Как определить что функция возрастает

Возрастание и убывание функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

При исследовании заданной функции особое внимание уделяется характеру ее поведения: возрастает, не возрастает, убывает, не убывает.

Примеры монотонных функций приведены на рисунках:

Рисунок 1. Возрастающая функция

Рисунок 2. Убывающая функция

Монотонные функции делят на:

Функция является возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции тоже возрастают, то заданная функция возрастает.

Функция является убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции убывают, то заданная функция убывает.

Готовые работы на аналогичную тему

Функция является не возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее или равное значение заданной функции.

Функция является не убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее или равное значение заданной функции.

Не возрастающая, не убывающая и постоянная функции не являются монотонными.

Монотонные функции обладают следующими свойствами:

Между монотонностью заданной функции и ее производной существует определенная связь, которая описывается следующими теоремами:

Сформулируем обратные теоремы.

Теорема, обратная к теореме 1.

Если заданная функция является возрастающей на некотором промежутке, то производная данной функции неотрицательна или не существует.

Теорема, обратная к теореме 2.

Если заданная функция является убывающей на некотором промежутке, то производная данной функции неположительная или не существует.

Для постоянной функции имеет место следующая теорема:

Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание включает следующие этапы:

Следовательно, заданная функция убывает на всей области определения

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 16 02 2021

Источник

Возрастание и убывание функции — свойства, характеристики и примеры

Общие сведения

Функция — величина, которая может принимать различные значения, определённые аргументом, то есть условием. Другими словами, значение параметра изменяется в зависимости от того, какой вид принимает связанный с ней определитель. Аргумент и функция — это переменные действительные числа.

Понятие можно описать как ответ на какой-либо вопрос. Например, если спросить, какого цвета маркер, можно ответить чёрный. Так вот цвет фломастера — это аргумент, а ответ — функция. При этом двух разных ответов на вопрос быть не может, а вот ситуация, наоборот, вполне возможна. Чёрным может быть не только маркер, но и рубашка. Значит, параметр может принимать одно и то же значение при разных величинах аргумента.

Традиционный способ описания параметра заключается в составлении уравнения. С правой стороны в нём стоит выражение, которое показывает зависимость чисел, а слева — обозначение функции. Принято зависимое значение обозначать буквой игрек, а определяющее изменение символом икс. Например, y = x + 1. В этом равенстве справа находится сумма, которая показывает, что функция всегда будет больше на единицу, чем аргумент.

Уравнение в математике можно изобразить и графиком. Для этого используют координатную плоскость, на которой откладывают значения переменных. Выполняют рисунок, руководствуясь свойствами функций:

Ось икс называют абсциссой, а игрек — ординатой. Каждая точка на рисунке, соответствующая уравнению, определяется своей координатой. Визуально по графику исследовать поведение зависимости довольно удобно.

Характер зависимости

Для изучения поведения функции необходимо определить промежутки, на которых график уравнения возрастает или убывает. При этом равенство их может и вовсе не содержать или, наоборот, иметь довольно много. Переход из одного состояния в другое характеризуется точкой экстремума.

В математике она обозначает значение, соответствующее минимальным и максимальным координатам. При достижении наибольшего значения функции экстремум называют точкой максимума, а при соответствии наименьшей величине — точкой минимума. Понятие может быть применено как ко всему графику, так и выделенному на нём интервалу.

Существуют 2 правила, определяющих поведение уравнения:

Если уравнение описывается графиком непрерывным и определённым в конечных точках интервала возрастания и спадания, то есть координатами (a, b), они будут включены в промежуток роста и снижения. Это утверждение не противоречит определениям.

Когда наибольшее или минимальное значение, определённое на множестве M и принимающее вещественные значения, достигает того, что числа других функций с той же областью определения подчинены конкретным ограничительным правилам, говорят об условном экстремуме. Если же таких дополнительных условий нет, величина безусловная.

Точка называется локальным максимумом, если выполняется условие x ≠ x0, где икс принадлежит окрестности (x0−δ, x0+δ), и справедливо неравенство f (x) ≤ f (x0). Если же верно неравенство f (x) > f (x0) — локальным минимумом.

Условия появления экстремума

На самом деле каждая стационарная точка может быть возможным экстремумом, чтобы установить, так ли это, нужно проводить ряд исследований. Всего существует 3 достаточных условия. Если они выполняются, можно утверждать об изменении поведения функции в этой точке:

Для неравенства, у которого n ≥ 1 функция имеет производную некого порядка n в произвольной точке окрестности m, а в самой координате результатом дифференцирования является n + 1, причём справедливо равенство f/(m) = fn(m) ≠ 0, в m будет находиться локальный экстремум.

Из этих признаков следует важное правило, что если имеется непрерывная функция со стационарной точкой, в которой при взятии производной значение изменит знак, это и будет означать экстремум. Чтобы верно определить, до какой координаты функция убывает, а до какой возрастает, можно воспользоваться нахождением точки перехода. Для этого нужно выполнить следующие действия:

Иными словами, делается предположение, что на каком-то интервале (a, b) существует конечное число точек. Производная f (x) в них обращается в 0. Если принять, что это точки x1, x2… xn, то, согласно предположению f/ (x), не изменит свой знак на интервалах: (a1x); (x1, x2); (xn, b). Отсюда следует, что при помощи первого признака может быть решён вопрос о существовании экстремума в этих точках.

Решение задач

В учебниках по математике после теоретического изложения материала ученикам предлагается самостоятельно решить ряд примеров. Этот навык помогает научиться применять полученные знания на практике и лучше усвоить тему.Вот некоторые из таких заданий, предназначенные для решения учениками девятого класса средней школы:

Экстремум функции определён в точке x-1/3 = 3. Найти значение икса. Для нахождения ответа необходимо выполнить ряд преобразований. Левую и правую часть равенства можно возвести в куб. Тогда выражение примет вид: x-1 = 27. Это то же самое, что и 1 / х = 27. Отсюда: x = 1 / 27.

Источник

Как определить что функция возрастает?

Как понять что функция возрастает?

Функция является возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции тоже возрастают, то заданная функция возрастает.

Как определить функцию на монотонность?

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значения функции. Если x2 > x1, то f(x2 > f(x1) или: чем больше x, тем больше y. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то говорят, что она монотонна на данном промежутке.

Как определить возрастает или убывает функция парабола?

Графиком любой квадратичной функции является парабола. Ветви ее направлены либо вверх, либо вниз, в зависимости от знака коэффициента а. Если ветви направлены вверх, то квадратичная функция сначала убывает от –∞ до самой вершины параболы, а затем начинает возрастать от вершины до +∞.

Что такое промежутки возрастания и убывания функции?

Как понять возрастающая функция или нет?

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции. 2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Как понять возрастает или убывает функция 7 класс?

линейная функция или возрастает, или убывает. Если k>0, то линейная функция y = kx + m возрастает; если kфункция y = kx + m убывает.

Как определить монотонность функции по производной?

Связь монотонности функции с ее производной

Если производная функции f′(x)>0 на некотором промежутке X, то функция y=f(x) возрастает на этом промежутке; если же f′(x)функция y=f(x) убывает на этом промежутке.

Что значит найти промежутки монотонности?

Как найти промежутки монотонности для функции?

Что значит парабола?

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы). Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением.

Как определить промежутки Знакопостоянства квадратичной функции?

Что значит найти промежутки Знакопостоянства?

2) Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.

Что такое возрастание?

возрастание — увеличение, рост, расширение, разрастание, умножение, приумножение, прирост, приращение, прибыль, повышение, нарастание; разбухание, поднимание, округление, самовозрастание, прогрессирование, разращение, увеличивание, крепчание.

Как найти минимум и максимум функции?

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение. Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков.

Источник

Общие сведения

Функция — величина, которая может принимать различные значения, определённые аргументом, то есть условием. Другими словами, значение параметра изменяется в зависимости от того, какой вид принимает связанный с ней определитель. Аргумент и функция — это переменные действительные числа.

Понятие можно описать как ответ на какой-либо вопрос. Например, если спросить, какого цвета маркер, можно ответить чёрный. Так вот цвет фломастера — это аргумент, а ответ — функция. При этом двух разных ответов на вопрос быть не может, а вот ситуация, наоборот, вполне возможна. Чёрным может быть не только маркер, но и рубашка. Значит, параметр может принимать одно и то же значение при разных величинах аргумента.

Традиционный способ описания параметра заключается в составлении уравнения. С правой стороны в нём стоит выражение, которое показывает зависимость чисел, а слева — обозначение функции. Принято зависимое значение обозначать буквой игрек, а определяющее изменение символом икс. Например, y = x + 1. В этом равенстве справа находится сумма, которая показывает, что функция всегда будет больше на единицу, чем аргумент.

Уравнение в математике можно изобразить и графиком. Для этого используют координатную плоскость, на которой откладывают значения переменных. Выполняют рисунок, руководствуясь свойствами функций:

Ось икс называют абсциссой, а игрек — ординатой. Каждая точка на рисунке, соответствующая уравнению, определяется своей координатой. Визуально по графику исследовать поведение зависимости довольно удобно.

Характер зависимости

Для изучения поведения функции необходимо определить промежутки, на которых график уравнения возрастает или убывает. При этом равенство их может и вовсе не содержать или, наоборот, иметь довольно много. Переход из одного состояния в другое характеризуется точкой экстремума.

В математике она обозначает значение, соответствующее минимальным и максимальным координатам. При достижении наибольшего значения функции экстремум называют точкой максимума, а при соответствии наименьшей величине — точкой минимума. Понятие может быть применено как ко всему графику, так и выделенному на нём интервалу.

Существуют 2 правила, определяющих поведение уравнения:

Если уравнение описывается графиком непрерывным и определённым в конечных точках интервала возрастания и спадания, то есть координатами (a, b), они будут включены в промежуток роста и снижения. Это утверждение не противоречит определениям.

Когда наибольшее или минимальное значение, определённое на множестве M и принимающее вещественные значения, достигает того, что числа других функций с той же областью определения подчинены конкретным ограничительным правилам, говорят об условном экстремуме. Если же таких дополнительных условий нет, величина безусловная.

Точка называется локальным максимумом, если выполняется условие x ≠ x0, где икс принадлежит окрестности (x0−δ, x0+δ), и справедливо неравенство f (x) ≤ f (x0). Если же верно неравенство f (x) > f (x0) — локальным минимумом.

Условия появления экстремума

На самом деле каждая стационарная точка может быть возможным экстремумом, чтобы установить, так ли это, нужно проводить ряд исследований. Всего существует 3 достаточных условия. Если они выполняются, можно утверждать об изменении поведения функции в этой точке:

Для неравенства, у которого n ≥ 1 функция имеет производную некого порядка n в произвольной точке окрестности m, а в самой координате результатом дифференцирования является n + 1, причём справедливо равенство f / (m) = f n (m) ≠ 0, в m будет находиться локальный экстремум.

Из этих признаков следует важное правило, что если имеется непрерывная функция со стационарной точкой, в которой при взятии производной значение изменит знак, это и будет означать экстремум. Чтобы верно определить, до какой координаты функция убывает, а до какой возрастает, можно воспользоваться нахождением точки перехода. Для этого нужно выполнить следующие действия:

Иными словами, делается предположение, что на каком-то интервале (a, b) существует конечное число точек. Производная f (x) в них обращается в 0. Если принять, что это точки x1, x2… xn, то, согласно предположению f / (x), не изменит свой знак на интервалах: (a1x); (x1, x2); (xn, b). Отсюда следует, что при помощи первого признака может быть решён вопрос о существовании экстремума в этих точках.

Решение задач

В учебниках по математике после теоретического изложения материала ученикам предлагается самостоятельно решить ряд примеров. Этот навык помогает научиться применять полученные знания на практике и лучше усвоить тему.Вот некоторые из таких заданий, предназначенные для решения учениками девятого класса средней школы:

Источник

Исследование поведения функций с помощью производной

Интервалы возрастания и убывания функции

Достаточные условия для возрастания и убывания функции

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции. Теорема Ферма

Достаточные условия для существования экстремума функции

Пример исследования поведения функции

Интервалы возрастания и убывания функции

Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции. Суть этого метода состоит в следующем.

Если на интервале (a, b) функция y = f (x) строго возрастает и в каждой точке x₀ интервала имеет производную, то, как показано на рисунке 1, а также на рисунке 2,

угол α наклона касательной к графику функции будет острым, откуда вытекает неравенство:

Если же на интервале (a, b) функция y = f (x) строго убывает и в каждой точке x₀ интервала имеет производную, то, как показано на рисунках 3 и 4,

угол α наклона касательной к графику функции будет тупым, откуда вытекает неравенство:

а). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

б). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

в). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

г). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

.

.

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.
Теорема Ферма

Определение 4. Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.

Определение 5. Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, если точка x₀ является критической точкой функции, то точка x₀ либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке x₀ не существует.

.

.

Достаточные условия для существования экстремума функции

В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.

а). Если для точек выполнено условие:

б). Если для точек выполнено условие:

Пример исследования поведения функции

Пример. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции

Решение. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию

и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде

(3)

и разложим на множители правую часть формулы (3):

(4)

На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)

Поскольку решением неравенства

,

(5)

то в соответствии с утверждением 1 функция y₁ возрастает на каждом из интервалов и .

С другой стороны, поскольку решением неравенства

Так как решениями уравнения

Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).

В силу определения модуля, справедливо равенство

В точке x = – 3 производная функции y = | x 3 + 3x 2 | не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции y = | x 3 + 3x 2 | существует.

Функция y = | x 3 + 3x 2 | возрастает на каждом из интервалов (– 3, – 2) и .

Источник