Как доказать что треугольники соответственные

Математика

В двух треугольниках, имеющих равные углы, стороны, лежащие против одинаковых углов, называются сходственными (соответственными).

В треугольниках ABC и DEF (черт. 152), в которых

стороны AB и DE, BC и EF, AC и DF, лежащие против равных углов C и F, A и D, B и E будут соответственными сторонами.

Определение подобных треугольников. Подобными называются такие два треугольника, у которых углы равны и сходственные стороны пропорциональны.

Если в двух треугольниках (черт. 152) ABC и DEF углы равны

и соответственные стороны пропорциональны

то треугольники называются подобными.

Подобие обычно выражают знаком ∼.

Подобие двух треугольников изображают письменно:

Случаи подобия треугольников

Теорема 89. (Первый случай подобия.) Два треугольника подобны, если три угла одного равны трем углам другого треугольника.

Дано. В треугольниках ABC и DEF углы равны (черт. 153).

Требуется доказать, что они подобны. Для этого нужно доказать, что их стороны пропорциональны, т. е. удовлетворяют отношениям:

Доказательство. Наложим треугольник DEF на ABC так, чтобы вершина E совпала с вершиной B, сторона ED со стороной AB. По равенству углов B и E сторона EF пойдет по стороне BC. Положим, точка D упадет в D’, а точка F в E’. Треугольник D’BE’ равен треугольнику DEF, следовательно,

Если соответственные углы равны, то D’E || AC.

По теореме 86 имеют место равенства

Так как BD’ = ED, BE’ = EF, D’E’ = DF, то

AC/DF = AB/ED = BC/EF (ЧТД).

Теорема 90 (второй случай подобия). Два треугольника подобны, если они имеют по два равных угла.

Доказательство. Если в двух треугольниках ABC и DEF два угла равны (черт. 153).

то и третьи углы тоже равны, а в таком случае треугольники подобны (теорема 89).

Теорема 91 (третий случай подобия). Два треугольника подобны, если они имеют по равному углу, заключающемуся между пропорциональными сторонами.

Дано. В треугольниках ABC и DEF (черт. 153) углы B и E равны, и стороны, их содержащие, пропорциональны, т. е.

Требуется доказать, что треугольники подобны.

Доказательство. Совместим угол E с углом B, и отложим BD’ = ED, BE’ = EF, тогда ∆ BD’E’ = ∆ DEF, следовательно,

Так как имеет место пропорция

то сторона D’E’ || AC (теорема 87).

т. е. три угла одного равны трем углам другого треугольника.

В этом же случае треугольники ABC и DEF подобны (ЧТД).

Теорема 92 (четвертый случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного пропорциональны сторонам другого.

Дано. В треугольниках ABC и abc (черт. 154) стороны пропорциональны:

AB/ab = BC/bc = AC/ac (1)

Требуется доказать, что у них углы равны, т. е.

Доказательство. Отложим на стороне BA отрезок Ba’, равный ba, и проведем отрезок a’c’, параллельный AC, тогда будут иметь место отношения:

Так как Ba’ = ba, то рядом с этими имеют место отношения:

AB/ab = BC/Bc’ = AC/a’c’ (2)

Сопоставляя отношения (1) и (2), заключаем, что

следовательно, два треугольника a’Bc’ и abc равны, откуда

∠B = ∠b, ∠Ba’c’ = ∠a, ∠Bc’a’ = ∠c

∠A = ∠a’, ∠C = ∠c’, то
B = b, A = a, C = c,

следовательно, углы двух треугольников ABC и abc равны (ЧТД).

Теорема 93 (пятый случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного параллельны сторонам другого.

Доказательство. Здесь могут быть два случая:

1-й случай. Если углы двух треугольников с параллельными сторонами обращены в одну сторону. В таком случае в двух таких треугольниках ABC и abc (черт. 155) все углы одного соответственно равны углам другого, и, следовательно, треугольники подобны.

2-й случай. Когда углы с параллельными сторонами обращены в разные стороны. Так в треугольниках ABC и a’b’c’ стороны параллельны.

AB || a’b’, AC || a’c’, BC || b’c’.

Углы же между параллельными сторонами обращены в разные стороны.

В таком случае, продолжив стороны a’c’ и a’b’, откладываем на продолжении их части a’b» = a’b’ и a’c» = a’c’.

Треугольники a’b»c» и a’b’c’ равны. Треугольник a’b»c» подобен треугольнику ABC, ибо у него стороны параллельны и углы, направленные в одну сторону, равны, следовательно,

a’b»c», следовательно, ∆ ABC

a’b’c’ и
AB/a’b’ = AC/a’c’ = BC/b’c’

Теорема 94 (шестой случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного перпендикулярны к сторонам другого.

Даны два треугольника ABC и abc (черт. 156), стороны которых перпендикулярны:

ab ⊥ AB, ac ⊥ AC, bc ⊥ BC

Требуется доказать, что треугольники подобны.

Доказательство. Продолжим стороны ac и bc до пересечения их со сторонами AC и BC в точках n и p. Тогда в двух треугольниках mcn и mCp все углы равны, ибо

Углы при точке m равны как вертикальные,

а следовательно, и третьи углы равны ∠pCm = ∠mcn.

Подобным же образом можно доказать, что A = a, B = b, следовательно, треугольники ABC и abc подобны и имеет место пропорция

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 95. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

Дано. У прямоугольных треугольников ABC и abc (черт. 157) острые углы C и c равны.

Требуется доказать, что треугольники ABC и abc подобны.

Доказательство. Углы B и b равны как прямые, углы C и c равны по условию, следовательно, они подобны (теорема 90).

Теорема 96. Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного пропорциональна катету и гипотенузе другого.

Дано. В прямоугольных треугольниках ABC и abc (черт. 157)

Требуется доказать, что ∠A = ∠a, ∠C = ∠c.

Доказательство. Отложим на отрезке BA отрезок Bm, равный ba и из точки m проведем отрезок mn, параллельный ac, тогда имеет место пропорция:

Так как Bm = ab по построению, то, сравнивая две пропорции (a) и (b), заключаем, что ac = mn, следовательно, два прямоугольных треугольника Bmn и abc, имея по равному катету и равной гипотенузе, равны.

Действительно, у них Bm = ab, mn = ac. У равных треугольников и углы равны:

следовательно, два треугольника ABC и abc подобны.

Теорема 97. В подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам.

Даны два подобных треугольника ABC и FED (черт. 158), следовательно,

∠A = ∠F, ∠B = ∠E, ∠C = ∠D и
AB/FE = BC/ED = AC/DF

и проведены высоты BH и Eh.

Требуется доказать, что AB/FE = BH/Eh.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ABH и FEh подобны, ибо ∠A = ∠F по условию, ∠AHB = ∠FhE как прямые, следовательно,

Теорема 98. Прямая, разделяющая угол треугольника пополам, делит его противоположную сторону на части пропорциональные двум другим сторонам.

Дано. Отрезок BD делит угол B треугольника ABC пополам (черт. 159).

∠ABD = ∠DBC или ∠ α = ∠ β

Требуется доказать, что AB/BC = AD/DC.

Доказательство. Проведем из точки A отрезок AF параллельный BD до пересечения его с прямой BC в точке F. В треугольнике FBA

∠AFB = ∠ β как соответственные углы,
∠FAB = ∠ α как внутренние накрест-лежащие углы от пересечения параллельных AF и BD третьей прямой AB.

Так как ∠ α = ∠β по условию, то

∠AFB = ∠FAB, т. е. треугольник FAB равнобедренный, поэтому FB = AB.

Из того, что AF || BD вытекает пропорция:

Заменяя FB равным отрезком AB, получим пропорцию:

Теорема 99 (обратная 98). Прямая, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам, делит угол при вершине пополам.

Дано. В треугольнике ABC (черт. 159) прямая BD рассекает противоположную сторону так, что имеет место пропорция:

Доказательство. Проведем отрезок AF параллельно BD, тогда из треугольника AFC вытекает пропорция:

Сравнивая две пропорции (a) и (b), заключаем, что FB = AB, следовательно,

Так как ∠ α = ∠ FAB, ∠β = ∠ AFB, то и

Отношения в прямоугольном треугольнике

Теорема 100. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, среднепропорционален между частями гипотенузы.

Дано. В треугольнике ABC угол ABC прямой (черт. 160) и BD ⊥ AC.

Требуется доказать, что AD/BD = BD/DC.

Доказательство. Треугольники ABD и BDC подобны, ибо углы при точке D равны как прямые; кроме того из равенств ∠A + ∠ α = d, ∠ α + ∠β = d вытекает

A + α = α + β, или A = β, следовательно и C = α.

Из подобия треугольников ABD и BDC вытекает пропорция

Теорема 101. Каждый катет среднепропорционален между целой гипотенузой и отрезком, прилежащим катету.

Доказательство. a) Треугольники ABC и ABD (черт. 160) подобны, ибо ∠ ABC = ∠ADB как прямые, ∠A общий, следовательно,

Из подобия треугольников вытекает пропорция:

b) Треугольники ABC и BCD подобны, ибо ∠ABC = ∠BDC как прямые, ∠C общий, следовательно,

∠A = ∠ β, откуда
DC/BC = BC/AC (b)

Теорема 102. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из предыдущих пропорций (a) и (b) вытекают равенства:

AB 2 = AD · AC
BC 2 = DC · AC

Складывая их, получим:

a) Гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов.

b) Катет равен корню квадратному из квадрата гипотенузы без квадрата другого катета.

Теорема 103. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с катетом.

Дано. В квадрате ABCD проведена диагональ AC (черт. 161).

Требуется доказать, что отношение AC/AD есть величина несоизмеримая.

Доказательство. Станем сравнивать больший отрезок AC с меньшим BC по обыкновенным приемам нахождения общей меры, т. е. наложим меньший отрезок на больший, первый остаток на меньший и т. д.

a) Наложим отрезок BC на отрезок AC. Отложив отрезок AE, равный AB или BC, мы видим, что отрезок BC уложился один раз, ибо

Соотношение между сторонами остроугольного и тупоугольного треугольника

Теорема 104. Квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов прочих двух сторон треугольника без удвоенного произведения основания на отрезок, заключающийся между вершиной острого угла и высотой.

Здесь могут быть два случая: 1) когда перпендикуляр, выражающий высоту, пойдет внутри и 2) когда он пойдет вне треугольника.

Первый случай. Перпендикуляр BD (черт. 162), опущенный из вершины B на основание AC треугольника ABC, пойдет внутри треугольника.

Доказательство. Для прямоугольного треугольника ABD имеем равенство:

Из прямоугольного треугольника BDC имеем:

Вставляя величины BD 2 и AD 2 в равенство (a), получим:

2-й случай. Перпендикуляр BD (черт. 163) лежит вне треугольника ABC.

Доказательство. Из прямоугольного треугольника ABD имеем:

Из прямоугольного треугольника BCD имеем:

Теорема 105. Квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов прочих двух сторон треугольника с удвоенным произведением основания на отрезок его от вершины тупого угла до высоты.

Дано. В тупоугольном треугольнике ABC отрезок CD (черт. 164) есть отрезок, лежащий между вершиной тупого угла и высотой.

Требуется доказать, что

AB 2 = AC 2 + BC 2 + 2AC · CD

Доказательство. Из тупоугольного треугольника ABC имеем:

AB 2 = BD 2 + AD 2 (a)
AD = AC + CD, AD 2 = AC 2 + CD 2 + 2AC · CD

Из прямоугольного треугольника BCD вытекает, что

Заменяя AD 2 и BD 2 в равенстве (a), получим:

AB 2 = BC 2 + AC 2 + 2AC · CD (ЧТД).

Теорема 106. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырех сторон параллелограмма.

Дан параллелограмм ABCD (черт. 165) и проведены его диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Доказательство. Опустив перпендикуляры BE и CF, имеем из косоугольного треугольника ABD равенство:

Из тупоугольного треугольника ACD равенство:

AC 2 = CD 2 + AD 2 + 2AD · DF (2)

Отрезки AE и DF равны, ибо прямоугольные треугольники ABE и DCF равны, так как они имеют по равному катету и равной гипотенузе.

Сложив равенства (1) и (2), имеем:

BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + CD 2 + AD 2

BD 2 + AC 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 (ЧТД).

Теорема 107. Сумма квадратов двух сторон треугольника равна сумме удвоенного квадрата отрезка, соединяющей вершину с серединой основания, с удвоенным квадратом половины основания.

Дано. Соединим вершину B с серединой основания D треугольника ABC так, что AD = DC (черт. 166).

Требуется доказать, что

AB 2 + BC 2 = 2AD 2 + 2BD 2

Доказательство. Проведем высоту BE.

Из прямоугольных треугольников ABE и BCE вытекают равенства:

AB 2 = BE 2 + AE 2
BC 2 = BE 2 + CE 2

AB 2 + BC 2 = 2BE 2 + AE 2 + CE 2 (a)

AE 2 + CE 2 = 2CD 2 + 2DE 2 (b)

Заменяя в равенстве (a) сумму AE 2 + CE 2 из равенства (b), имеем:

Из прямоугольного треугольника BDE видно, что

Источник

Три признака подобия треугольников

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С ∠A = ∠А’ ∠В = ∠B’ (в подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами).

Доказать, что \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С (рис. 367).

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. ∠C = ∠С’.

Отложим от вершины В, например, на стороне AB треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили \(\Delta\)MBN, который подобен \(\Delta\)ABC. Но \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, так как ∠В = ∠В’ по условию теоремы; сторона MB = A’B’ по построению; ∠BMN = ∠A’ (∠BMN и ∠А’ порознь равны одному и тому же ∠А).

Если \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)AВС, то \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac = \frac\) и ∠В = ∠В’

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’ (рис. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. В этих треугольниках ∠В = ∠В’ по условию теоремы, MB = А’В’ по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В’С, составим пропорцию AB /_MB = BC /_BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: \(\frac = \frac\). В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,

т. е. В’С’ = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А’В’С’.

Так как \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’, то, следовательно, и \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac = \frac = \frac\) (рис. 369).

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’

Для доказательства отложим на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок BM = А’В’. Из точки M проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Следовательно, \(\frac = \frac = \frac\).

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. Для доказательства сравним две пропорции

\(\frac = \frac\) и \(\frac = \frac\).
В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т.е. BN = В’С’.

Оказалось, что три стороны \(\Delta\)BMN равны трём сторонам \(\Delta\)А’В’С’, а именно:

MB = А’В’, BN = В’С’ и MN = А’С’.

Следовательно, \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, а \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.

Источник

Подобные треугольники

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁:

Стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

k — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если k = 1, то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком

: ABC

A₁B₁C₁.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами S и S₁, то:

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

то ABC

A₁B₁C₁.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Если	AB	=	AC	, ∠A = ∠A1,
	A1B1		A1C1
то ABC A1B1C1.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Источник

Общие сведения

Специалисты рекомендуют начинать любое обучение с азов. Следует применять принцип, который называется «от простого к сложному». В плоскостной геометрии (Евклида) существует два понятия: аксиомы и теоремы. К первым относятся утверждения, не требующие доказательства. Они являются базовыми элементами науки и позволяют доказывать другие гипотезы или утверждения.

Кроме того, на основании доказанных гипотез можно производить операции по доказательству более сложных теорем. Иными словами, геометрия состоит из базисных элементов — аксиом, при использовании которых можно преобразовывать утверждения в неоспоримые факты, а также при комбинациях появляется возможность доказательства более сложных (составных) элементов. Примером последнего случая является гипотеза Пифагора для прямоугольного треугольника. Чтобы ее доказать, нужно знать аксиомы геометрии, а также теорему об отношении площадей подобных треугольников (S/S’). Далее необходимо разобрать основные объекты геометрии.