Как доказать что сумма углов треугольника равна 180 градусов
Сумма углов треугольника
Сумма треугольника равна 180 градусов.
Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.
А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.
1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение
2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?
Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.
Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Теорема о сумме углов треугольника
Урок 19. Геометрия 7 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Теорема о сумме углов треугольника»
Блез Паскаль, великий французский учёный 17-го века, заметил, что у всех треугольников сумма 3-х углов равна 180 градусов. И у него возник вопрос: «Как это доказать?»
И он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. В результате получился развёрнутый угол, градусная мера которого, как вам уже известно, равна 180 градусов.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Проведём прямую а через точку В параллельно стороне АС.
Сумма градусных мер ∠4, ∠2 и ∠5 равна градусной мере развёрнутого угла с вершиной в точке В, то есть ∠4+∠2+∠5=180 градусов.
А так как ∠1=∠4, ∠3=∠5, то получаем, что ∠1+∠2+∠3=180 градусов. То есть ∠А+∠В+∠С=180 градусов. Теорема доказана.
Из теоремы следует:
1. Углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-либо углом треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Сумма градусных углов 3 и 4 равна градусной мере развёрнутого угла, то есть ∠3+∠4=180 градусов. А по теореме о сумме градусных мер углов треугольника ∠1+∠2+∠3=180 градусов. Из полученных двух равенств следует, что ∠1+∠2=∠4. Что и требовалось доказать.
Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны. ∠А=42 градуса. Чему равна градусная мера угла В?
Так как АВ=ВС, то треугольник АВС является равнобедренным. Нам известно, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. А значит, ∠С=42 градуса.
По теореме о сумме углов треугольника ∠А+∠В+∠С=180 градусов. Из этого равенства получаем:
На рисунке ∠ВСD=110 градусов, а ∠ВАС=45 градусов. Найти градусную меру ∠АВЕ.
Искомый ∠АВЕ является внешним углом нашего треугольника, смежным с ∠АВС. А значит:
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС отрезок ВD является высотой. Найдите градусные меры углов треугольника ABD, если ∠АВС=56 градусов.
По теореме о сумме углов треугольника, получаем:
Как доказать что сумма углов треугольника равна 180 градусов
Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 4 Сумма углов треугольника.
Великий французский ученый XVII века Блез Паскаль в детстве любил возиться с геометрическими фигурами. Он был знаком с транспортиром и умел измерять углы. Юный исследователь заметил, что у всех треугольников сумма трех углов получается одна и та же — 180°. «Как же это доказать? — подумал Паскаль. — Ведь нельзя же проверить сумму углов у всех треугольников — их бесконечное множество». Тогда он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие. Дальнейшая судьба мальчика была уже предопределена.
В этой теме вы познакомитесь с пятью признаками равенства прямоугольных треугольников и, пожалуй, с самым популярным свойством прямоугольного треугольника с углом 30°. Оно звучит так: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Разделив равносторонний треугольник высотой, мы сразу получим доказательство этого свойства.
Сумма углов треугольника
ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180°. Для доказательства проведем через вершину прямую, параллельную основанию. Темные углы равны и серые углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Темный угол, серый угол и угол при вершине образуют развернутый угол, их сумма 180°. Из теоремы следует, что углы равностороннего треугольника равны по 60° и что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. Поэтому иногда углы самого треугольника называют внутренними углами.
ТЕОРЕМА о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Действительно, внешний угол и два внутренних, не смежных с ним, дополняют закрашенный угол до 180°. Из теоремы следует, что внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним.
ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.
Расстояние от точки до прямой. Так как перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, то его длина принимается за расстояние от точки до прямой.
Неравенство треугольника. Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, т. е. а
ТЕОРЕМА о свойстве катета, лежащего против угла 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказывается достроением треугольника до равностороннего.
ТЕОРЕМА о свойстве точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. Доказывается проведением двух перпендикуляров к сторонам угла и рассмотрением прямоугольных треугольников.
Вторая замечательная точка. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Расстояние между параллельными прямыми. ТЕОРЕМА. Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой. Из теоремы следует определение расстояния между параллельными прямыми.
Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
Подробные доказательства теорем
Это опорный конспект № 4 по геометрии в 7 классе «Сумма углов треугольника». Выберите дальнейшие действия:
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Сумма углов треугольника
Перечень рассматриваемых вопросов:
Внешний угол треугольника– это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Ранее, на уроках математики, вы познакомились с различными геометрическими фигурами, в том числе и с треугольниками. При изучении геометрии, вы узнали признаки равенства треугольников, выяснили, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника.
Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии– теорему о сумме углов треугольника.
Сформулируем эту теорему.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Проведем через вершину В прямую а ║АС.
∠1 = ∠4 (по свойству параллельных прямых, т. к. это накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей АВ), ∠3 = ∠5 (по свойству параллельных прямых, т. к. это – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей ВС)→ ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180° (по свойству развёрнутого угла) → ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° → ∠А + ∠В + ∠С = 180°.
Что и требовалось доказать.
Теперь введём ещё одно понятие, связанное с треугольниками –внешний угол треугольника. Это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
∠3 + ∠4 = 180° (по свойству развёрнутого угла).
∠3 + (∠2 + ∠1) = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠4 = ∠2 + ∠1.
Что и требовалось доказать.
Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если один из углов треугольника равен 90 градусам или больше 90 градусов, то остальные два угла будут острые, т.к. их сумма не должна превышать 90 градусов. Поэтому, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
Исходя из этого, можно классифицировать треугольники по углам.
По углам треугольник может быть:
‑ остроугольным, если все его углы являются острыми (т.е. меньше 90°);
‑ тупоугольным, если один из его углов тупой (т.е. больше 90°);
‑ прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).
В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия.
Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.
Докажем свойство прямоугольного треугольника, которое устанавливается с помощью теоремы о сумме углов треугольника.
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.
∠А +∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).
∠В = 90° (по определению прямоугольного треугольника) →∠А + ∠С + 90° = 180°
Что и требовалось доказать.
Докажем, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 °.
Доказать: ∠А =∠С = ∠В = 60°.
Так как треугольник АВС равносторонний →АС = АВ = ВС (по определению равностороннего треугольника) → если АС = АВ → ∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Аналогично, если АС = СВ → ∠А = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠А = ∠С = ∠В.
∠А + ∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).
∠А = ∠С = ∠В = 180° : 3 = 60°.
Что и требовалось доказать.
Материал для углублённого изучения темы.
Одно из свойств прямоугольного треугольника ‑сумма двух его острых углов равна 90°‑используется в технике, например, в угловом отражателе. Это устройство, которое отражает падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.
Отражатель, например, устанавливается на заднем крыле велосипеда, для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар, чтобы водитель машины видел велосипедиста ночью.
Ещё угловой отражаетель был установлен на автоматической космической станции, запущенной на Луну( выделен на рисунке кружочком), с целью определения точного расстояния от Земли до Луны.
Разбор заданий тренировочного модуля
1. Чему равна градусная мера углаА, если треугольник АВС прямоугольный?
По условию, ∆АВС – прямоугольный → сумма его острых углов равна 90°.
2. По рисунку найдите угол N треугольника FNA.
По рисунку ∠NAP= 140°, этот угол внешний к углу А треугольника FNA→
∠NAP = ∠N +∠F= 140° (т.к. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним).
Чему равна сумма углов треугольника
Чему равна сумма углов треугольника? На этот вопрос дает ответ теорема о сумме углов треугольника.
Теорема (о сумме углов треугольника)
Сумма углов треугольника равна 180 º.
Дано: ∆АВС
1) Через точку В проведем прямую BF, параллельную прямой AC: BF∥AC.
2) ∠ACB=∠FBC (как внутренние накрест лежащие при BF∥AC и секущей BC).
4) ∠ABF+∠CAB=180 º (как внутренние односторонние при BF∥AC и секущей AB).
5) В последнее равенство заменяем ∠ABF на сумму ∠ABC+∠FBC:
∠FBC заменяем на ∠ACB:
Теорема о сумме углов треугольника доказана.
3 Comments
Очень хороший сайт,очень помогает
Можно еще проще доказать через описаную окружность. В треугольнике все углы вписаны в описаную окружность (каждый равен 1/2 градусной мере дуги, на которую опирается). В треугольнике все 3 угла (в сумме) опираются на все 360 градусов окружности, итого их сумма — 180 — что и требовалось доказать (ЧТД).
Можно. Если уже изучили углы, вписанные в окружность.