Как доказать что скрещивающиеся прямые перпендикулярны
II. Перпендикулярность в пространстве
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КАРТА №2
Перпендикулярность прямых
Определения
1.Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом [10, c. 25].
2. Скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° [10, c.50].
(Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым [10, c. 50]).
3.Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°[5, c. 34].
Признаки перпендикулярности прямых
1.Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой [5, с. 34].
2.Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны [10, с.25].
Перпендикулярность прямой и плоскости
Определения
1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости [10, c.34].
2. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения [10,с. 26].
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
1. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости [5, с. 36], [10, с. 26].
Перпендикулярность плоскостей
Определения
1.Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым [10, с. 32].
2. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° [5, с.52]. (Определение угла между плоскостями приведено на странице 73).
Признак перпендикулярности плоскостей
Если одна из плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны [5, с.49], [10, с. 33].
Дополнительный признак перпендикулярности прямых
Теорема о трёх перпендикулярах: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к её проекции на эту плоскость, то она перпендикулярна и к самой наклонной [5, c. 42], [10, c. 31].
Справедлива и обратная теорема: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к ней, то она перпендикулярна и к её проекции [5, c. 42], [10, c.31 ].
Обобщённая теорема о трёх перпендикулярах: любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной [10, задача 33, с. 62].
Справедлива и обратная теорема: любая прямая на плоскости, перпендикулярная наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и её проекции.
Дополнительные признаки перпендикулярности прямой и плоскости
1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости [5, с. 35], [10, с. 28].
2. Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных плоскостей, то она п 
ерпендикулярна и к другой плоскости [5, с.40, задача 132], [8, с. 17].
3. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости [10, стр. 41, задача 58].
Дополнительные признаки перпендикулярности плоскостей
1.Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две 
данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей [5, с. 49].
2.Если две плоскости параллельны и одна из них перпендикулярна к третьей плоскости, то и вторая перпендикулярна к ней.
Доказательства утверждений теоретической карты №2
Перпендикулярность прямых
Доказательство признака перпендикулярности прямых (1) приводится в учебнике Атанасяна [5,с. 34].
Доказательство признака перпендикулярности прямых (2) приводится в учебнике Погорелова [10, с.25]
Перпендикулярность прямой и плоскости
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости приводится в учебниках [5, с. 36], [10, с. 26].
Стереометрия. Страница 3
| Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 3 | ||
 | ||
 | ||
| 1.Перпендикулярность прямых в пространстве. 2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 3.Теорема о трех перпендикулярах. 4.Признак перпендикулярности плоскостей. 5.Расстояние между скрещивающимися прямыми. 6.Примеры. | ||
1. Перпендикулярность прямых в пространстве
Теорема. Если две пересекающиеся прямые параллельны двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны и между собой.
Рис. 1 Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым на плоскости, перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть прямые k и b две пересекающиеся прямые на плоскости α. Прямая а перпендикулярна прямым k и b. Доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α. (Рис.2)
Проведем произвольную прямую х от точки А и прямую АВ, которая пересечет прямые k и b в точках К и В на плоскости α. Отложим на прямой а два равных отрезка в разные стороны АА’ и AA». Тогда треугольники АА’K и AA»K будут равны по двум сторонам и углу между ними. Так же как и треугольники АА’В и AA»В. Отсюда следует, что треугольники А’BK и А»BK равны по третьему признаку равенства треугольников. И следовательно, треугольники А’BE и A»BE равны, т.к. одна сторона у них общая ВЕ, стороны А’B и А»B равны из предыдущих рассуждений. Углы между этими сторонами также равны. Следовательно мы приходим к выводу, что треугольники А’AE и A»AE равны по трем сторонам. АЕ является медианой, биссектрисой и высотой, так как стороны А’Е и A»Е у них равные. И следовательно, угол между сторонами АА’ и АЕ равен 90°. Это значит, что прямая а перпендикулярна плоскости α.
Рис.2 Признак перпендикулярности прямой и плоскости
3. Теорема о трех перпендикулярах
Теорема: если прямая, проведенная на плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной.
Доказательство.
Проведем прямую через основание наклонной AD и параллельную прямой СВ. Тогда прямая AD также перпендикулярна плоскости α и соответственно прямой а. Проведем плоскость β через прямые АD и CB. Тогда, если прямая а перпендикулярна проекции наклонной АВ, то она перпендикулярна плоскости β. А следовательно, любой прямой в этой плоскости, т.е. самой наклонной АС.
Следует отметить, что верно и обратное утверждение. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной ей перпендикулярна, то она перпендикулярна и проекции наклонной на эту плоскость.
Рис. 3 Теорема отрех перпендикулярах.
4. Признак перпендикулярности плоскостей
Теорема: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость перпендикулярна их прямой пересечения и пересекает их по перпендикулярным прямым.
