Как доказать что углы в равнобедренной трапеции равны
Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства равнобедренной трапеции.
Напомним, трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны, т.е. AB = CD.
Свойство 1
Углы при любом из оснований равнобедренной трапеции равны.
Свойство 2
Сумма противоположных углов трапеции равняется 180°.
Для рисунка выше: α + β = 180°.
Свойство 3
Диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.
Свойство 4
Высота равнобедренной трапеции BE, опущенная на основание большей длины AD, делит его на два отрезка: первый равняется половине суммы оснований, второй – половине их разности.
Свойство 5
Отрезок MN, соединяющий середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярен этим основаниям.
Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, называется ее осью симметрии.
Свойство 6
Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Свойство 7
Если сумма оснований равнобокой трапеции равно удвоенной длине ее боковой стороны, в нее можно вписать окружность.
Радиус такой окружности равняется половине высоты трапеции, т.е. R = h/2.
Примечание: остальные свойства, которые применимы ко всем видам трапеций, приведены в нашей публикации – “Что такое трапеция: определение, виды, свойства”.
«Трапеция». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
Ключевое слово кроссворда – является темой нашего урока.
III. Новый материал.
Трапеция – (от греч. trapezion, букв. – столик).
Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельные. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Равнобедренная – трапеция, у которой равны боковые стороны.
Прямоугольная – трапеция, один из углов которой прямой.
Средняя линия трапеции.
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Группы с четными номерами – исследуют диагонали равнобедренной трапеции. Группы с нечетными номерами – исследуют углы равнобедренной трапеции.
Выслушать и обсудить результаты исследования, на доске и в тетрадях записать решения.
Свойства равнобедренной трапеции.
Теорема. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Проведем СЕ 
АВ.
ABCD – параллелограмм (АВ СЕ, ВС AD).
CD = AB = CE, 
СDE – равнобедренный, 
СDЕ = СЕD.
АВ СЕ, тогда СЕD = ВАЕ, СDЕ = СЕD = ВАЕ.
ABC = 180° – СDЕ = 180° – ВАЕ = BCD.
Теорема. В равнобедренной трапеции диагонали равны.
ABC = DСВ (АВ = С, ВС – общая сторона, АВС = ВСD) тогда АС = ВD.
Сформулируйте утверждения, обратные свойствам, и выясните их справедливость.
Признаки равнобедренной трапеции.
Выслушать и обсудить результаты исследования, на доске и в тетрадях записать решения.
1. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
Проведем ЕС АВ.
ABCЕ – параллелограмм, тогда АВ СЕ, А = СЕD, СЕD – равнобедренный (D = СЕD), тогда СЕ = СD.
АВ = СЕ = СD, тогда АВСD – равнобедренная трапеция.
2. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
Проведем СК ВD.
ВСКD – параллелограмм (т.к. СК ВD, ВС АК).
АСК – равнобедренный, т.к. АС = ВD = СК, САD = СDА.
СК ВD, ВDА = СКD, тогда САD = СКD.
АВD = DСА, т.к. АС=ВD, АD – общая сторона, САD = СКD, тогда АВ = СD, т.е. АВСD – равнобедренная трапеция.
Углы при основании равнобедренной трапеции
(Свойство равнобедренной трапеции)
Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
Дано: ABCD — трапеция,
1) Проведем из вершин тупых углов высоты BF и CK:
2) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.
∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).
BF=CK (как высоты трапеции).
Отсюда следует, что треугольники ABF и DCK равны (по катету и гипотенузе).
3) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠D.
4) ∠A+∠ABC=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Аналогично, ∠D+∠DCB — внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD, и ∠DCB=180º-∠D.
Если у трапеции углы при основании равны
(I признак равнобедренной трапеции).
Если у трапеции углы при основании равны, то она — равнобедренная.
Дано : ABCD — трапеция,
Доказать: ABCD — равнобедренная.
1) Проведем высоты трапеции BF и CK:
2) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.
∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).
BF=CK (как высоты трапеции).
Следовательно, треугольники ABF и DCK равны (по катету и острому углу).
3) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.
Следовательно, трапеция ABCD — равнобедренная ( по определению).
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB),
∠D+∠C =180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD).
Таким образом, из равенства углов при меньшем основании следует равенство углов и при большем основании трапеции. Уже доказали, что в этом случае трапеция — равнобедренная.
Трапеция
Определения
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.
Теоремы: свойства трапеции
2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
Доказательство
Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем параллельность.
\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Теорема: свойство произвольной трапеции
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам ( \(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
2) 
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство
