Как объяснить ребенку что такое масштаб

Математика. 6 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b.

Числа a и b называются членами отношения.

Отношения 2 к 3 и 3 к 2 называются взаимно обратными.

Отношение величин одного наименования (длины, скорости, стоимости и т. д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число.

Отношение величин различных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объёма и т. д.) есть новая величина.

Масштаб – это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Масштаб, выраженный отношением чисел, называется численным.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы с вами разберём, что означает масштаб.

Давайте сначала вспомним, что отношение величин одного наименования – это число.

Все мы хорошо знаем, что участки земной поверхности, детали машин и многое другое изображается на бумаге в уменьшенном виде.

Масштаб – это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Длина отрезка на карте равна 8 см.

Длина отрезка на местности равна 130 километров.

Что же означает данный масштаб:

Говорят: карта сделана в масштабе одна двухтысячная. Объект на карте уменьшен в 2000 раз.

Что будет означать такой масштаб:

Рассмотрим ещё несколько примеров.

Огород имеет вид прямоугольника, длина которого 60 м, а ширина 10 м.

Ответ: Огород на плане будет иметь размеры: ширина 20 см, длина 12 см.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: Установление соответствий между элементами двух множеств.

Расстояние между двумя городами равно 150 км. Определите расстояние между изображениями этих городов на карте при трёх разных масштабах карты.

№ 2. Тип задания: Выбор элемента из выпадающего списка.

Источник

Масштаб в математике

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие масштаба

Чтобы понять, что такое масштаб в математике нужно вспомнить тему отношений чисел и пропорций.

Масштаб — это дробь, где в числителе единица, а в знаменателе то число, которое показывает во сколько раз уменьшено расстояние на плане местности, чем на самой местности.

Другими словами, масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Масштаб бывает трех видов:

Определение масштаба на карте

На математике в 6 классе обязательно будут задания, как найти масштаб карты. Разберемся в этом вопросе.

Нужно потратить очень много сил, чтобы изобразить дом в натуральную величину, поэтому и придумали такой инструмент, как масштаб. Ведь намного проще описать большой объект в рисунке, чертеже или макете.

Масштаб — это отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к его действительной длине на местности.

На карте Российской Федерации указан масштаб (1 : 500 000). Читается это так: карта сделана в масштабе одна пятисот тысячная. Такой масштаб значит, что в 1 см на карте помещается 500 000 см реального расстояния. То есть отрезок на изображении в 1 см соответствует отрезку на местности в 5 км. А если взять отрезок в 3 см, то на местности этот отрезок составит 15 км.

Численные масштабы карт и соответствующие им масштабы на местности:

Масштаб 1 : 100 000

Масштаб 1 : 10000

Масштаб 1 : 5000

Масштаб 1 : 2000

Масштаб 1 : 1000

Масштаб 1 : 500

Масштаб 1 : 200

Масштаб 1 : 100

Решение задач на масштаб

Для закрепления темы решим несколько математических задач на масштаб за 6 класс.

Пример 1. Длина отрезка на карте равна 8 см. Найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты равен 1 : 10 000.

8 * 10 000 = 80 000 (см) — это 10 000 частей

Пример 2. Расстояние между двумя городами 400 км. Найти длину отрезка, который соединяет эти города на карте, выполненный в масштабе 1:5000000.

400 км = 400 000 м = 40 000 000 см

40000000 : 5000000 = 40 : 5 = 8

Пример 3. Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по прямой составляет примерно 635 км. По автотрассе протяженность маршрута 700 км. Во сколько раз надо уменьшить это расстояние, чтобы его можно было изобразить в виде отрезка длиной в 14 см?

Источник

Урок по теме «Масштаб». 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Тип урока: урок объяснения нового материала и первичного закрепления знаний.

Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор, учебники.

I. Организационный момент

Учитель. Сегодня мы с вами попробуем стать инженерами и создадим проект своего дома.

II. Мотивационное начало урока. Подготовка к учебно-познавательной деятельности. Устная работа

Учитель. Начнём с разминки, вы должны найти значения выражения и по заданному значению определить расположение буквы.

А	Х= 1,25+2,25
Т	Х=
Ш	Х=3:2
М
Ы	Х=2,7+2,3
А	Х=48*2
Т	Х= 5,6-3,1
Р	Х=
С	Х= 7,1+1,7
Б	Х=56-14
А	Х=

Учащиеся записывают соответствующие буквы под ответом во вторую таблицу.

14	3,5	8,8	1,5		96	42	2	1		2,5	5
М	А	С	Ш	Т	А	Б	К	А	Р	Т	Ы

III. Изучение нового материала

Учитель. Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему сегодняшнего урока “Масштаб ”. Что же это такое масштаб? (дети высказывают свои предположения) А, для чего нужен масштаб? “Мас” – от немецкого – мера, “штаб”– палка. Получаются “Палку мерею”. Именно понятие масштаба показывает нам практическое применение отношений.

Сегодня на уроке мы научимся определять масштаб. Находить расстояние по карте, выбирать оптимальный маршрут на местности.

Рассмотрим пример. 1см на плане соответствует 100 метрам на местности. Найдем отношение этих величин. 1 см на плане к соответствующему расстоянию на местности. Обратите внимание на единицы измерения величин.

Итак, мы нашли отношение длины отрезка на карте к длине расстояния на местности. Эта величина называется масштабом. Записываем в тетрадь определение масштаба.

Определение: Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

Учитель. Прочтите, пожалуйста, запишите и объясните, что обозначают данные масштабы.

Задание: а) проговаривает учитель, дальше учащиеся объясняют по нескольку раз один и тот же масштаб.

Ответ: если масштаб карты 1:400000, то на этой карте длина каждого отрезка уменьшена в 400000 раз. На такой карте расстояние, равное 4 километра, будет изображаться отрезком в 1 сантиметр.

Учитель. Какие из записанных масштабов можно применять для увеличения, а какие для уменьшения? Почему вы так думаете?

Дети высказывают мнения, далее делается общий вывод. Вывод записывается в тетради.

Если в записи масштаба вторая величина больше первой, то данный масштаб дает уменьшение реальных размеров и если вторая величина меньше первой, то данный масштаб дает увеличение реальных размеров.

Учитель. И так, что же такое масштаб?

У одного или двух учеников спросить определение масштаба.

IV. Закрепление изученного материала

Задача: на весенних каникулах ребята шестого класса решили еще раз посетить санаторий “Сосновая роща”. Путешественники имеют план местности, известен масштаб этого плана. Могут ли они узнать расстояние от г. Астрахань до г. Кисловодск? Как это сделать?

Если расстояние на местности равно 498 километров, а масштаб 1: 8300000. Составим таблицу:

Учитель. Вам на слайде представлена таблица, перечертите ее себе в тетрадь. Сейчас использую данные представленные нам в задаче, мы ее заполним. Что обозначает данный масштаб? Что нам известно? Что надо узнать? Что мы обозначим за неизвестную Х?

Обозначим через х расстояние на карте. Расстояние на местности нам известно, оно равно 498 километров, но обратите внимание, что отношение масштаба нам дано в сантиметрах, а расстояние на местности в километрах. Что мы должны сделать? (перевести расстояние на местности в метры, оно будет равно 498000 м = 49800000).

Чему равно отношение масштаба на карте? (Оно равно 1 см)

Чему равно отношение масштаба на местности? (Оно равно 8300000 см)

Учитель. И в ходе наших рассуждений мы получаем таблицу. Вспомним основное свойство пропорции. (Произведение крайних членов пропорции рано произведения средних членов пропорции)

Запись пропорции и ее решения на доске одним из учащихся.

х/49800000=1/8300000
х=49800000/8300000
х=6 – расстояние на карте

Вывод: зная расстояние на местности и масштаб, мы нашли расстояние на карте. А сейчас рассмотрим применение этой задачи на практике.

V. Творческое задание

Учитель. Вам на дом было задано, измерить длину и ширину вашей квартиры или дома.

Сейчас используя свои данные, вы заполните таблицы. Когда вы найдете расстояние на карте, вы сможете начертить схему своего дома, используя свойство масштаба. Ведь вы же не можете поместить в тетрадь истинный размер своей квартиры или дома? На слайде вам представлены таблицы, перечертите их себе в тетрадь. Масштаб нам будет известен заранее, а вот в данных на местности вы должны записать свои измерения, благодаря этим данным вы найдете расстояние на карте. Заполните таблицы своими данными. Так же не забывайте о единицах измерения, они должны быть одинаковыми.

Х=1100/100
Х=11 (см)– расстояние на карте
Ширина:
Х=900/100
Х=9 (см)– расстояние на карте

После того как вам известен масштаб на карте, вы сможете начертить схему своего дома. А для тех, кто не измерил размеры квартиры, обратимся к слайду. Для вас здесь уже вписан масштаб на местности и используя, данные вы посчитаете масштаб на карте и построите схему дома.

Один из учащихся чертит таблицу 1 на доске, второй учащийся таблицу 2, третий учащийся строит схему дома. Язык карты должен быть точным. Карты необходимо чертить так, чтобы длине каждой линии на карте соответствовало вполне определенное расстояние на земле. Ведь увеличивая или уменьшая объекты, мы должны сохранять представление о настоящих размерах.

После выполнения творческой работы учащиеся высказывают свое мнение.

А сейчас я бы хотела узнать ваше мнение, что им показалось трудно выполнимым, что наоборот было легким.

– А теперь давайте немного отдохнем и подгадываем загадки на школьную тему:

Белый камешек растаял,
На доске следы оставил. (Мел)

Моря есть – плавать нельзя,
дороги есть – ехать нельзя,
земля есть – пахать нельзя. (Географическая карта)

Проживают в трудной книжке
Хитроумные братишки.
Десять их, но братья эти
Сосчитают всё на свете. (Цифры)

VII. Подведение итогов

Учитель. Итак, мы познакомились с масштабом и научились им пользоваться. А теперь, после изучение темы, я попрошу вас продолжить фразу: Сегодня на уроке я узнал….

VIII. Домашнее задание

Дома – п. 23 № 820 № 831 (а, б), закончить творческое задание.

Источник

Урок математики по теме «Масштаб»

Разделы: Математика

Цели:

Задачи:

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, словесный, проблемный, практический.

Форма организации деятельности учащихся на уроке: фронтальная, коллективная, индивидуальная.

Элементы технологий, используемые на уроке: интерактивная, ИКТ, обучение с использованием опорных схем.

Оборудование: презентация, раздаточный материал для проведения практической работы (карта Курской области, Обоянского района, план квартиры), модель здания и автомобилей, глобус, модель кристаллической решетки, изображения простейших микроорганизмов в увеличенном виде, линейка, нитка, лист самооценки.

Оформление доски:– «Мало знать, надо и применять, мало хотеть, надо и делать» (И.Гете)

План урока

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность обучающихся к уроку, наличие принадлежностей для работы на уроке, заранее на столы раскладывает раздаточный материал.Учитель:Приветствуем друг друга.

Ребята, вы любите сказки? Вспомните сказку про Марью- Искусницу. Король задал задачу «Пойди туда, не знаю куда. Принеси то, не знаю что». Задача была решена? Да конечно, как и в любой сказке все можно решить и эта задача не осталась без решения.

Ребята, я хотела бы задать вам вопрос, но ответ на него вы мне дадите по окончании урока.Как вы думаете, можно ли объять необъятное и увидеть невидимое?

2. Актуализация знаний обучающихся

Учитель: У вас на столах лежит лист самооценки. Свою работу вам нужно оценить. Ребята, на предыдущих занятиях мы с вами познакомились с понятиями «Отношения» и «Пропорции». Вспомним основные понятия. (фронтальный опрос)(Приложение 3)

Что такое отношение двух чисел? (это частное двух чисел)

Как можно записать отношение чисел? (с помощью знака : или в виде дроби)

Что показывает отношение чисел? (какую часть составляет одно число от другого или во сколько раз одно число больше другого).

Устный счет: Найдите ошибки в записи

; ;

Что называют пропорцией? (Равенство двух отношений)

В чем заключается основное свойство пропорции? (В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов)

Устная работа: Проверьте, верна ли пропорция? 4:9=9:4; .

Учитель: Вспомните, а где мы применяли пропорции? (Для решения уравнений, задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости, простейших задач на проценты).

Как вы думаете, где в жизни вам решение таких задач, с помощью составления отношений, пропорций, может пригодиться? (при приготовлении блюд, для расчёта продуктов; в строительстве для определения необходимого количества техники или людей, в архитектуре и др.; на уроках химии при решении задач, физики для работы с формулами и т.д.).

Сегодня на уроке мы познакомимся ещё с одной областью применения отношений и пропорций.

3. Сообщение темы урока, цели урока

Учитель: Ребята, обратите внимание на те предметы, которые находятся перед вами. (дом, фотография, машинки, глобус, карта модель атома и кристаллической решетки, схема микроорганизмов.) Какое отношение эти предметы имеют к математике.

Что общего между всеми этими предметами? (их размеры не соответствуют действительности, одни увеличены, а другие уменьшены в одно и то же число раз)

При изучении каких предметов вы могли узнать об уменьшении или увеличении объектов? (на географии, природоведении)

А как определить, во сколько размеры изображения отличаются от реальных размеров?

С каким понятием мы сегодня будем работать на уроке? (Масштаб)

Сегодня на уроке мы будем работать над темой «Масштаб»

Открываем тетради, записываем тему урока: Масштаб. (Приложение 1, слайд 1)

Давайте вместе с вами сформулируем цели нашего сегодняшнего урока.

Что мы должны сегодня на уроке узнать? (познакомиться с понятием масштаб), (научиться решать задачи с использованием этого понятия, найти практическое применение новому понятию)

Вывод: Сегодня на уроке мы должны узнать, что такое масштаб и найти его практическое применение в жизни. Мы попытаемся ответить на вопрос для чего необходимо изучить эту тему? Убедимся, какое важное практическое применение имеет материал сегодняшнего урока.

4. Открытие нового знания

Учитель: Античная мудрость гласит: «Незнающие пусть научатся, а знающие вспомнят еще раз». Ребята подготовили небольшое сообщение, послушайте.

Учитель: Само слово “масштаб” пришло к нам из немецкого языка. Maс означает: “мера”, штаб означает “размер”, что уже говорит о связи с математикой. Слово “масштаб”, придя из немецкого языка, хорошо прижилось в нашей речи.

Ученик: 2. Люди всегда рисовали уменьшенные изображения местности, причем разные участки изображения уменьшали произвольно, в разной степени. Поэтому старинные чертежи местности не дают возможности понять, например, каково расстояние между берегами реки, чему равна длина реки и т.д. Одной из древнейших карт (за 2500 лет до н.э.) считается так называемый вавилонский чертеж, выполненный на глиняной табличке.(Слайд 4)

Чтобы план местности был более точным, необходимо все его детали уменьшать в одно и тоже число раз с сохранением всех пропорций. Примером служат карты. (Слайд 5)

На карте участки земной поверхности изображаются в уменьшенном виде. Например, отрезок в 1 см на карте – это 1 м на местности. Найдем отношение длин отрезков. 1м = 100 см, значит 1:100, будет говорить о том, что 1 см изображения соответствует 100 см реального объекта (обращается внимание учащихся на обязательное совпадение единиц измерения)

Мы нашли отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности и эту величину называем масштабом, обозначение масштаба М 1:100

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом. (прочитаем определение в учебнике)(работа с учебником)

масштаб =

Давайте научимся определять масштаб

Задача: Найти масштаб плана, если длина отрезка на плане равна 4 см, а его длина на местности равна 200 м.

Выясняем, что нужно для нахождения масштаба найти отношение величин, для этого требуется выразить в одинаковых единицах измерения: 200м = 20 000 см.

Составляем отношение 4 : 20 000 = = =1 : 5000. Выясняем, что означает эта запись: Длина отрезка на плане уменьшена против натуральной величины в 5000 раз или что 1см на плане соответствует 5000см=50м на местности.

В чем обычно измеряется расстояние на местности? (в метрах и в километрах)

Выясняем в ходе беседы, что на карте расстояния измеряются в сантиметрах, а на местности в километрах. Возникает необходимость быстрого перевода сантиметров в километры и наоборот. Выявляем быстрый способ перевода, используя опорные схемы: (Приложение 2, рис 1)

Если длина отрезка на карте 5 см, какова длина отрезка на местности для такого масштаба? (5∙100000 = 500000 см = 5 км)

Какие из записанных масштабов можно применять для увеличения, а какие для уменьшения? Почему вы так думаете?

Дети высказывают мнения, далее делается общий вывод:

Если в записи масштаба вторая величина больше первой, то данный масштаб дает уменьшение реальных размеров и наоборот.

Обобщим понятие масштаба. (Слайд 12)

Отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на реальном объекте называют масштабом.

Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на изображении меньше или больше, чем расстояние на реальном объекте.

5. Физкульминутка

6. Первичное осмысление и применение изученного

Учитель: емецкий поэт, государственный деятель, мыслитель И. Гете сказал:–«Мало знать, надо и применять, мало хотеть, надо и делать». (Слайд 13)

Мы вспомнили понятие масштаба из курса географии, сформулировали понятие масштаба в математике, а теперь, попробуем вместе с вами показать важность темы «Масштаб», показать его применение в жизни. Убедимся в использовании масштаба не только в географии и математике, но и в физике, химии, истории и др.

Задача 1 (Решаем вместе с классом, обсуждаем этапы решения задачи. Записываем решение на доске и в тетрадях.)Найти длину соответствующего отрезка на местности (Слайд 14)

Обсудим решение задачи и запишем в тетради.

Масштаб плана местности 1:1000000.

Что означает данная запись? (1 см на плане – 1000000 см на местности).

Составим схему решения.

Запишем пропорцию и решим ее.

