Как понять что векторы компланарны
Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.
 |
| рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
 | 1 | 1 | 1 |  |
| 1 | 2 | 0 | ||
| 0 | -1 | 1 | ||
| 3 | 3 | 3 |
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
к 3-тей строке добавим 2-рую
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Компланарные векторы и условие компланарности
В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.
Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.
Условия компланарности векторов
Примеры решения задач на компланарность векторов
Исследуем на компланарность векторы
Как решить?
Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:
Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не являются компланарными.
Докажем, что три вектора
Как решить?
Находим смешанное произведение данных векторов:
Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.
Ответ: векторы являются компланарными.
Проверим, компланарны ли векторы
Как решить?
Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:
К 3-ей строке прибавляем 2-ю:
Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.
Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.
Какие векторы называют компланарными
Компланарные векторы – это векторы, которые лежат в одной плоскости, или параллельны какой-либо плоскости.
Рассмотрим три вектора в трехмерном пространстве. Любые два из них будут компланарными всегда. Поэтому, компланарность проверяют минимум для трех векторов.
Почему любые два вектора всегда компланарны
Поясним факт, что любые два вектора будут компланарными.
Для начала вспомним, какие векторы называют равными. Равны векторы, у которых совпадают три характеристики: длина, направление, соответственные координаты.
При параллельном переносе вектор не поворачивается. Этот новый вектор \( \vec
\[ \vec = \vec
Если два вектора равны, то вместо одного из них мы сможем использовать второй, когда это будет удобным для нас.
Проделаем теперь те же операции с каким-либо другим вектором \( \vec \). В результате получим вектор \( \vec
Любые два вектора можно параллельным переносом сдвинуть так, чтобы совместить их начальные, или конечные точки. Значит, через эти векторы можно провести пересекающиеся прямые. А такие прямые будут лежать в одной плоскости.
Таким образом, любые два вектора всегда компланарны.
Например, любые два орта Декартовой прямоугольной системы координат компланарны, а тройка ортов – некомпланарные векторы. Подробнее об ортах тут (откроется в новой вкладке).
Условие компланарности
Найдем смешанное произведение трех векторов.
Если такое произведение будет равно нулю, то три вектора компланарные.
Условие компланарности векторов:
\[\large \boxed < \left( \vec, \vec , \vec
Как вычислить смешанное произведение
Смешанное произведение можно обозначить еще одним способом:
Результат смешанного произведения – это число. Если число равно нулю, то векторы компланарны.
Как применять смешанное произведение
Если три вектора не компланарны, то на них, как на сторонах, можно построить параллелепипед, или пирамиду.
С помощью смешанного произведения можно рассчитывать объемы параллелепипедов или треугольных пирамид, построенных на трех некомпланарных векторах.
Примечание:
Определитель может быть равен отрицательному числу. А объем может быть либо нулевым, либо положительным. Поэтому, если при вычислении объема определитель будет равен отрицательному числу, знак минус не учитываем.
Рисунок 2 поясняет, как с помощью векторов на ребрах параллелепипеда можно рассчитать его объем
Рисунок 3 поясняет, как с помощью векторов на ребрах пирамиды можно рассчитать ее объем
Смешанное произведение векторов в физике — работа вращающей силы
Пусть цилиндрическое тело вращается под действием силы. Ось вращения проходит через ось симметрии тела.
Работа вращающей силы – это смешанное произведение векторов \( \vec <\omega>\), \(\vec < r>\) и \(\vec < F>\)
\[ \large \boxed < dA = \left( \vec
Пояснения:
Линейная скорость – это векторное произведение радиуса окружности на угловую скорость:
Расстояние, \( \vec
\[ \vec
Небольшая работа dA – это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения
\[ dA = \left( \vec
Компланарные векторы
Урок 37. Геометрия 10 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Компланарные векторы»
Ранее мы ввели понятие вектора в пространстве, понятие равных векторов, правила сложения и вычитания векторов, а также произведение вектора на число.
И все теоретические аспекты векторов в пространства практически совпадают с теорией векторов на плоскости. За исключением правила многоугольника сложения нескольких векторов. Многоугольник сложения в пространстве может быть и пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости.
Сегодня мы с вами познакомимся с существенным и одним из главных отличий векторов на плоскости и векторов в пространстве. Мы введём понятие компланарных векторов.
Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Но в связи с тем, что от любой точки пространства можно отложить вектор равный данному, и притом только один, можно это определение переформулировать так.
Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Понятно, что любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести единственную плоскость.
Если же рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными.
Компланарными они будут в том случае, когда среди них есть пара коллинеарных векторов.
Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко изобразить равный в этой плоскости.
Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов.
прямоугольный параллелепипед.
Компланарны ли векторы?
а) 
, 
, 
б) 
, 
, 
Первой рассмотрим тройку 
.
Через векторы и проведём плоскость ACC1.
Рассмотрим следующую тройку векторов. 
.
В этом задании мы, пользуясь определением, выяснили компланарны данные тройки векторов или нет.
Помимо определения компланарных векторов есть ещё и признак компланарности трёх векторов.
Если вектор 
можно разложить по векторам 
и 
, то есть представить его в таком виде 
, где x и y некоторые числа. То векторы , и 
компланарны.
Докажем данный признак.
Рассмотрим два неколлинеарных вектора и , отложим их от некоторой точки О. Далее проведём через них плоскость.
Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы x и y.
По правилу параллелограмма построим вектор суммы векторов x и y. Полученный вектор суммы равен вектору . А по рисунку становится понятно, что векторы , и действительно лежат в одной плоскости, а значит, они компланарны.
Так мы доказали признак компланарности трёх векторов. Но справедливо и обратное утверждение, которое можно считать свойством трёх компланарных векторов.
Если векторы , и компланарны, а векторы , не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Итак, воспользуемся тем, векторы компланарны, то есть лежат в одной плоскости. А из курса планиметрии известно, что любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Как раз векторы и являются такими по условию.
Тогда отложим векторы , и от некоторой точки О плоскости.
Вектор равен сумме векторов 
и 
, каждый из которых коллинеарен векторам и соответственно. Опираясь на коллинеарность, можем вектор представить в виде произведения вектора и некоторого числа x, а вектор — в виде произведения вектора и некоторого числа y.
Отсюда получаем, что вектор равен сумме произведений вектора на число x и вектора на число y.
Тем самым мы смогли разложить вектор по векторам и .
Что и требовалось доказать.
Для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 среди данных троек векторов найти компланарные.
Первой рассмотрим тройку векторов 
.
Все эти векторы коллинеарны, так как являются противоположными рёбрами параллелепипеда. А для компланарности трёх векторов достаточно коллинеарности хотя бы двух из них (в начале урока мы рассматривали такой случай). Поэтому можно утверждать, что данные векторы компланарны.
Далее рассмотрим векторы 
, 
и 
.
Векторы 
и лежат в одной плоскости, а вектор 
пересекает её. Поэтому можно сказать, что данные векторы не компланарны.
Следующей рассмотрим тройку векторов , и 
.
Среди них есть пара коллинеарных векторов, и . А значит, векторы данной тройки будут компланарны.
Осталось рассмотреть тройку векторов , и 
.
В плоскости ABCD лежит вектор . И вектор , равен вектору 
. Но для вектора в этой плоскости не найдётся равный, так как он пересекает её. Значит, векторы данной тройки не будут являться компланарными.
Так, пользуясь определением, мы нашли две тройки компланарных векторов.
Задача. 
тетраэдр. Точки 
и 
— середины сторон 
и 
. Доказать, что 
. Компланарны ли векторы 
, 
и 
?
Итак, сначала проведём доказательство.
Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве, можно записать, что 
. С другой стороны вектор 
.
Сложим покомпонентно эти два равенства.
Векторы 
и 
, а также 
и 
противоположны, ведь их длины равны и они противоположно направлены. А значит, каждая из этих сумм равна нулевому вектору.
Тогда мы получаем, что .
Что и требовалось доказать.
Теперь ответим на вопрос, компланарны ли векторы , и .
Разделим обе его части равенства, доказанного выше, на 2.
Так мы записали разложение вектора 
по векторам и , где оба коэффициента разложения равны 
.
Тогда по признаку компланарных векторов, данные векторы компланарны.
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня мы ввели понятие компланарных векторов.
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
На практике удобнее использовать такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Так же мы выяснили, что любые два вектора всегда компланарны, а вот три вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
В связи с этим мы доказали признак компланарности векторов.
Если вектор можно разложить по неколлинеарным векторам и , то векторы , и 
компланарны.
Справедливо также и обратное утверждение.
Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.