Многочлен в математике что это

Что такое многочлен

Часто путают понятия одночлена и многочлена.

Давайте разберемся, что называют одночленом, а что многочленом. Прежде всего, вспомним, что называли одночленом в уроке «Одночлены».

Обратите внимание, что «внутри» одночлена (между буквами и числовым коэффициентом) есть только знак умножения. Например, в одночлене: 3ab = 3 · a · b

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

Примеры многочленов: a + 2b 2 − c; 3t 5 − 4b; 4 − 6xy

Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов.

Рассмотрим многочлен подробнее.

Возникает вопрос, почему многочленом называют алгебраическую сумму одночленов, если в многочлене присутствует знак минуса.

Это объясняется тем, что на самом деле знак « − » относится к числовому коэффициенту одночлена, который стоит справа от знака.

Любой многочлен можно записать по правилу знаков как сумму одночленов.

В многочлене знак, который стоит слева от одночлена относится к числовому коэффициенту самого одночлена.

Как найти степень многочлена

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

То есть, чтобы найти степень многочлена, нужно сначала найти
степень каждого одночлена, который входит в состав многочлена.

Степени многочленов

Любой одночлен является многочленом. В самом деле, любой одночлен, по сути, является многочленом, который состоит всего из одного одночлена.

Примеры таких многочленов: 2a 2 b; −3d 3 ; a.

Источник

Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Рассмотрим еще определения.

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Коэффициенты членов многочлена

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

Источник

Многочлен стандартного вида

Определение многочлена

Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».

Одночлен — это произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.

Рассмотрим примеры многочленов:

Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:

Этот же многочлен можно записать вот так:

Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.

Многочлен вида 10x − 3x 2 + 7 называется трехчленом.

Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.

Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x − b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.

Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.

Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:

Такие выражения состоят из свободных членов.

Коэффициенты многочлена

Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.

Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.

Например:

Дан многочлен 2x + 5x − 18y

Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.

Многочлен стандартного вида

Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.

Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.

К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.

Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.

Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.

Дан красавец многочлен: 3x + 5xy 2 + x − xy 2

Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Степень многочлена

Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.

Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен 6x + 4xy 2 + x + xy 2

Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:

Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy 2 — многочлен третьей степени.

Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy 2 + x + xy 2 — многочлен третьей степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.

В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.

Пример:

Дан многочлен 6xx 2 + 5xx 2 − 3xx 3 − 3x 2 x

Приведем его к стандартному виду: 6xx 3 + 5xx 2 − 3xx 3 − 3x 2 x = 6x 4 + 5x 3 − 3x 4 − 3x 3

Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:

Практика

Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

Многочлен приведен к стандартному виду.

Ответ: x 4 + x 2 y 3

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.

Источник

Многочлены. Действия с многочленами.

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Многочлен – это сумма одночленов. Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами данного многочлена. Если многочлены состоят из двух или трех слагаемых, то их можно называть двучленами или трехчленами соответственно.

Стандартный вид многочлена

Многочлен называется приведенным к стандартному виду, если он не имеет подобных слагаемых, и каждый его член имеет также стандартный вид.

Вспомним, что слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть или не имеющие буквенной части называют подобными. Если такие слагаемые есть, то их нужно сложить или вычесть, это действие называют приведением подобных слагаемых.

13х 2 –6х+ 11х 2

13х 2 –6х+11х 2 =24х 2 –6х

6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16

Данный многочлен имеет две группы подобных слагаемых, одна выделена красным цветом, вторая синим цветом, слагаемое –16 не имеет подобных, поэтому его просто перепишем. Приводим подобные слагаемые и получаем многочлен стандартного вида:

6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16= –3а 3 с 4 +77х–16

Степень многочлена

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. При этом многочлен должен быть записан в стандартном виде. Рассмотрим на примерах, как определить степени многочленов.

4с 6 +7а 9 –18х

Степень многочлена, записанного в стандартном виде, равна 9, так как одночлен 7а 9 имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с 6 и –18х. Пример №5.

13х 4 у 7 +12х 3 у 6 –13

степень данного многочлена стандартного вида находим по наибольшей степени каждого одночлена: одночлен 13х 4 у 7 имеет 11 степень, так как складываем показатели 4 и 7; одночлен 12х 3 у 6 имеет соответственно 9 степень, а –13 имеет степень равную нулю (не содержит переменных). Таким образом, получается, что наибольшая степень равна 11, значит и степень всего многочлена равна 11.

6а 5 +8ас+2а 5 –11ас

Данный многочлен не является многочленом стандартного вида, поэтому сначала приведем подобные слагаемые, получим 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас=8а 5 –3ас. Теперь найдем степень у каждого одночлена: у 8а 5 пятая степень, у 3ас – вторая (каждая переменная имеет первую степень). Значит, у многочлена 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас степень равна 5.