х = 1000000·3:1 = 3000000 см = 30 км

7. Применение знаний и способов действий

Попробуйте отгадать загадку: «Земля есть – копать нельзя! Дороги есть – ехать нельзя! Реки есть – плыть нельзя!».

Как Вы думаете, о чём пойдёт речь? (о географической карте).

Географическая карта – один из важнейших документов человеческой культуры. Большие территории, изображаются на географических картах. Перед вами карта Курской области.

(Индивидуальная работа)(Приложение 3)

Задача 2: Рейсовый автобус движется по маршруту Обоянь – Курск. Сколько времени будет находиться автобус в пути,если его средняя скорость 50 км/ч?(Слайд 15)

Вопросы: Как найти время? (Надо путь разделить на скорость)

Все ли данные есть в условии задачи? (Нет, мы не знаем расстояние от Обояни до Курска)

Где взять недостающие данные? (Определить по карте)

Решение задачи выполняют самостоятельно, комментируя решение.

Х = 6,5∙1000000 = 6500000 м = 65 км

Прослушать несколько ответов. Вопрос: Как вы думаете, при решении задачи получаются точные ответы? (могут быть различия при измерении расстояния) Вопрос: Точным ли будет время, найденное вами? Почему? (неточное, потому, что путь по карте находится по прямой, а дорога не является прямой линией)

Задача 3: По местам боевых действий (Работа в парах.)(Приложение 3) В прошлом году вся страна и в том числе Курская и Белгородская области праздновали 70-летие победы в Курской битве.12 июля 1943 г. под небольшим селом Прохоровка произошло крупнейшее танковое сражение второй мировой войны. Перед вами карта боевых действий, обстановка перед Курской битвой к исходу 4 июля 1943 года. Задание: Определите протяженность линии фронта от Белгорода до Орла.

План решения обсуждаем с детьми.

х= 15,5∙3000000 = 46500000 м = 465 км

Рассмотрим примеры применения масштаба в жизни. (Работаем в группах.)(Приложение 3)

Каждой группе надо выполнить практическое задание. Вы решили в квартире сделать ремонт полов. Покрыть полы можно линолеумом, паркетом, кафелем. Сколько средств вы должны вложить в ремонт в каждом случае. (Каждая группа производит расчеты для одного вида покрытия).

Задача 4: Ремонт квартиры Решаем задачу в группах. Одна группа рассчитывает стоимость полов в 1 комнате, если их застелить линолеумом, другая группа – паркетом, третья рассчитывает стоимость полов 2 комнаты, если их застелить ковролином, и 4 группа –линолеумом. После того когда задача будет решена, один человек из группы должен рассказать классу решение. (Слайд 17)

Вычислите площадь квартиры, если сторона одной клетки плана равна 1см.

Ответ: 13600 рублей

Задача 5: Пешеход, двигаясь равномерно и прямолинейно, отметил моменты прохождения им пункта А и В. Определите скорость движения пешехода в м/мин (Слайд 18)

Решение: t = 20 мин, s= 15 см – на плане, 1500 м – на местности. Найдем скорость v = 1500:20 = 75 м/мин

8. Подведение итогов урока

Учитель: Вернемся к теме нашего урока. Чему нас научил этот урок и что мы на нем узнали? (Ответы детей). Да, самое главное, что показал этот урок, что математика необходима нам в жизни. Задачи ставятся разные, но при решении многих задач математика просто необходима. В частности масштаб.

Ребята, подведем итоги урока. (Слайд 19)

Я предлагаю вам закончить предложения:

Как вы считаете, мы достигли целей урока? Тема масштаб применима в жизни?

А теперь я хотела бы вернуться к началу урока и услышать ответ на вопрос. Можно ли объять необъятное и увидеть невидимое?

(учитель выставляет мотивированную оценку)

9. Домашнее задание

10. Рефлексия

Ребята, благодарю вас за активную работу на протяжении всего урока.

Мне бы хотелось узнать, с каким настроением каждый из вас закончил этот урок.

Каждое урок – это новые знания, достижение цели, а значит маленькие победы. Определите себе место на нашем пьедестале. У вас на столах лежат смайлики. Возьмите смайлик, который соответствует вашему настроению, и прикрепите на наш символический олимпийский пьедестал. (Приложение 2, рис 2)

1 место – я все понимаю, могу решать задачи.

2 место – я все понимаю, но имею некоторые затруднения в решении задач.

3 место – я почти все понимаю, но задачи решаю только не очень сложные.

Спасибо за урок. До свидания! (Слайд 21)

Источник