Как понять что ряд сходится или расходится
Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения
Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.
Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.
Базовые тезисы
a k является общим или k –ым членом ряда.
Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.
Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.
Мы доказали, что числовой ряд сходится.
Мы доказали, что числовой ряд расходится.
Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.
Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.
Приведем примеры для каждого случая соответственно:
Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.
Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.
Подробно разберем несколько характерных вариантов
Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.
Особенности сходящихся рядов
Проанализируем свойства для определенных случаев
Разложим исходный вариант:
Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся
Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Как определить сходимость знакоположительного ряда.
Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.
Как сравнивать ряды
Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.
Первый признак
Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.
Второй признак
Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.
Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.
Третий признак
Рассмотрим третий признак сравнения.
Признак Даламбера
Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.
Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.
Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0
Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1
Ряд является сходящимся.
Следовательно, ряд является расходящимся.
Радикальный признак Коши
Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.
Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.
Интегральный признак Коши
, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.
При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.
Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.
Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.
Признак Раабе
Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.
Исследование на абсолютную сходимость
Расходимость знакопеременных рядов
Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.
Признаки для условной сходимости
Признак Лейбница
Ряд условно сходится.
Признак Абеля-Дирихле
∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.
Как понять что ряд сходится или расходится
Ряды и их приложения
1 Теоретическое введение
Пусть дана последовательность чисел 
Выражение вида
 | (1.1) |
называется числовым рядом. Числа 
называются членами (элементами) ряда; 
— первый член, 
— второй член, …, 
— n-ый или общий член ряда.
Сумма 
первых n членов числового ряда:
называется его частичной суммой. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют последовательность частичных сумм:
Числовой ряд, получающийся из ряда (1.1) отбрасыванием его первых n членов, называется остатком числового ряда (1.1) и обозначается 
:
Определение. Числовой ряд (1.1) называемся сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм:
Число S в этом случае называется суммой ряда (1.1).
Если же предел последовательности частичных сумм 
равен бесконечности или не существует, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.
Для исследования числовых рядов используются признаки сходимости, по которым можно установить сходится ряд или расходится. Приведем здесь те признаки, которые используются для выполнения типового расчёта
Для знакоположительных рядов (рядов с положительными членами)справедлив
Признак сравнения, связанный с пределом. Пусть даны два знакоположительных ряда 
(ряд А) и 
(ряд В) и существует предел
,
Тогда, если сходится ряд (В), то сходится и ряд (А). Если расходится ряд (В), то расходится и ряд (А). Т.е. ряды (А) и (В) ведут себя одинаково.
Признак сравнения, связанный с пределом, справедлив, в частности, в том случае, когда 
и 
эквивалентные последовательности, т.е. 
. Эквивалентность последовательностей обозначается 
.
В качестве ряда, с которым удобно производить сравнение рядов, часто используется ряд 
, который называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле. Этот ряд сходится при p>1 и расходится при 
.
При этом удобно использовать следующее свойство многочленов: многочлен 
при 
эквивалентен своему слагаемому 
, т.е. 
. Справедливо и более общее утверждение: алгебраическая сумма степенных функций с различными положительными степенями эквивалентна при своему слагаемому, в котором степень наибольшая. Например, при
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. В нашем случае 
. Воспользуемся признаком сравнения, связанным с пределом. Согласно приведенному выше свойству многочленов, числитель рассматриваемой дроби 
при 
эквивалентен слагаемому 
, знаменатель дроби 
при этом эквивалентен слагаемому 
, тогда
Ряд из 
отличается от обобщенного гармонического при 
только множителем 
и поэтому сходится. Следовательно, ряд из 
сходится по признаку сравнения, связанному с пределом.
Для знакоположительных рядов также часто используется
Признак Даламбера. Пусть дан знакоположительный ряд 
и существует предел 
. Тогда при 
ряд сходится, при 
ряд расходится.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. Находим 
, 
.
Так как 
, то данный ряд сходится по признаку Даламбера.
Для знакопеременных рядов, в которых встречаются как положительные так и отрицательные слагаемые, справедлив признак абсолютной сходимости.
Признак абсолютной сходимости. Если для знакопеременного ряда
 | (1.2) |
сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
то заданный ряд (1.2) также сходится.
Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым. Это означает, что существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, в то время как ряды, составленные из абсолютных величин их слагаемых, расходятся. В связи с этим вводятся следующие определения.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
 , | (1.3) |
Знакочередующиеся ряды исследуют с помощью достаточного признака сходимости Лейбница.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (1.3) абсолютные величины членов не возрастают: 
и общий член ряда стремится к нулю: 
, то ряд сходится.
Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, для остатка ряда справедлива оценка:
Т.е. остаток ряда по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого слагаемого этого остатка.
1.2 Функциональные ряды
Пусть дана последовательность функций 
, n=1, 2, 3, …, определённых на множестве D.
Определение. Выражение вида
называется функциональным рядом. Множество всех точек, для которых функциональный ряд сходится, называются областью его сходимости. Соответственно, множество всех точек, для которых ряд сходится абсолютно, называется областью абсолютной сходимости.