Сложение и вычитание многочленов

Многочлены можно как складывать, так и вычитать. То есть сумму или разность многочленов можно представить в виде многочлена стандартного вида. Рассмотрим на примерах сложение и вычитание многочленов.

Пример №7. Выполним сложение многочленов:

6х 2 +8х–11 и –9х 2 +3х+19

Сначала составим их сумму (6х 2 +8х–11) + (–9х 2 +3х+19), теперь раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то знаки у слагаемых в скобках не изменяются:

6х 2 +8х–11–9х 2 +3х+19

Теперь приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:

Пример №8. Выполним вычитание многочленов:

7х 5 +12х 3 –24 и 2х 5 +36х 3 –11

Составим разность многочленов (7х 5 +12х 3 – 24) – (2х 5 +36х 3 –11), раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить знаки у слагаемых в скобках на противоположные:

7х 5 +12х 3 – 24 – 2х 5 –36х 3 +11

Приведем подобные слагаемые и получим многочлен:

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.

Пример №9. Умножим одночлен 7х на многочлен 6х 2 +3х–5. Запишем в виде произведения:

выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х 2 +7х•3х–7х•(–5) и получим:

Запись данного выражения можно делать короче, выполняя промежуточные действия устно:

7х•(6х 2 +3х–5)= 42х 3 +21х 2 +35х

92с(–2с+10а 6 )= –184с 2 +920са 6

Здесь выполнение умножения одночлена на многочлен выполнено без записи промежуточных действий умножения.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Пример №11. Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).

Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); получим:

Получили многочлен в стандартном виде. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:

Пример №12. Умножим многочлен 8х 3 –12х на многочлен 3х 5 –10х. Имеем:

(8х 3 –12х)(3х 5 –10х)=8х 3 •3х 5 +8х 3 •(–10х)–12х•3х 5 –12х•(–10х)=24х 8 –80х 4 –36х 6 +120х 2

Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лучше расписывать, чтобы не допустить ошибок.

Разложение многочлена на множители

Существуют такие способы для разложения многочлена на множители, как вынесение общего множителя за скобки и разложение на множители способом группировки.

Способ №1. Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки – это представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена.

6х 4 – 20х 2 =2х 2 (3х 2 –10)

При вынесении за скобки степеней помним правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем, а основание оставляем прежним.

Пример №14. Разложим на множители многочлен:

12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3

12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3 =12сх 2 (с 4 х 5 –3с 5 +6ах)

Сделаем вывод, что вынесение общего множителя за скобки – это выполнение действия деления каждого члена многочлена на его общий делитель.

Способ №2. Способ группировки.

Чтобы выполнить разложение на множители способом группировки необходимо следовать определенному алгоритму (ключевое слово в данном способе – группировка). Группировка слагаемых выполняется таким образом, чтобы в каждой группе можно было выполнить вынесение общего множителя за скобки, а в скобках оставались одинаковые выражения, это обычно определяется устно.

Пример №15. Разложим на множители многочлен:

Сгруппируем, например, слагаемые первое с последним, а второе с третьим (можно было первое с третьим, а второе с последним):

Теперь видим, что в каждой группе есть множитель, который можно вынести за скобки:

В полученном выражении видно, что в обеих скобках есть сумма х и d, вынесем эту сумму снова за скобки:

Таким образом, мы получили произведение двух выражений, то есть разложили данный многочлен на множители.

Пример №16. Разложим на множители многочлен:

Сгруппируем по порядку, чтобы знаки у слагаемых в скобках были одинаковые:

Вынесем общий множитель в каждой группе:

Вынесем за скобки одинаковые выражения:

Пример №17. Разложим на множители многочлен:

Сгруппируем по порядку, обращая внимание на знак перед х 2 :

х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)

Если перед первым слагаемым, которое мы заключаем в скобки, стоит знак «минус», то мы ставим его перед скобкой, а знаки у слагаемых в скобках изменяем на противоположные. Тогда у нас в обеих скобках получатся одинаковые знаки.

Выносим за скобки общий множитель. В данном случае он есть только в первых скобках:

х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)

Выносим за скобки одинаковые выражения, обращая внимание на то, что перед второй скобкой не записан общий множитель, значит, он равен 1:

х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)=(х 2 –1)(х 3 –1)

Источник

Многочлены

Определения и примеры

Многочлен — это сумма одночленов.

Например, выражение 2x + 4xy 2 + x + 2xy 2 является многочленом. Проще говоря, многочлен это несколько одночленов, соединенных знаком «плюс».

