Как доказать что в равностороннем треугольнике все углы равны

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Источник

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

.

Формула радиуса описанной окружности (R):

,

.

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

.

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

.

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

.

Источник

Равносторонний треугольник (ЕГЭ 2022)

И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор…

Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!

Тема простая, но очень важная!

Равносторонний треугольник — коротко о главном

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны. \(AB=BC=AC=a\)

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(<<60>^>\).

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;

Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка \(O\);

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):

Определение равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(<<60>^>\)

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \(<<180>^>\), значит, каждый по \(<<60>^>\)

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не \(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. \(R=2\cdot r\)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка\( O\) – центр треугольника.

Значит, \(OB\) – радиус описанной окружности (обозначили его \(R\)), а \(OK\) – радиус вписанной окружности (обозначим \(r\)).

Но ведь точка \(O\) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Поэтому \(OB=2\cdot OK\), то есть \(R=2\cdot r\).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Высота равностороннего треугольника

Рассмотрим \(\Delta ABK\) – он прямоугольный.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Это уже теперь должно быть совсем ясно:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Бонус 1. Статьи о других треугольниках

Подробная информация о других треугольниках в следующих статьях:

А в нашем учебнике по подготовке к ЕГЭ по математике вы найдете подробную информацию о других разделах математики:

Бонус 2: Вебинары о треугольниках, чтобы набить руку в решении задач

А в этих видео из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике вы можете потренироваться, решая задачи вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком.

Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени.

Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.

Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Итак, задача 16 профильного ЕГЭ. Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ.

Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Источник

Как доказать, что углы треугольников равны

Как доказать, что углы треугольников равны? Рассмотрим возможные варианты.

Углы треугольников могут быть равны в следующих случаях:

1) Угол — общий (один и тот же угол принадлежит одновременно двум различным треугольникам).

3) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

4) Если дана биссектриса треугольника, то исходный угол разделен ею на два равных угла.

5) Если дана высота треугольника, то она образует два прямых (а значит, равных) угла.

6) Угол, смежный с прямым, есть прямой угол (а значит, они равны между собой).

7) Углы, смежные с равными, равны между собой.

8) Соответствующие углы равных треугольников равны между собой.

9) Если к равным углам прибавить равные углы, то получим равные углы.

10) Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы.

11) Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны между собой.

12) Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны между собой.

13) Углы равны по условию.

14) Углы равны по построению.

15) Углы равны по доказанному.

5 Comments

На вопрос вы так и не ответили. «Как доказать, что углы равны?» а не «В каких случаях углы равны?». Как-то так; информация не полная, а так все отлично.

Равенство углов следует из равенства треугольников. Значит, в большинстве задач, чтобы доказать, что углы равны, нужно доказать равенство треугольников.
Еще можно доказать, что два угла являются углами при основании равнобедренного треугольника, соответственными или внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых и т.д. — об этом сказано выше.

А если в «моём» случае не подходит?

Значит, искать «свой», подходящий вариант.

Спасибо, очень много вариантов! Я уж думала никогда не найду ответ, а тут белая куча ответов! Спасибо!

Источник

Как доказать, что в равностороннем треугольнике все углы равны?

Если исходить от обратного, то и против равных сторон тоже находятся равные углы.

Раз в условии сказано, что треугольник является равносторонним (все его стороны равны), то следовательно и все его три угла будут равными между собой.

Можно это доказать и по принципу равнобедренного треугольника:

Доказательство очень просто можно измерить углы и сравнить полученный результат с другими.

В слове «зарядка» я вижу две орфограммы.

В этом сочинении надо обязательно отразить, что ощущение дома связано с мамой, ее присутствием и теплом.

Мама делает уютным дом и быт, она окружает вниманием и лаской с самого детства.

С мамой связаны самые теплые воспоминания: детская сказка и песня, мама вкусно готовит и печет пирожки, где бы не находился на свете, всегда приходится возвращаться домой, бежать под укрытие дома, где мама ухаживает, пожалеет и успокоит, пригреет и «приголубит».

Мама провожает и собирает в путь-дорогу, мама сопровождает всегда в жизни и присутствует в любой ответственный и непростой момент.

Несколько дней назад перед публикой и следующими студентами выступил глава образования Дмитрий Ливанов, который перед всеми выдвинул совсем новую систему сдачи ЕГЭ в 2016 году. Изменения в основном касались новых предметов, а также другой системы переучета балов и оценок. Также помимо письменной сдачи, будет присутствовать устная сдача любого предмета, но это только в планах. Изменений было очень много, поэтому советую почитать изменения по ЕГЭ на 2016 год до конца, чтобы не пропустить самое главное и быть всегда в курсе. Продолжение:

Детей из стационаров допустят к ЕГЭ

Изминений очень много, и все они со знаком «+».

Тибет – район в центральной Азии, который находится на Тибетском нагорье. Уникальность этого места состоит в том, что там до сих пор проживает в основном только коренное население, тибетцы, а вера у них – тибетский буддизм!

Источник