,
где 
и коэффициенты ряда 
— постоянные числа. При 
степенной ряд имеет вид:
 | (1.4) |
Теорема Абеля. Ели ряд (1.4) сходится не при всех значениях х, но сходится в некоторой точке 
, то существует число R>0, называемое радиусом сходимости, такое, что ряд абсолютно сходится при 
и расходится при 
.
Из теоремы следует, что имеется интервал (-R; R) такой, что внутри этого интервала ряд (1.4) сходится абсолютно, а вне этого интервала ряд расходится (рис. 1). При 
ряд может сходиться абсолютно или условно, может расходиться. Этот вопрос решается индивидуально для каждого конкретного ряда.
Одним из способов нахождения радиуса сходимости является исследование степенного ряда на абсолютную сходимость по признаку Даламбера. Найдем предел:
.
Пусть существует 
, обозначим этот предел 
, тогда 
.
Если 
, или 
, то ряд (1.4) сходится абсолютно. Если 
, или 
, то ряд (1.4) расходится. Если 
или 
, ряд может как сходиться, так и расходиться.
Свойства степенных рядов запишем в виде следующих теорем.
Теорема 1. Пусть степенной ряд (1.4) имеет радиус сходимости R>0. Тогда ряды, полученные из (1.4) почленным дифференцированием и интегрированием имеют тот же радиус сходимости.
Теорема 2. Степенной ряд (1.4) в каждой точке его интервала сходимости обладает следующими свойствами:
— его сумма является непрерывной функцией;
— его можно почленно дифференцировать и интегрировать, то есть, если 
, то
и 
Путь дана бесконечно дифференцируемая в точке х=а функция f(x). При некоторых условиях её можно представить в виде степенного ряда, который называется рядом Тейлора:
 | (1.5) |
В частном случае, при а=0 ряд (1.5) принимает вид:
Этот ряд называется рядом Маклорена для функции f(x).
Приведем разложение в степенные ряды основных элементарных функций.
На всей числовой оси справедливы разложения:
 | (1.6) |
 | (1.7) |
Следующие формулы справедливы в интервале (-1; 1):
=
. 
Многие практически важные определенные интегралы не могут быть вычислены по формуле Ньютона-Лейбница, так как первообразная не всегда выражается в элементарных функциях. Однако если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, то этот ряд можно почленно проинтегрировать, а полученный ряд вычислить с наперед заданной точностью.
2 Содержание типового расчёта
1. Исследовать заданный числовой ряд на сходимость. Если он сходится, найти сумму ряда, исходя из определения, т.е. как предел частичных сумм.
3 Примеры выполнения типового расчёта
1. Исследовать сходимость и найти сумму числового ряда:
Решение. Исследуем сходимость ряда:
Ряд с общим членом 
сходится как обобщенный гармонический ряд при 
, следовательно, ряд с общим членом 
сходится по признаку сравнения, связанному с пределом.
Преобразуем 
в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов:
Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей, так как знаменатели у них одинаковые:
Полученное равенство должно выполнять тождественно, т.е. оно должно быть справедливо не только для любого натурального n, но и для любого действительного переменного. Подставив в это равенство корни знаменателя исходной дроби, получим значения коэффициентов А, В, С:
Запишем частичную сумму ряда:
.
Нетрудно заметить, что дроби со знаменателями 5; 6; 7; …; n взаимно сокращаются. После сокращения в выражении 
остаются только дроби со знаменателями меньше 5 и больше n:
Сумма ряда 
в этом случае равна:
Ответ: ряд сходится, его сумма равна 
.
Решение. 2.1. Воспользуемся разложением функции sinx в степенной ряд (1.7) и умножим этот ряд на
, получим:
 . | (1.8) |
Для нахождения области сходимости исследуем полученный ряд на абсолютную сходимость по признаку Даламбера.
Рассматриваемый предел равен нулю, т.е. меньше единицы для любых х. Следовательно, полученный ряд сходится абсолютно при любом х.
Проинтегрируем обе части равенства (1.8) на отрезке [0; 1,5]:
.
Воспользуемся правилом оценки погрешности знакочередующегося ряда по признаку Лейбница. При 
, при 
. При вычислении остановимся на слагаемом 
:
2.2. Разложим подынтегральную функцию 
в степенной ряд по степеням х Для этого в формуле разложения функции 
в степенной ряд (1.6) заменим х на -х 2 :
Полученный ряд сходится при любом х (проверьте самостоятельно). Следовательно, его можно почленно интегрировать на любом отрезке и, в частности, на отрезке [0;1]:
Получен знакочередующийся ряд, сходящийся по признаку Лейбница. Используем правило оценки погрешности для знакочередующегося ряда. При 
, при 
. Следовательно, для получения заданной точности можно при расчёте остановиться на слагаемом 
:
4 Оформление отчёта
В отчёте необходимо привести все проделанные выкладки.
По первой задаче назвать признаки сходимости, использованные при его исследовании. В ответе записать сумму ряда в десятичных дробях.
По второй и третьей задачам найти область сходимости рядов, полученных при разложении подынтегральной функции, обосновать точность полученного при расчёте результата. В ответе записать значение интеграла в десятичных дробях с четырьмя знаками после запятой и значение n при расчёте частичной суммы ряда.