Как понять что прямая лежит в плоскости
Прямая на плоскости – необходимые сведения
Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.
Прямая на плоскости – понятие
Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.
Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.
Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.
Взаимное расположение прямой и точки
На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.
Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.
Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.
Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.
Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.
Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:
Взаимное расположение прямых на плоскости
Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.
Две прямые на плоскости могут совпадать.
Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.
Две прямые на плоскости могут пересекаться.
Две прямые на плоскости могут быть параллельны.
Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.
Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.
Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.
Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:
Рассмотрим это на рисунках.
Способы задания прямой на плоскости
Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.
Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.
Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки. 
Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.
Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.
Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.
Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.
Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.
Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:
Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.
И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.
Прямая на плоскости – необходимые сведения.
В этой статье мы подробно остановимся на одном из первичных понятий геометрии – на понятии прямой линии на плоскости. Сначала определимся с основными терминами и обозначениями. Далее обсудим взаимное расположение прямой и точки, а также двух прямых на плоскости, приведем необходимые аксиомы. В заключении, рассмотрим способы задания прямой на плоскости и приведем графические иллюстрации.
Навигация по странице.
Прежде чем дать понятие прямой на плоскости, следует четко представлять себе что же представляет собой плоскость. Представление о плоскости позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность (как будто у нас сколь угодно большой стол).
Если взять хорошо заточенный карандаш и дотронуться его стержнем до поверхности «стола», то мы получим изображение точки. Так мы получаем представление о точке на плоскости.
Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости.
Положим на поверхность стола (на плоскость) лист чистой бумаги. Для того чтобы изобразить прямую линию, нам необходимо взять линейку и провести карандашом линию на сколько это позволяют сделать размеры используемой линейки и листа бумаги. Следует отметить, что таким способом мы получим лишь часть прямой. Прямую линию целиком, простирающуюся в бесконечность, мы можем только вообразить.
Взаимное расположение прямой и точки.
Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.
Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости: либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).
Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.
Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В ), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА ).
Следует понимать, что на прямой, заданной на плоскости, лежит бесконечно много различных точек, причем все эти точки лежат в одной плоскости. Это утверждение устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Сейчас ответим на вопрос: «Как могут располагаться две прямые на плоскости относительно друг друга»?
Во-первых, две прямые на плоскости могут совпадать.
Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки. Действительно, в силу аксиомы, озвученной в предыдущем пункте, через две точки проходит единственная прямая. Иными словами, если через две заданные точки проходят две прямые, то они совпадают.
Во-вторых, две прямые на плоскости могут пересекаться.
В-третьих, две прямые на плоскости могут быть параллельными.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна прямой b, то используют символическое обозначение 
. Для более полной информации смотрите статью параллельные прямые, параллельность прямых.
Прямую линию на плоскости с практической точки зрения удобно рассматривать вместе с векторами. Особое значение имеют ненулевые векторы, лежащие на данной прямой или на любой из параллельных прямых, их называют направляющими векторами прямой. В статье направляющий вектор прямой на плоскости даны примеры направляющих векторов и показаны варианты их использования при решении задач.
Также следует обратить внимание на ненулевые векторы, лежащие на любой из прямых, перпендикулярных данной. Такие векторы называют нормальными векторами прямой. О применении нормальных векторов прямой рассказано в статье нормальный вектор прямой на плоскости.
Когда на плоскости даны три и более прямых линии, то возникает множество различных вариантов их взаимного расположения. Все прямые могут быть параллельными, в противном случае некоторые или все из них пересекаются. При этом все прямые могут пересекаться в единственной точке (смотрите статью пучок прямых), а могут иметь различные точки пересечения.
Не будем подробно останавливаться на этом, а приведем без доказательства несколько примечательных и очень часто используемых фактов:
Способы задания прямой на плоскости.
Сейчас мы перечислим основные способы, которыми можно задать конкретную прямую на плоскости. Это знание очень полезно с практической точки зрения, так как на нем основывается решение очень многих примеров и задач.
Во-первых, прямую можно задать, указав две точки на плоскости.
Действительно, из аксиомы, рассмотренной в первом пункте этой статьи, мы знаем, что через две точки проходит прямая, и притом только одна.
Если в прямоугольной системе координат на плоскости указаны координаты двух несовпадающих точек, то есть возможность записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Во-вторых, прямую можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна. Этот способ справедлив, так как через данную точку плоскости проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Доказательство этого факта проводилось на уроках геометрии в средней школе.
Если прямую на плоскости задать таким способом относительно введенной прямоугольной декартовой системы координат, то есть возможность составить ее уравнение. Об этом написано в статье уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.
В-третьих, прямую можно задать, если указать точку, через которую она проходит, и ее направляющий вектор.
Если прямая линия задана в прямоугольной системе координат таким способом, то легко составить ее каноническое уравнение прямой на плоскости и параметрические уравнения прямой на плоскости.
Четвертый способ задания прямой заключается в том, что следует указать точку, через которую она проходит, и прямую, которой она перпендикулярна. Действительно, через заданную точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой. Оставим этот факт без доказательства.
Наконец, прямую на плоскости можно задать, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой.
Если известны координаты точки, лежащей на заданной прямой, и координаты нормального вектора прямой, то есть возможность записать общее уравнение прямой.
math4school.ru
Прямые и плоскости
Способы определения плоскости
Плоскость в пространстве однозначно задаётся:
тремя точками, не лежащими прямой и точкой, не лежащей
на одной прямой на этой прямой
двумя пересекающимися прямыми двумя параллельными прямыми
Прямые в пространстве
Признак параллельности прямых:
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:
Прямая и плоскость в пространстве
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости:
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек:
Плоскость и не лежащая на ней прямая либо пересекаются (в одной точке), либо не пересекаются (параллельны).
Признак параллельности прямой и плоскости:
Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости тогда и только тогда, когда она параллельна некоторой прямой в этой плоскости:
Признак параллельности прямых:
Признак параллельности прямых:
Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии пересечения этих плоскостей:
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения этой прямой и плоскости.
Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости:
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой:
Прямые, перпендикулярные одной плоскости, – параллельны:
Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, которые соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости, считают расстоянием между этими точкой и плоскостью.
Наклонной, проведённой из данной точки к плоскости, называется любой отрезок, который соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и не является перпендикуляром, проведённым к этой плоскости.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, называется проекцией (ортогональной проекцией) этой наклонной на плоскость.
АВ – перпендикуляр, проведённый из точки А к плоскости α ;
АС – наклонная, проведённая из точки А к плоскости α ;
В – основание перпендикуляра АВ ;
С – основание наклонной АС ;
ВС – проекция наклонной АС на плоскость α .
Свойства перпендикуляра и наклонной:
Углом между наклонной и плоскость называется величина угла между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость:
Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой, проходящей в этой плоскости через основание наклонной:
Теорема про три перпендикуляра:
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной:
Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости:
Отрезок АВ – общий перпендикуляр прямой а и плоскости α.
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых ( a и b ) называется отрезок ( АВ ) с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Две скрещивающиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, и притом только один.
Длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых считается расстоянием между ними:
Плоскости в пространстве
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку:
Говорят, что две плоскости совпадают, если каждая точка одной плоскости является точкой другой, и наоборот:
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек:
Через точку вне плоскости можно провести плоскость параллельную данной и притом только одну.
Признак параллельности плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны:
Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
Длина некоторого отрезка выражает расстояние между двумя параллельными плоскостями, если этот отрезок является общим перпендикуляром этих плоскостей:
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.
Полуплоскости, о которых шла речь, называются гранями двугранного угла, а прямая – ребром двугранного угла:
α и β – грани, KL – ребро двугранного угла.
Все линейные углы данного двугранного угла совмещаются параллельным переносом и равны.
Мера линейного угла служит мерой и двугранного угла, которому этот линейный угол соответствует.
Линейные углы, соответствующие равным двугранным углам, равны. И наоборот: равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшая из мер двухгранных углов, образованных этими плоскостями.
Две плоскости называются перпендикулярными ( α⊥β ), если угол между ними равен 90°.
Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.
Если φ – величина угла между некоторыми двумя плоскостями, то
Признак перпендикулярности плоскостей:
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны:
Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости:
Некоторые свойства прямых и плоскостей
Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны:
Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; более того, эта прямая образует с параллельными плоскостями равные углы:
Прямые, полученные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны между собой:
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны:
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости: