Как понять что функция сложная

Сложная функция. Производная сложной функции.

В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.

Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, «с чем ее едят», и «как правильно ее готовить».

Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:

Вместо переменной мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию

.

Назовем выражение промежуточным аргументом, а функцию — внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.

Строгое определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция определена на множестве и — множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, — внешняя функция, — промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:

В этом выражении с помощью обозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Например, в функции

Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент

как

Получим

Ищем в таблице производных производную показательной функции:

(1)

Теперь наша задача найти производную функции

Смотрим в таблице производных производную синуса:

Подставим полученное значение производной в выражение (1):

И, наконец, упростим выражение, вспомнив формулу синуса двойного аргумента:

Заметим, что функции иногда похожи на матрешку: промежуточный аргумент сам является сложной функции. Но тогда при нахождении производной промежуточного аргумента, нужно вновь применить правило нахождения производной сложной функции.

Источник

Сложная функция. Производная сложной функции

Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

и сделать вот такое лицо:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот «сложнейший» процесс представлен на схеме ниже:

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса :

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

Напиши теперь сам функции, где икс:
— сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием \(3\);
— сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
— сначала в логарифм по основанию \(4\) , затем в степень \(-2\).

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» \(4\) раза:

«Распаковка» сложной функции

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в \(4\)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию \(2\), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x )\)

Еще пример: \(y=\cos⁡<(x^3 )>\). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: \(x → x^3 → \cos⁡<(x^3 )>\). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть \(\cos⁡<(x·x·x)>)\), а там в кубе косинус \(x\) (то есть, \(\cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): \(y=\sin⁡<(2x+5)>\). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin⁡<(2x+5)>\). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
\(y=cos<⁡(sin⁡x)>\)
\(y=5^\)
\(y=arctg⁡<11^x>\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

Вот в этом примере: \(y=tg⁡(log_2⁡x )\), функция \(\log_2⁡x\) – внутренняя, а — внешняя.

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

Формула эта читается так:

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.

И сразу смотри схему разбора «по словам» чтобы понимать, что к чему относится:

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция \(y=\sin⁡(x^3 )\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет \(\cos⁡(x^3)\). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от \(x^3\).

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции \(y=(\sin⁡x )^3\).

Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: \(x → \sin⁡x → (\sin⁡x )^3\). Значит, в данном примере внутренняя функция это \(\sin⁡x\), а внешняя .

Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» \(\sin⁡x\), то производная внешней будет \(3(\sin⁡x)^2\). То есть, имеем:

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^2-x)\).

Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sqrt \)
Вложенность функций: \(x → x^6 → \sqrt\)
Внутренняя: \(x^6\) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: \(\sqrt‘=\) \(\frac<1><2\sqrt>\)
Производная внутренней: \((x^6)’= 6x^5\)
Имеем: \((\sqrt)’=\) \(\frac<1><2\sqrt>\) \(·6x^5\)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: \(\sqrt[b] =x^<\frac>\). Тогда \(\sqrt=x^<\frac<6><2>>=x^3\). С учетом этого получаем:

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln⁡(x^3)\).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: \(x → x^3 → \ln⁡(x^3 )\), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: \(\log_a⁡=c·\log_a<⁡b>\). И тогда функция получается \(y=\ln⁡(x^3 )=3\ln⁡x\). Отлично! Берем производную:

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции \(y=3^<\sin⁡(x^4+1)>\).
Вложенность функций: \(x → x^4+1 → \sin⁡(x^4+1) → 3^<\sin⁡(x^4+1)>\)
Внутренняя: \(x^4+1\) Средняя: Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет \(3^<\sin⁡(x^4+1)>·\ln⁡3\).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, \(\sin⁡(x^4+1)’=\cos⁡(x^4+1)\).
И наконец, производная внутренней: \((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3\).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=tg⁡(7^x)\).

Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=\sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>\).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

Но давай снова воспользуемся свойством корня \(\sqrt[b] =x^<\frac>\) и преобразуем нашу функцию к виду:

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: \(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^<\frac<2><3>>\)
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: \(x^5+2x-5\). Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции: . Получаем: . Тогда в нашем случае будет: \(\frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-\frac<1><3>>\).
Производная внутренней: \((x^5+2x-5)’=5x^4+2\).
Общий результат: \(y ‘=(\sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>)’=((x^5+2x-5)^<\frac<2><3>> )’=\frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-\frac<1><3>>·(5x^4+2)\).

Ну, и перемножаем дроби.

Найти производные функций:

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

\(x → 1+x → \log_2⁡ <(1+x)>\)
\(x → 11^x → arctg⁡(11^x) \)
\(x → x^7 → 5^\)
\(x → \sin⁡x → \cos⁡(\sin⁡x)\)

Источник

Таблица производных функций

10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.

Источник

Презентация к уроку

“Сложный, составной, сложенный или составленный из разных частей…”.
Толковый словарь В.И. Даля.

Мы часто в повседневной речи считаем слова “сложный” и “трудный” синонимами. Иногда можно услышать от тех учеников, которым нелегко дается математика, что сложная функция потому так называется, что она “трудная”. Но на самом деле “сложный” и “трудный” далеко не всегда означают одно и то же.

Понятие сложной функции встречается в курсе алгебры и начал математического анализа в 10 классе [3]. Для сложной функции выводится формула дифференцирования. Ученики без предварительной подготовки этот материал воспринимают с большим трудом. На чисто формальном уровне можно дать много примеров на нахождение внутренней и внешней функции для данных сложных функций. При определенной практике они начинают хорошо различаться и производную можно вычислять. Беда в том, что при этом учащиеся погружаются в технику дифференцирования, а само понятие сложной функции как композиции нескольких функций отходит на задний план.

Чтобы сложная функция предстала в более наглядном виде, и сделана данная презентация.

В зависимости от подготовленности класса этот материал может быть предложен и на факультативных занятиях, и на уроках, причем в некоторых случаях непосредственно в теме “Производная”, а в некоторых и раньше. Самое главное, чтобы основные свойства функций (в первую очередь – монотонность) к этому времени учащимися были хорошо усвоены и чтобы графики элементарных функций стали легко узнаваемы.

К этому времени учащимся будет и легче воспринимать само понятие функции как соответствие между множествами.

При построении графиков сложных функций в презентации для большей наглядности используются анимационные эффекты, дающие представление о последовательных шагах, которыми характеризуется композиция нескольких соответствий.

Важно подчеркнуть, что при исследовании функций с помощью производной ученики получают более совершенный аппарат для построения графика, но и элементарные методы имеют свои преимущества: они позволяют учащимся на более простом материале воспринимать основные функциональные изменения и дают возможность “прочувствовать” поведение сложной функции. Построение графиков без производной может осуществляться с разных точек зрения. Примеры получения достаточно трудных графиков описаны, например, в [1]. Те приемы, которые предложены в данной презентации, с одной стороны, касаются именно сложных функций, но с другой демонстрируют достаточно наглядные рассуждения, которые могут помочь в исследовании функций при решении различных задач. Например, изученные приемы могут пригодиться в тех случаях, когда требуется узнать промежутки монотонности сложной функции, множество ее значений. Причем предложенный метод достаточно нагляден и не использует громоздких преобразований с формулами.

В предлагаемой презентации можно выделить три части:

1. Для того чтобы подробно описать, как “действует” сложная функция, сначала нужно повторить определение функции как соответствия между множествами, при котором каждому элементу первого множества соответствует не более одного элемента второго множества. То, что на слайде изображены круги Эйлера, не случайно: на них более ярко можно показать соответствие между элементами множеств.

Понятие функции к 10 классу должно быть сформировано, но ученикам с низкой мотивацией иногда трудно его запоминать, и в данном случае можно подробнее остановиться на контрольных вопросах, например, почему окружность или вертикальная прямая в системе координат не могут быть графиками функций (хотя их и можно задать уравнениями).

Сложную функцию рассматриваем как композицию двух функций, то есть как последовательное выполнение двух соответствий. По рисунку можно проследить, как некоторому элементу множества Х соответствует элемент множества Т, этот закон устанавливается внутренней функцией. А затем для элемента множества Т внешняя функция указывает соответствующее значение элемента из множества У. Таким образом, для первоначального х₀ мы находим t₀, а затем у₀. Устанавливается зависимость: x₀t₀у_0.

После того, как чертеж с тремя множествами и соответствиями подробно разобран, переходим к рассмотрению конкретных сложных функций. Рассматриваем примеры, где сложная функция задается формулой. Ученикам предлагается назвать внутреннюю и внешнюю функцию.

Аналогичные задания приводятся и в учебнике [3], но практика показывает, что если ограничиваться только рассмотрением формул, то от восприятия учеников ускользает структура самой композиции функций, последовательность в переходе от одного шага к другому, в итоге исчезает математическая суть сложной функции.

Восполнить этот пробел помогают графики.

2. Построим график функции (пример 1).

Внутренняя функция: g(x) = x 2 – 4, построим график в системе координат (х,t). Для простоты изложения мы строим всю параболу, но в дальнейшем рассматриваем только те х, которые входят в множество D(y).

Внешняя функция: f(t) =, построим график в системе координат (t,y).

График исходной сложной функции будем строить в системе координат (х,у).

Для наглядности на рисунке отмечено некоторое произвольное значение х₀, для него с помощью графика g(x) можно указать t₀=g(x₀), а для t₀ по графику внешней функции находим значение у₀=f(t₀), таким образом получаем цепочку соответствий: x₀t₀у₀, аналогичную той, которая была изображена на рисунке с кругами Эйлера.

После того, как два вспомогательных графика построены, переходим к главной задаче – построению графика сложной функции.

Пусть переменная х изменяется от 2 до бесконечности. По графику g(x) хорошо видно, что при этом переменная t изменяется от 0 до бесконечности. В силу возрастания квадратичной функции на данном участке об этом можно было догадаться и без графика, но график помогает в дальнейших рассуждениях.

Итак, переменная t изменяется от 0 до бесконечности. Переходим в систему координат с графиком внешней функции f(t). Значения функции, то есть у, меняются от 0 до бесконечности.

Все эти изменения приводятся в таблице на слайде.

Значит, для функции при увеличении аргумента от 2 до бесконечности получаем возрастание функции от 0 до бесконечности. И то, что мы выделили этот участок монотонности, уже очень важно! Можно хотя бы схематично изобразить график при х≥2.

Чтобы детям лучше был понятен этот переход, соответствующие участки на чертежах подчинены анимационным эффектам (слайд 10). Участки появляются по щелчку мыши последовательно, друг за другом, в определенном цвете. В результате в системе координат (х,у) выделяется промежуток [2; +∞) на оси абсцисс, а по оси ординат ему соответствует промежуток [0; +∞), функция возрастает. И появляется первый участок искомого графика.

В силу четности исходной функции получаем и второй участок графика, при х≤-2, отражая первый участок относительно оси ординат.

Заметим, что в этих рассуждениях приходится намеренно отказываться от термина “промежутки” и от соответствующих скобок для их указания, потому что мы говорим именно об изменении величины, а не просто о множестве, на котором ее рассматриваем, то есть если переменная уменьшается, она изменяется, начиная с большего значения (а в промежутках на первом месте указывается меньшее значение).

Еще один вариант применения указанного способа построения графика – это подготовительный этап в изучении свойств растяжения и сжатия графиков. Например, чтобы ученик осмысленно и “своими руками” получил график у=sin2x, можно рассматривать данную функцию как сложную. Это построение разобрано в презентации (пример 2).

Не исключено, что гармонические колебания будут уже известны ученикам к моменту изучения сложной функции и, в частности, поведение графика у=sin2x. В этом случае можно предложить ученикам самостоятельно найти ответ на вопрос, как пользуясь свойствами внутренней и внешней функции, прийти к итоговому графику. Второй способ решения уже известной задачи ничуть не умаляет первый, а только лучше закрепляет полученную информацию.

В классах, где тригонометрические сведения усвоены не достаточно хорошо, весьма полезной будет повторение значений синуса для определенных углов и заполнение предложенной таблицы. В классах с высокой мотивацией в обучении эта работа достаточно легкая, таблицу можно заполнять устно, а в тетрадях только построить сам график, но действовать поэтапно.

Итак, рассматриваем функцию у=sin2x.

Замечаем, что она всюду определена, нечетная, периодична с наименьшим положительным периодом π.

Изображаем графики внутренней и внешней функции.

Начинаем с анализа изменения переменной х. Для каждого участка изменения указываем, как изменяется переменная t, а затем переменная у.

Рассматриваем участки изменения для переменной х: от 0 до π/4; от π/4 до π/2; от π/2 до 3π/4; от 3π/4 до π.

Если у учеников появляются вопросы, то графические иллюстрации позволяют быстрее их разрешить, поэтому показ слайдов очень удобен – каждый участок можно проследить на подробном чертеже, выделение цветом помогает концентрировать внимание на обсуждаемом участке. Например, указывая изменение переменной х от 0 до π/4, мы видим, что t изменяется от 0 до π/2, а при этом изменении t значения синуса возрастают от 0 до 1 – соответствующий столбец таблицы приведен рядом с графиками на слайде.

Поскольку для большинства детей эта работа может оказаться непростой, в презентации сделаны отдельные слайды для каждого столбца с иллюстрациями на графиках. Таблица заполняется постепенно, один столбец следует за другим.

В итоге мы получаем заполненную таблицу (она приведена на отдельном слайде) и можем изобразить график у=sin2x сначала на участке от 0 до π, а затем, учитывая периодичность, и весь график.

С сильными учениками можно значительно сэкономить время, рассмотрев подробно один или два участка, а затем перейти к итоговому графику. Но в некоторых классах пригодится и более подробная работа. Учитель регулирует скорость изложения, учитывая состав и подготовленность учащихся.

В зависимости от того, какой материал по тригонометрии к этому моменту пройден в классе, можно подчеркнуть особенность сжатия графика, роль частоты и пр.

Общий вид графиков различных функций, в том числе и сложных, прекрасно можно получить, например, с помощью программы “АвтоГраф”. Они не требуют почти никаких затрат, если программа уже установлена. Когда ученики хорошо поймут сам принцип задания сложной функции и смогут хотя бы схематично указывать ее график, то для корректировки сделанного чертежа можно показать график, построенный более точно с помощью “АвтоГрафа”.

Такую работу я проводила уже на следующих уроках, когда проверяли домашнее задание и дети самостоятельно строили графики других сложных функций. Приятно было видеть, что они с большим азартом строили даже такие трудные графики, как .

Подчеркнем, что настоящая презентация ставит главную цель дать ученикам представление о самой сложной функции как композиции двух функций, о графике сложной функции, полученном с помощью внешней и внутренней функции. Эта работа требует осмысленного восприятия материала. “При осмысленном восприятии я вижу в предмете нечто большее, чем содержится в непосредственном зрительном акте, и восприятие предмета является уже в известной степени абстракцией, и в восприятии содержатся следы обобщения”, – эти слова Л.С. Выготского [2] характеризуют общие психологические особенности восприятия, но они, в частности, прекрасно иллюстрируют процесс изучения математики.

И сразу, без теоретической подготовки, предлагать ученикам только готовые графики преждевременно. С другой стороны, чисто формальные рассуждения, без графических иллюстраций затрудняют восприятие. Поэтому при изучении данного раздела нужно как можно больше наглядности и поэтапного погружения в материал.

После того, как в сознании учеников понятие сложной функции будет сформировано, можно проводить уроки по теме “Взаимно обратные функции” (в профильных классах), а также переходить к формуле производной сложной функции (если уже изучается тема “Производная”).

3. Как дополнительный вопрос в данной теме предлагается рассмотреть задачу о нахождении множества значений сложной функции. Эту задачу можно решить графически.

Отсюда следует важный факт: внешняя функция определена только для значений аргумента от 2 до 4.

Изображаем график внешней функции, выделяя соответствующий участок на гиперболе. И тогда легко видеть, что значения у находятся на промежутке [0,25; 0,5].

Заметим, что в этой задаче участки монотонности не важны! Важно только множество значений внутренней функции для перехода к области определения внешней функции.

Итак, мы рассмотрели понятие сложной функции как композицию двух функций, внешней и внутренней. Научились выделять эти функции в конкретно заданной сложной функции. С помощью графиков внешней и внутренней функции строим график сложной функции. А также находим множество ее значений.

Работа учителя математики посвящена тому, чтобы не только облегчить ученикам восприятие трудного материала, но и дать им возможность почувствовать ту упорядоченность и красоту, которая всегда встречается в математике.

Источник