать что прямая является касательной. Смотреть фото Как доказать что прямая является касательной. Смотреть картинку Как доказать что прямая является касательной. Картинка про Как доказать что прямая является касательной. Фото Как доказать что прямая является касательной

Так, касательной к кривой AB (рис.) называется предельное положение MT, к которому стремится секущая MN, когда точка пересечения P неограниченно приближается к M.

Заметим,что определяемая таким образом касательная может иметь с кривой более одной общей точки (как это видно на рис).

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *