Как определить что уравнение линейное
Линейные уравнения. Виды линейных уравнений.
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В этом уравнении полная степень составляющих его многочленов равна единице.
Линейные уравнения представляют в таком виде:
Линейное уравнение с одной переменной.
Линейное уравнение с 1-ой переменной приводится к виду:
Число корней зависимо от a и b:
— Когда a=b=0, значит, у уравнения есть неограниченное число решений, так как 
.
— Когда a=0, b≠ 0, значит, у уравнения нет корней, так как 
.
— Когда a ≠ 0, значит, у уравнения есть только один корень 
.
Линейное уравнение с двумя переменными.
Уравнением с переменной x является равенство типа A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. При подстановке множества T значений x в уравнение получаем истинное числовое равенство, которое называется множеством истинности этого уравнения либо решение заданного уравнения, а все такие значения переменной — корни уравнения.
Линейные уравнения 2-х переменных представляют в таком виде:
— в общей форме: ax + by + c = 0,
— в форме линейной функции: y = kx + m, где 
.
Решением либо корнями этого уравнения является такая пара значений переменных (x;y), которая превращает его в тождество. Этих решений (корней) у линейного уравнения с 2-мя переменными неограниченное количество. Геометрической моделью (графиком) данного уравнения есть прямая y=kx+m.
Если в уравнении есть икс в квадрате, то такое уравнение называется квадратным уравнением.
Как определить что уравнение линейное
Теперь перейдем к чуть более сложному – линейным уравнениям с двумя переменными.
Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:
\( \displaystyle ax+by+c=0\), где \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\) и \( \displaystyle c\) – любые числа и \( \displaystyle a\ne 0\).
Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.
Какой бы привести тебе жизненный пример… Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а \( \displaystyle 2\) яблока оставит себе.
Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по \( \displaystyle 1\) яблоку? А по \( \displaystyle 2\)? А если по \( \displaystyle 3\)?
Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:
\( \displaystyle y=3x+2\), где
Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст \( \displaystyle 1\) яблоко, то ему необходимо покупать \( \displaystyle 5\) штук, если даст \( \displaystyle 2\) яблока – \( \displaystyle 8\) и т.д.
И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике?
Строим и отмечаем значение наших \( \displaystyle x\), то есть точки, с координатами \( \displaystyle 1\), \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle 3\)!
Как ты видишь, \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle y\) зависят друг от друга линейно, отсюда и название уравнений – «линейные».
Графическое изображение линейных и нелинейных уравнений
Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:
Найди и отметь на обоих рисунках точки \( \displaystyle x\), соответствующие \( \displaystyle y=2\).
Что у тебя получилось?
Ты видишь, что на графике первой функции одному \( \displaystyle y\) соответствует один \( \displaystyle x\).
То есть \( \displaystyle y\) и \( \displaystyle x\) линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию.
Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.
Графиком линейного уравнения должна быть прямая линия.
С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет \( \displaystyle x\) в какой-либо степени – это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например \( \displaystyle y=<
Но я тебя уверяю – ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.
Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:
А что будет, если мы разделим что-то на \( \displaystyle x\), например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость \( \displaystyle y\) и \( \displaystyle x\)?
Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции \( \displaystyle y=\frac<1>
Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
Линейные уравнения
Примеры линейных уравнений:
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Примеры решения линейных уравнений:
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b :
Для начала раскроем скобки:
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
Это уравнение не является линейным уравнением.
Особые случаи (встречаются редко, но знать их полезно).
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
Задания для самостоятельного решения
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
2 − 3 ( 2 x + 2 ) = 5 − 4 x
Переносим иксы влево, числа вправо:
x = 9 − 2 = − 9 2 = − 4,5
№2. При каком значении x значения выражений 7 x − 2 и 3 x + 6 равны?
Решение:
Приравниваем эти два выражения:
№3. Решите уравнение ( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти все корни данного уравнения, надо приравнять каждый множитель к нулю и оба корня взять в ответ.
( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0 ⇔ [ − 5 x + 3 = 0 − x + 6 = 0 ⇒ [ − 5 x = − 3 ; − x = − 6 ; ⇒ [ x = − 3 − 5 = 3 5 = 0,6 x = − 6 − 1 = 6 1 = 6
В задании указано, что в ответ надо записать корни в порядке возрастания 0,6 6.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Раскроем квадраты, используя ФСУ (формулы сокращенного умножения):
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 4 + 4 2 + x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 9 + 9 2 − 2 x 2 = 0
Замечаем, что x 2 сокращается:
x 2 − 8 x + 4 2 + x 2 + 18 x + 9 2 − 2 x 2 = 0
− 8 x + 18 x + 16 + 81 = 0
Решение:
Раскроем скобки, используя ФСУ.
( x + 10 ) 2 = ( 5 − x ) 2
x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 10 + 10 2 = 5 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ x + x 2
x 2 + 20 x + 100 = 25 − 10 x + x 2
x 2 + 20 x + 100 − x 2 + 10 x − 25 = 0
Решение:
Решение простых линейных уравнений
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