Пусть даны две плоскости α и β, которые пересекаются по прямой с (Рис.4). Проведем плоскость γ, которая пересекает плоскости α и β по прямым а и b. Плоскость γ перпендикулярна прямой с. Прямые а и b также перпендикулярны прямой с. Следовательно плоскости α и β перпендикулярны.
Если взять другую плоскость, параллельную плоскости γ, например плоскость γ’, которая пересекает прямую с под прямым углом, она пересечет плоскости α и β по прямым a’ и b’, которые будут параллельны прямым а и b. По теореме о перпендикулярности прямых в пространстве прямые a’ и b’ также будут перпендикулярны, как и прямые а и b. Что и требовалось доказать.
Рис. 4 Признак перпендикулярности плоскостей.
Теорема: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Проведем через точку А на плоскости α прямую b, перпендикулярную прямой а. Через прямые b и с проведем плоскость γ. Она перпендикулярна прямой а, так как прямая а перпендикулярна двум прямым b и с. Тогда плоскость β пересекает две плоскости α и γ по двум перпендикулярным прямым а и с. И пересекает прямую пересечения b под прямым углом. Следовательно плоскости α и β перпендикулярны.
Рис. 4.1 Перпендикулярность плоскостей.
5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Теорема. Две скрещивающиеся прямые имеют только один общий перпендикуляр, который также является перпендикуляром между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.
Доказательство. Пусть а и b две скрещивающиеся прямые (Рис.5). Проведем через них две плоскости α и β, параллельные друг другу. А от прямой а проведем перпендикуляры на плоскость β. Таким образом, получим плоскость γ, которая перпендикулярна обоим плоскостям α и β и пересекает плоскость β по прямой a’. Прямые а и a’ параллельны. Прямая a’ пересекает прямую b в точке А. Следовательно, один из перпендикуляров, проведенных от каждой точки прямой а на плоскость β, т.е. отрезок АВ и есть общий перпендикуляр между прямыми а и b.
Допустим, что существует еще один общий перпендикуляр между прямыми а и b это CD. Тогда два перпендикуляра пересекают прямые а и b в точках А,В,С,D, которые в свою очередь параллельны между собой. Следовательно через них можно провести плоскость. А в этой плоскости лежат и две прямые а и b, которые также будут параллельны между собой. А это противоречит условию, т.к. прямые а и b являются скрещивающимися. Следовательно у двух скрещивающихся прямых может быть только один общий перпендикуляр.
Отсюда следует, что расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Рис. 5 Расстояние между скрещивающимися прямыми.
5. Пример 1
Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Доказательство:
Пусть дана плоскость α и точка А, не лежащая на данной плоскости. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые d и c. А через их точку пересечения О проведем прямую f, перпендикулярную d и с (Рис.6).
Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая f будет перпендикулярна плоскости α. Теперь проведем прямую АВ, параллельную прямой f. Тогда АВ будет перпендикуляром к плоскости α также.
Возьмем на прямой b произвольную точку С и проведем в плоскости β прямую а, перпендикулярную прямой b. Тогда согласно аксиоме, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной), прямая АВ, параллельная прямой а, единственная. Т.е. перпендикуляр АВ к прямой b. Таким образом, перпендикуляр АВ единственный.
Рис.6 Задача. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости.
Пример 2
Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Докажите, что прямая b лежит в плоскости β.
Доказательство:
Пусть дана прямая а, перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Плоскость β и прямая b проходят через точку А прямой а (Рис.7). Необходимо доказать, что прямая b принадлежит плоскости β.
Проведем через две пересекающиеся прямые а и b плоскость α. Тогда две плоскости α и β пересекаются по прямой b’. Так как точка А принадлежит обоим плоскостям, то она лежит на прямой b’.
Таким образом, получается, что через точку А проходят две прямые b и b’, которые принадлежат плоскости α. Плоскость β перпендикулярна прямой а по условию задачи. А следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b’. Отсюда следует, что через точку А проходят две прямые, лежащие в одной плоскости α, и перпендикулярные прямой а. А это невозможно. Так как через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Следовательно, прямые b и b’ совпадают. А отсюда следует, что прямая b полностью принадлежит плоскости β.
Рис.7 Задача. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β.
Пример 3
Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника.
Доказательство:
Пусть дан треугольник АВС и описанная вокруг него окружность с центром в точке О. Прямая а перпендикулярна плоскости треугольника (Рис.8). Необходимо доказать, что каждая точка прямой а равноудалена от вершин треугольника А, В и С.
Рассмотрим треугольник АВС. Вокруг него описана окружность с центром в точке О, поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы. Теперь возьмем произвольную точку Х на прямой а. Так как прямая а перпендикулярна плоскости треугольника, то треугольники АОХ, ВОХ и СОХ равны по первому признаку равенства треугольников, т.е. по двум сторонам и углу между ними. У них сторона ОХ общая, а стороны АО, ВО и СО равны как радиусы. И углы между этими сторонами составляют 90°.
Отсюда можно сделать вывод, что стороны АХ, ВХ и СХ этих треугольников равны. Т.е. расстояние от вершин треугольника АВС до любой точки прямой а одинаковые.
Рис.8 Задача. Через центр описанной около треугольника окружности.
Пример 4
Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 9 см, 13 см и 15 см. Найдите АК.
Решение:
Пусть дан прямоугольник АВСD и прямая АК, перпендикулярная плоскости прямоугольника. ВК = 9 см, СК = 15 см, DK = 13 см (Рис.9). Необходимо найти АК.
Так как прямая АК перпендикулярна плоскости прямоугольника, то она перпендикулярна прямым АВ, AD и АС. Отсюда следует, что по теореме Пифагора можно составить следующие соотношения:
АВ 2 + AD 2 + AK 2 = CK 2
AK 2 = 25 или АК = 5 см.
Рис.9 Задача. Через вершину А прямоугольника ABCD.
Пример 5
Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого основания на расстоянии 2 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как 4:5 (верхнее к нижнему).
Решение:
Пусть дана трапеция АВСD. Плоскость α проведена через основание AD (Рис.10). ВС / AD = 4 / 5. Необходимо найти OO’.
Рассмотрим треугольники ВОС и AOD. Они подобны по трем углам. Коэффициент подобия составляет 4 / 5. Отсюда следует, что высоты ОЕ и ОF также относятся как 4 / 5.
Теперь рассмотрим треугольники FOO’ и FEE’. Они также подобны по трем углам. Коэффициент подобия у них составляет 5 / 9.
Таким образом, OO’ = EE’ 5 / 9 = 2*5 / 9 = 10 / 9 см.
Рис.10 Задача. Через основание трапеции проведена плоскость.
Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве
Заметим, что если две прямые лежат в одной плоскости, то, как и в планиметрии, они могут либо пересекаться, либо быть параллельны, либо совпадать. Значит, и угол между такими прямыми ищется так же, как и в планиметрии (напомним, что угол между параллельными прямыми считается равным \(0^\circ\) ). А если через две прямые нельзя провести одну плоскость?
Поэтому к трем видам взаимного расположения прямых в плоскости (пересекаются, параллелельны или совпадают) в пространстве добавляется еще один вид: скрещивающиеся прямые.
Определение
Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема 1: признак скрещивающихся прямых
Доказательство
Теорема 2
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой (рис. 2).
Доказательство
Определение
Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными двум скрещивающимся прямым.
Таким образом, можно определить следующий алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми (рис. 2):
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых \(a\) провести плоскость \(\pi\) параллельно другой прямой \(b\) (по алгоритму, приведенному в теореме 2);
Определение
Таким образом, перпендикулярными могут быть как и пересекающиеся прямые (лежащие в одной плоскости), так и скрещивающиеся прямые (не лежащие в одной плоскости).
Утверждение 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой прямой:
\[a\parallel b, \ a\perp c \Longrightarrow b\perp c\]
Утверждение 2
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, не пересекаются (то есть либо параллельны, либо скрещиваются):
\[a\perp c, \ b\perp c \Longrightarrow a\cap b=\varnothing\]
Определение
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Следствие 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости (рис. 3).
(Данное утверждение напрямую следует из утверждения 1.)
Верно и обратное утверждение:
Следствие 2
Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны (рис. 3).
Теорема 3: признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство
Следствие 3
Через любую точку пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.
Следствие 4
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.
Определение
Расстояние от точки до плоскости
Длина перпендикуляра \(AH\) к плоскости \(\beta\) равна расстоянию от точки \(A\) до плоскости \(\beta\) (рис. 4).
Расстояние между параллельными плоскостями
Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями.
Заметим, что расстояние между пересекающимися плоскостями равно нулю.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, удобно найти расстояние между одной из них и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.
Доказательство
2. Случай, когда из перпендикулярности проекции следует перпендикулярность наклонной, доказывается аналогично.
Замечание
Данная теорема является очень важным и незаменимым инструментов во многих задачах стереометрии.
Определение
Замечание
Таким образом, чтобы найти угол между наклонной прямой и плоскостью, необходимо отметить некоторую точку \(A\) на этой прямой и провести перпендикуляр \(AH\) к плоскости. Если \(B\) – точка пересечения прямой с плоскостью, то \(\angle ABH\) и есть искомый угол (рис. 4).
Определение
Замечание
Прямая \(a\) в данном случае является аналогом вершины плоского угла, а полуплоскости – аналогом сторон плоского угла.
Таким образом, при пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла.
Определение
Если к ребру \(a\) двугранного угла провести перпендикулярную плоскость (через любую точку), то она пересечет грани двугранного угла по лучам. Угол, образованный данными лучами, называется линейным углом данного двугранного угла.
Замечание
Таким образом, при пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла, которым соответствуют четыре линейных угла.
Определение
Теорема 4: признак перпендикулярности плоскостей
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство
