Как доказать что у квадрата все стороны равны

Квадрат

Квадрат – ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат – прямоугольник с равными сторонами.

Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны.

Свойства квадрата

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны для квадрата.

Признаки квадрата

Четырехугольник будет являться квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

3. Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90˚.

Описанная окружность

Около квадрата можно описать окружность. Сторона и радиус окружности связаны соотношением:

Вписанная окружность

В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности и сторона квадрата связаны соотношением:

Площадь квадрата

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Источник

Квадрат и его свойства с определением и примерами решения

Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.

На рисунке 57 изображен квадрат

Сформулируем свойства квадрата.

1. Все углы квадрата прямые.

2. Периметр квадрата

3. Диагонали квадрата равны (рис. 58).

4. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (рис. 58).

5. Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть образуют углы по 45° со сторонами квадрата (рис. 58).

6. Точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин:

Пример:

Точки и принадлежат соответственно диагоналям и квадрата причем

Докажите, что (рис. 59). 4

Доказательство:

1) (по свойству квадрата), (как стороны квадрата).

2) Так как (по свойству диагоналей квадрата) и

то

3) Тогда (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим признаки квадрата.

Теорема (признаки квадрата). 1) Если у прямоугольника диагонали взаимно перпендикулярны, то он является квадратом. 2) Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом.

Доказательство:

Пример:

Доказательство:

1) Так как в четырехугольнике все углы равны, то, по признаку прямоугольника, он является прямоугольником.

2) Так как в прямоугольнике все стороны равны, то он является квадратом.

Известный историк математики Д. Д. Мордухай-Болтовский (1876-1952) писал: «Первым четырехугольником, с которым познакомилась геометрия, был квадрат».

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Квадрат, его свойства и признаки.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Квадрат, его свойства и признаки.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:

Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.

У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.

У квадрата диагонали равны.

У квадрата стороны являются высотами.

Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.

Теперь определим признаки квадрата.

ТЕОРЕМА ( I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.

– квадрат (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА ( II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).

ТЕОРЕМА ( III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

ТЕОРЕМА ( IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

ТЕОРЕМА ( V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

ТЕОРЕМА ( VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.

ТЕОРЕМА ( VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).

Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.

В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.

Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.

Найдите периметр квадрата по данным на рисунке.

Источник

Квадрат, его свойства и признаки.

В теоретической части разработки дано определение квадрата, перечислены и доказаны его свойства, перечислены и доказаны признаки квадрата. К каждому понятию приведены рисунки. Практическая часть содержит большое количество заданий на любой вкус, есть простые задачи, а есть те, над которыми нужно подумать.

Просмотр содержимого документа
«Квадрат, его свойства и признаки.»

Квадрат, его свойства и признаки.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:

Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.

У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.

У квадрата диагонали равны.

У квадрата стороны являются высотами.

Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.

Теперь определим признаки квадрата.

ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.

– квадрат (по определению), ч.т.д.

Т ЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Рассмотрим .

по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).

– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Т ЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Дано: – ромб

Доказать: – квадрат.

Т ЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

Дано: – параллелограмм

Доказать: – квадрат.

Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.

Т ЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – квадрат.

2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.

Т ЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – квадрат.

1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).

3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.

Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

В
четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.

В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.

Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.

Н
айдите периметр квадрата по данным на рисунке.

Источник