Как понять что прямые пересекаются
Пересекающиеся прямые
Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что эти прямые пересекаются. Такие прямые называют пересекающимися прямыми:
Точка пересечения — это точка, общая для двух или более геометрических фигур.
Перпендикуляр и наклонная
При пересечении вертикальной и горизонтальной прямой линии образуется четыре прямых угла. Такие линии, относительно друг к другу, называются перпендикулярными линиями или просто перпендикулярами:
Даже если прямые не являются вертикальной и горизонтальной линиями, но при пересечении образуют четыре прямых угла, то они всё равно являются перпендикулярными:
Если прямая линия пересекает другую не под прямым углом, то такая линия называется наклонной к прямой, которую она пересекает. При этом образуется четыре угла: два из них будут острыми и два тупыми:
Образованные острые углы равны и относительно друг друга будут называться вертикальными углами. То же самое можно сказать и об образованных тупых углах — они равные и вертикальные.
Как определить что прямые пересекаются
Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.
Точка пересечения двух прямых на плоскости
Если система уравнений:
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе
Из первого уравнения найдем значение x
Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t
В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.
t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>
-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t
Подставим значение t во второе и третье уравнение
t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4
Из второго уравнения выразим y через x
2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3
Подставим y в первое уравнение
2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>
2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>
Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k 1 = k 2 = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.
Решим также эту задачу используя систему уравнений:
y = 2 x — 1 y = 2 x + 1
Вычтем из первого уравнения второе
Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).
Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.
Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.
Точка пересечения двух прямых в пространстве
Если система уравнений:
Решение: Составим систему уравнений
К шестому уравнению добавим пятое уравнение
Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1
Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).
Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a
x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3
Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения
Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.
Точка пересечения двух прямых на плоскости
Если система уравнений:
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе
Из первого уравнения найдем значение x
Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t
В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.
t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>
-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t
Подставим значение t во второе и третье уравнение
t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4
Из второго уравнения выразим y через x
2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3
Подставим y в первое уравнение
2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>
2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>
Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k 1 = k 2 = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.
Решим также эту задачу используя систему уравнений:
y = 2 x — 1 y = 2 x + 1
Вычтем из первого уравнения второе
Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).
Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.
Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.
Точка пересечения двух прямых в пространстве
Если система уравнений:
Решение: Составим систему уравнений
К шестому уравнению добавим пятое уравнение
Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1
Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).
Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a
x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3
Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения
Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.
Точка пересечения двух прямых – определение
Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.
Определение точки пересечения прямых звучит так:
Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.
Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости
Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.
Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М 0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что
5 · 2 — 2 · ( — 3 ) — 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 · 2 — 5 · ( — 3 ) — 19 = 0 ⇔ 0 = 0
Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.
Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что
5 · 2 + 3 · ( — 3 ) — 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 · 2 — 2 · ( — 3 ) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0
Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.
Заданы две прямые x — 9 y + 14 = 0 и 5 x — 2 y — 16 = 0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.
x — 9 y + 14 = 0 5 x — 2 y — 16 = 0 ⇔ x = 9 y — 14 5 x — 2 y — 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y — 14 5 · 9 y — 14 — 2 y — 16 = 0 ⇔ x = 9 y — 14 43 y — 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y — 14 y = 2 ⇔ x = 9 · 2 — 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2
Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.
Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.
x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x — 4 9 λ = y — 2 1 ⇔ x — 4 9 = y — 2 1 ⇔ ⇔ 1 · ( x — 4 ) = 9 · ( y — 2 ) ⇔ x — 9 y + 14 = 0
После чего беремся за уравнение канонического вида x — 5 = y — 4 — 3 и преобразуем. Получаем, что
x — 5 = y — 4 — 3 ⇔ — 3 · x = — 5 · y — 4 ⇔ 3 x — 5 y + 20 = 0
Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения
x — 9 y + 14 = 0 3 x — 5 y + 20 = 0 ⇔ x — 9 y = — 14 3 x — 5 y = — 20
Применим метод Крамера для нахождения координат:
∆ = 1 — 9 3 — 5 = 1 · ( — 5 ) — ( — 9 ) · 3 = 22 ∆ x = — 14 — 9 — 20 — 5 = — 14 · ( — 5 ) — ( — 9 ) · ( — 20 ) = — 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = — 110 22 = — 5 ∆ y = 1 — 14 3 — 20 = 1 · ( — 20 ) — ( — 14 ) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1
4 + 9 · λ — 5 = 2 + λ — 4 — 3
Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.
Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.
Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:
1 3 x — 1 4 y — 1 = 0 1 3 x — y — 4 = 0 ⇔ 1 3 x — 1 4 y = 1 4 3 x — y = 4
Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x 3 + y — 4 = 1 и y = 4 3 x — 4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.
Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.
По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:
2 x + ( 2 — 3 ) y + 7 = 0 2 ( 3 + 2 ) x — 7 y — 1 = 0 ⇔ 2 x + ( 2 — 3 ) y = — 7 2 ( 3 + 2 ) x — 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 — 3 y = — 7 2 ( 3 + 2 ) x — 7 y + ( 2 x + ( 2 — 3 ) y ) · ( — ( 3 + 2 ) ) = 1 + — 7 · ( — ( 3 + 2 ) ) ⇔ ⇔ 2 x + ( 2 — 3 ) y = — 7 0 = 22 — 7 2
Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.
Второй способ решения.
Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.
Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.
Для решения составляем систему уравнений. Получаем
2 x — 1 = 0 5 4 x — y — 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x — y = 2
2 x = 1 5 4 x — y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x — y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 · 1 2 — y = 2 ⇔ x = 1 2 y = — 11 8
Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве
Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.
Когда точка М 0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0
Рассмотрим подобные задания на примерах.
Найти координаты точки пересечения заданных прямых x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 2 z — 4 = 0
Система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.
В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.
Поэтому система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.
Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.
1 2 — 3 4 2 — 1 0 — 5 1 0 — 3 0 3 — 2 2 1
1 2 — 3 4 0 — 5 6 — 13 0 — 2 0 — 4 0 — 8 11 — 11
1 2 — 3 4 0 — 5 6 — 13 0 0 — 12 5 6 5 0 0 7 5 — 159 5
1 2 — 3 4 0 — 5 6 — 13 0 0 — 12 5 6 5 0 0 0 311 10
Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.
Ответ: нет точки пересечения.
Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.
Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что
x = — 3 — λ y = — 3 · λ z = — 2 + 3 · λ ⇔ λ = x + 3 — 1 λ = y — 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 — 1 = y — 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 — 1 = y — 3 x + 3 — 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y — 3 0 = z 5 ⇔ y — 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y — 3 = 0 5 x — 2 z = 0
3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y — 3 = 0 5 x — 2 z = 0 ⇔ 3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y — 3 = 0
Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.
Точка пересечения двух прямых – определение
Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.
Определение точки пересечения прямых звучит так:
Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.
Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости
Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.
Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М 0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что
Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.
Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что
Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.
Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.
Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.
Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения
Применим метод Крамера для нахождения координат:
Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.
Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.
Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:
Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.
По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:
Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.
Второй способ решения.
Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.
Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.
Для решения составляем систему уравнений. Получаем
Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве
Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.
Когда точка М 0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0
Рассмотрим подобные задания на примерах.
Система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.
В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.
Поэтому система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.
Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.
Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.
Ответ: нет точки пересечения.
Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.
Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что
Пересечение прямых, угол и координаты пересечения
IP76 > Пересечение прямых, угол и координаты пересечения
Не такая тривиальная задача, скажу я вам. Всякий раз, когда возникает необходимость посчитать координату пересечения пары прямых, каждая из которых задана парой точек, снова беру блокнот и вывожу пару формул. И всякий раз – блин, ну это уже когда-то было, опять надо что-то делать с параллельными прямыми, опять появляется пакостная строго вертикальна линия, когда на (x1-x2) никак не разделить и т.д.
Поэтому – в подборку теории и практики, пригодится, сэкономим блокнот, спасем дерево.
Коэффициенты А, B, C
Все помним со школы формулу:
Тоже самое, но с претензией на образование (некоторые индивидуумы утверждают, что существует такая, и только такая, и никакая другая, формулировка):
Те же фаберже, только сбоку.
В теории надо составить и решить систему уравнений для первой и второй линии, где переменными будут X и Y точки пересечения.
Загвоздка в том, что мы не знаем коэффициенты для обеих линий.
В нашем случае известны координаты двух точек, по которым проходит линия. Поэтому мне, как последователю геометрического агностицизма, более привлекательная следующая формула:
Путем несложных операций приходим к следующей записи:
Глядя на вариант в исполнении высшего образования, получаем следующие формулы для нахождения коэффициентов:
Пока все идет отлично, нигде вероятного деления на ноль не встретилось.
Итак, мы можем легко найти два набора коэффициентов для первой и второй прямых. Переходим к системе уравнений.
Система уравнений
Как правило, подобная система уравнений решается путем выражения одной переменной через другую, подстановкой во второе уравнение, получая таким образом уравнение одной переменной. Далее переменная находится, подставляется, решается. Или определяется, что система решения не имеет.
Но нас интересует метод Крамера. Потому что с помощью этого метода можно получить сразу значения для обеих переменных, без дополнительных телодвижений.
Сразу же запишем метод под нашу систему.
Имеем следующую систему:
Исходя из метода, решение выглядит так:
Ага! Вот и возможное деление на ноль, скажете вы. И правильно! В этой, в высшей степени непозволительной ситуации, когда знаменатель равен нулю, решения нет, прямые либо параллельны, либо совпадают (что, впрочем, частный случай параллельности). В коде, естественно, этот момент надо учитывать.
Практика 1
Частные случаи
Принадлежность точки отрезку
В общем случае, чтобы определить принадлежность точки отрезку, надо установить две вещи:
Займемся пунктом 2. Данный факт можно установить двумя способами:
Практика показывает, что арифметический способ быстрее примерно в 3 раза. Когда-то я считал, что операции сравнения самые быстрые. Это давно уже не так.
Угол пересечения прямых
Угол пересечения прямых — это угол пересечения направляющих векторов. Т.е., взяв уже знакомые ранее точки p1 и p2, получим направляющий вектор V(p1,p2), и аналогично второй вектор M(p3,p4). В теории мы должны вычислить достаточно «затратную» функцию, с корнями, квадратами, дробями и арккосинусом.
Давайте не будем останавливаться на ней, она долгая, нудная и в нашем случае ненужная. Рассмотрим вектор:
Рис.4. Вектор V(p1,p2)
α — угол наклона вектора к оси X, который можно найти, как:
Что-то знакомое? Да это ни что иное, как коэффициенты в уравнении прямой от образованных фанатов. Может они и правы в своем испепеляющем фанатизме…
Одним словом, коэффициенты (расстояния) у нас уже есть по обеим прямым.
Рис.5. Пересекающиеся вектор V(p1,p2) и вектор M(p3,p4)
Судя по рисунку, угол между векторами, это сумма углов наклона векторов к оси X. Ммм… не совсем так, на самом деле это разность.
Рис.6. Пересекающиеся векторы в положительной Y
По рисунку явно видно, что угол между векторам это γ = (β — α).
В предыдущем примере все правильно, просто знаки углов разные, т.к. находятся по разные стороны от оси X, а формула работает та же.
От теории к практике
Теперь в плане практического применения. Мне нужно точно знать, откуда, куда и в каком направлении этот угол. В теории, углом между прямыми считается наименьший из пары γ и (180-γ). Так вот, нам это не надо. Какой угол получится – такой нам и нужен.
Поэтому, под углом между векторами понимаем угол от вектора V(p1,p2) к вектору M(p3,p4). Если знак угла – отрицательный, понимаем, что он против часовой стрелки, иначе – по часовой стрелке.
Следует заметить, что, зная коэффициенты, для нахождения угла пересечения, координаты уже не нужны. Листинг таков: