Как определить что функция симметрична относительно нуля

Понятие четной и нечетной функции

Понятие четности и нечетности функции

Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.

Четная функция

Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

График четной функции симметричен относительно оси Ох.

Нечетная функция

Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

Произведение четной и нечетной функции

Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.

Пусть \(f(x)\) — четная функция, а \(g(x)\) — нечетная. Тогда \(f(x)=f(-x), а g(-x)=-g(x).\)

Исследование функций в примерах

Доказать, что функция \(y=x^2\) четная.

1. Найдем область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

Исследовать на четность и нечетность функцию \(f(x)=8x^3-7x.\)

1. Найдем область определения: \(D(f):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

Исследовать на четность и нечетность функции \(f_1(x)=\frac\) и \(f_2(x)=\frac4\)

Рассмотрим первую функцию:

1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит \( f_1(x)\) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.

Рассмотрим вторую функцию:

Источник

Четные и нечетные функции

График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

\(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

имеет единственное решение?

\[2\cdot 0+a\mathrm\,(\cos 0)+a^2=0 \quad \Rightarrow \quad a^2+a\mathrm\,1=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin\begin &a=0\\ &a=-\mathrm\,1 \end \end\right.\]

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)

\(\dfrac n2, n\in\mathbb\)

(Задача от подписчиков)

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

имеет шесть различных решений.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \[D=a^2-16a+52>0\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin 12-a>0\\-(a-10)>0\end\quad\Leftrightarrow\quad a

Источник

Презентация к уроку

Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

Информационные источники:

1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2. Проверка домашнего задания

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х)

Область определения

Промежутки знакопостоянства

3. Актуализация знаний

– Даны функции.
– Указать область определения для каждой функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

D (f)

и 0

и не опред.

4. Новый материал

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд

Опр. 1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.

Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях 1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при – х.

Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;–2], [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f) – несимметричное множество, то функция какая?
– Таким образом, если функция у = f(х) – чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f(– х).

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у = х 5 +; б) у = ; в) у= .

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х) 5 + – х5 –= – (х 5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция h(х) = х 5 + нечётная.

б) у = ,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.

2)f (– х) == ;

3) f (– х) = f (х) => функция f(х) = чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

5. Первичное закрепление

Самостоятельная работа

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–7;7]; б) (∞; –2), (–4; 4]?

а) у = х 2 · (2х – х 3 ), б) у =

Заполните таблицу
Координаты точек пересечения графика с Оу
	f(1) и f(– 1)	f(2) и f(– 2)	графики	f(– х) = –f(х)	f(– х) = f(х)
1. f(х) =
3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0. Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – чётная функция. Взаимопроверка по слайду. 6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22; Доказательство геометрического смысла свойства чётности. ***(Задание варианта ЕГЭ ). 1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(х) = х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х) = при х = 3. Источник Четные и нечетные функции Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство График четной функции симметричен относительно оси ординат. Например, — четные функции. Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, — нечетные функции. Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания: 1. Проверьте, является ли функция четной (нечетной). Область определения функции Проверим, является ли чётной или нечётной. Если функция четна. Если функция нечетна. — значит, функция нечётная, её график симметричен относительно нуля. 2. Проверьте, является ли функция четной (нечетной) Область определения: все действительные числа. — чётная, как сумма двух чётных функций. Её график симметричен относительно оси y. 3. Проверьте, является ли функция четной (нечетной). Область определения функции симметрична относительно нуля. — чётная, её график симметричен относительно оси y. Источник Алгебра и начала математического анализа. 11 класс Конспект урока Алгебра и начала математического анализа, 11 класс Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций. Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: Глоссарий по теме урока Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. х – независимая переменная, аргумент, Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y). Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у). Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами: Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами: для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х). Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции. Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1 у2. Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307. Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307. Открытые электронные ресурсы: Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/. Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/. Теоретический материал для самостоятельного изучения 1. Исследование функции и построение графика Схема исследования функции на примере функции 1) Область определения функции Знаменатель дроби не равен нулю: Получили область определения D(y)= Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у). Получили D(y)= — симметрична относительно нуля , следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ у>0 при у 2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим? 1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию. Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x 2 у.е. Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N. 3 этап. Перевод на язык задачи Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте. 24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте. Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата. Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной. Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата. Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля 1. Исследуйте функции на четность. область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля Данная функция одновременно четна и нечетна. область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная логарифмируемое выражение должно быть положительным Найдем область определения D(f) Проверим второе условие Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности. домножим на сопряженное Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная. и четная, и нечетная 2. Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений. Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а. В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х. Источник ← Мрут рыбы в аквариуме что делать Как выделить что то на скриншоте → Вам также понравится На каком сроке можно узнать что беременность внематочная 21.10.202316.06.2023 admin 0 Как понять что выражение не имеет смысла 21.10.202312.06.2023 admin 0 На что крепить газобетонные блоки к стене 19.10.202317.06.2023 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Δ