Как доказать что вектор нулевой

22. Простейшие свойства векторного пространства

Рассмотрим те свойства векторного пространства, которые вытекают из его определения.

Свойство 1. В векторном пространстве V существует единственный нулевой вектор 0.

Доказательство. Допустим противное, что в V имеется два нулевых вектора 0 И Тогда по аксиомам 3° и 1° имеем

0 = 0 + = + 0 = .

Свойство 2. В векторном пространстве для любого вектора существует единственный противоположный вектор —.

Доказательство. См. доказательство теоремы 7 из §1.

Свойство 6. Для любых векторов , если A + B = А + С, то B = С.

Свойство 7. Для любых векторов Если A + B = А, то B = 0.

Доказательство. Следует из свойства 6.

Свойство 8. Для любого вектора Имеем 0×A = 0.

Доказательство. По аксиомам 8° и 6° имеем

Отсюда по свойству 7 0×A = 0.

Свойство 9. Для любого числа Имеем a×0 = 0.

Доказательство. По аксиоме 5° имеем

Отсюда по свойству 7 a×0 = 0.

Свойство 10. Пусть , . a×А = 0 Тогда и только тогда, когда a=0 Или А = 0.

Противоречие. Свойство доказано.

Свойство 11. Пусть , . Тогда И

Доказательство. По аксиоме 6° и свойству 8 имеем

Отсюда в силу единственности противоположного вектора получаем требуемые равенства.

Свойство 12. Для любых , , Если

Доказательство. По определению разности, аксиоме 6 и свойству 11 имеем

Аналогичным образом доказываются следующие три свойства, которые рекомендуется доказать читателю самостоятельно.

Свойство 13. Для любых Имеем

Свойство 14. Для любых ,Если , То A = B.

Свойство 15. Для любых , Если , То

Источник

Нулевой вектор

Нулевой вектор (нуль-вектор) — вектор, начало которого совпадает с его концом. Нулевой вектор имеет норму 0 и обозначается или .

Нулевой вектор определяет тождественное движение пространства, при котором каждая точка пространства переходит в себя.

С нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве. Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору. Можно считать, что нулевой вектор одновременно параллелен и перпендикулярен любому вектору пространства (легко выводится из определения).

Все координаты нулевого вектора в любой аффинной системе координат равны нулю.

С точки зрения линейной алгебры, в линейном пространстве должен существовать специальный вектор , обладающий следующими свойствами:

Для любого вещественного числа

Для всякого вектора , найдется такой вектор , что:

.

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Нулевой вектор» в других словарях:

нулевой вектор — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN zero vector … Справочник технического переводчика

нулевой вектор — nulinis vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. null vector; zero vector vok. Nullvektor, m rus. нулевой вектор, m; нуль вектор, m pranc. vecteur nul, m; vecteur zéro, m … Fizikos terminų žodynas

Вектор (математика) — Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор … Википедия

Вектор — Вектор многозначный термин; величина, характеризующаяся размером и направлением. В Викисловаре есть статья «вектор» … Википедия

Вектор (значения) — Вектор: Содержание 1 В биологии 2 В информатике 3 В математике 4 В физике … Википедия

Вектор (геометрия) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых точка A называется его началом, а вторая B его концом. Содержание 1 Определение … Википедия

Вектор (Геометрические представления) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых точка A называется его началом, а вторая B его концом. Содержание 1 Определение … Википедия

ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… … Энциклопедия Кольера

вектор — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=5044] вектор Упорядоченный набор из некоторого количества независимых действительных чисел (таково одно из многих определений — то, которое принято в экономико математических… … Справочник технического переводчика

Вектор — [vector] упорядоченный набор из некоторого количества независимых действительных чисел (таково одно из многих определений то, которое принято в экономико математических методах). Например, суточный план цеха может быть записан 4 мерным вектором… … Экономико-математический словарь

Источник