Но это действие нагромождает многочлен скобками, поэтому вычитание на сложение не заменяют, учитывая в будущем, что каждый одночлен многочлена будет рассматриваться вместе со знаком, который перед ним располагается.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.

Если многочлен состоит из двух членов, то такой многочлен называют двучленом. Например, многочлен x + y является двучленом.

Если многочлен состоит из трёх членов, то такой многочлен называют трехчленом. Например, многочлен x + y + z является трехчленом.

Если какой-нибудь многочлен содержит обычное число, то это число называют свободным членом многочлена. Например, в многочлене 3x + 5y + z + 7 член 7 является свободным членом. Свободный член многочлена не содержит буквенной части.

Многочленом также является любое числовое выражение. Так, следующие выражения являются многочленами:

Сложение многочленов

К многочлену можно прибавить другой многочлен. Например, прибавим к многочлену 2x + y многочлен 3x + y.

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «плюс», указывая тем самым, что мы складываем многочлены:

Теперь раскрываем скобки:

Далее приведём подобные слагаемые:

Таким образом, при сложении многочленов 2x + y и 3x + y получается многочлен 5x + 2y.

Разрешается также сложение многочленов в столбик. Для этого их следует записать так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполнить самó сложение. Решим предыдущий пример в столбик:

Если в одном из многочленов окажется слагаемое, которое не имеет подобного слагаемого в другом многочлене, оно переносится к результату без изменений. Как говорят при сложении обычных чисел — «сносится».

Решим этот же пример с помощью скобок:

Пример 3. Сложить многочлены 7x 3 + y + z 2 и x 3 − z 2

Решим этот пример в столбик. Запишем второй многочлен под первым так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом:

Решим этот же пример с помощью скобок:

Вычитание многочленов

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «минус», указывая тем самым, что мы выполняем вычитание:

Теперь раскроем скобки:

Приведём подобные слагаемые. Слагаемые y и −y являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю

Приводя подобные слагаемые, мы обычно складываем их. Но в качестве знака операции можно использовать знак одночлена. Так, приводя подобные слагаемые y и −y мы сложили их по правилу приведения подобных слагаемых. Но можно не складывая, записать их друг за другом

Получится тот же результат, поскольку выражения y + (−y) и y − y одинаково равны нулю:

Возвращаемся к нашему примеру. Вычеркнем члены y и −y :

Или без сложения, записав члены друг за другом:

Решим этот же пример в столбик:

Пример 2. Вычесть из многочлена 13x − 11y + 10z многочлен −15x + 10y − 15z

Решим этот пример с помощью скобок, а затем в столбик:

Следует быть внимательным при вычитании в столбик. Если не следить за знаками, вероятность допустить ошибку очень высокá. Нужно учитывать не только знак операции вычитания, но и знак располагающийся перед слагаемым.

Так, в данном примере из слагаемого 10z вычиталось слагаемое −15z

Складывая или вычитая многочлены при помощи скобок, первый многочлен в скобки можно не заключать. Так, в данном примере из многочлена 13x − 11y + 10z требовалось вычесть многочлен −15x + 10y − 15z

Вычитание было записано так:

Но первый многочлен можно не заключать в скобки:

Заключение первого многочлена в скобки на первых порах позволяет начинающим наглядно увидеть, что второй многочлен полностью вычитается из первого, а не из определенной его части.

Представление многочлена в виде суммы или разности

Многочлен можно представить в виде суммы или разности многочленов. По сути это обратное действие раскрытию скобок, поскольку идея подразумевает, что имеется некий многочлен, и из него можно образовать сумму или разность многочленов, заключив в скобки некоторые из членов исходного многочлена.

В скобки также можно было бы заключить члены 3x, 5y, z и прибавить это выражение в скобках к члену 7

Представляя многочлен в виде разности многочленов, нужно придерживаться следующего правила. Если члены заключаются в скобки после знака минуса, то этим членам внутри скобок нужно поменять знаки на противоположные.

Но мы видим, что после знака минуса следует заключение членов z и 7 в скобки. Поэтому этим членам нужно поменять знаки на противоположные. Делать это нужно внутри скобок:

Вообще, представляя многочлен в виде суммы или разности, можно придерживаться следующих правил:

Если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены внутри скобок записываются со своими же знаками.

Если перед скобками ставится знак «минус», то все члены внутри скобок записываются с противоположными знаками.

Пример 1. Представить многочлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 в виде суммы каких-нибудь двучленов:

Пример 2. Представить многочлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 в виде разности каких-нибудь двучленов:

Перед вторыми скобками располагался минус, поэтому члены 5x 2 и −4 были записаны с противоположными знаками.

Многочлен и его стандартный вид

Многочлен, как и одночлен, можно привести к стандартному виду. В результате получается упрощенный многочлен, с которым удобно работать.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные слагаемые в этом многочлене. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением его подобных членов.

Подобные члены многочлена это члены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Как и у одночлена, у многочлена имеется степень. Чтобы определить степень многочлена, сначала его нужно привести к стандартному виду, затем выбрать тот одночлен, степень которого является наибольшей из всех.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

В некоторых многочленах прежде всего требуется привести к стандартному виду одночлены, входящие в него, и только потом приводить сам многочлен к стандартному виду.

Например, приведем многочлен 3xx 4 + 3xx 3 − 5x 2 x 3 − 5x 2 x к стандартному виду. Этот многочлен состоит из одночленов, которые не приведены к стандартному виду. Сначала приведём их к стандартному виду:

Пример 2. Привести многочлен 3ab + 4cc + ab + 3c 2 к стандартному виду.

Далее приведём подобные члены:

Пример 3. Привести многочлен 4x 2 − 4y − x 2 + 17y − y к стандартному виду.

Приводя подобные члены, можно использовать скобки. Для этого подобные члены следует заключить в скобки, затем объединить выражения в скобках с помощью знака «плюс».

Теперь в скобках выполним приведение подобных членов:

В получившемся выражении (3x 2 ) + (12y) раскроем скобки:

Конечно, такой подход нагромождает выражение, но зато позволяет свести к минимуму допущение ошибок.

Пример 4. Привести многочлен 12x 2 − 9y − 9x 2 + 6y + y к стандартному виду.

Заключим в скобки подобные слагаемые и объединим их с помощью знака «плюс»

Далее вычисляем содержимое скобок:

Избавляемся от скобок при помощи раскрытия:

Изменение порядка следования членов

Многочлен это сумма одночленов. То есть исходный двучлен двучлен x − y является суммой x и −y

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Тогда x и −y можно поменять местами

Пример 2. В двучлене −y − x поменять местами члены.

Двучлен −y − x это сумма членов −y и −x

Таким образом, решение можно записать покороче:

Пример 3. Упорядочить члены многочлена x + xy 3 − x 2 в порядке убывания степеней.

Умножение одночлена на многочлен

Одночлен можно умножить на многочлен. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Вычислим получившиеся произведения:

Умножение желательно выполнять в уме. Так решение получается короче:

В некоторых примерах одночлен располагается после многочлена. В этом случае опять же каждый член многочлена нужно перемножить с одночленом и полученные произведения сложить.

Например, предыдущий пример мог быть дан в следующем виде:

В этом случае мы умножили бы каждый член многочлен (2x + y + 5) на одночлен 3x 2 и сложили бы полученные результаты:

Умножение одночлена на многочлен (или умножение многочлена на одночлен) основано на распределительном законе умножения.

Вообще, умножение одночлена на многочлен, да и распределительный закон умножения имеют геометрический смысл.

Допустим, имеется прямоугольник со сторонами a и b

Увеличим сторону b на c

Достроим отсутствующую сторону и закрасим для наглядности получившийся прямоугольник:

Теперь вычислим площадь получившегося большого прямоугольника. Он включает в себя желтый и серый прямоугольники.

или ширину умножить на длину, чтобы расположить буквы a, b и c в алфавитном порядке:

Таким образом, выражения a × (b + c) и ab + ac равны одному и тому же значению (одной и той же площади)

К примеру, пусть у нас имеется прямоугольник длиной 4 см, и шириной 2 см, и мы увеличили длину на 2 см

2 × (4 + 2) = 2 × 4 + 2 × 2 = 12.

Действительно, в получившемся большом прямоугольнике содержится двенадцать квадратных сантиметров:

Пример 2. Умножить одночлен 2a на многочлен a 2 − 7a − 3

Умножим одночлен 2a на каждый член многочлена a 2 − 7a − 3 и сложим полученные произведения:

Пример 3. Умножить одночлен −a 2 b 2 на многочлен a 2 b 2 − a 2 − b 2

Умножим одночлен −a 2 b 2 на каждый член многочлена a 2 b 2 − a 2 − b 2 и сложим полученные произведения:

Пример 4. Выполнить умножение −1,4x 2 y 6 (5x 3 y − 1,5xy 2 − 2y 3 )

Умножим одночлен −1,4x 2 y 6 на каждый член многочлена 5x 3 y − 1,5xy 2 − 2y 3 и сложим полученные произведения:

Пример 5. Выполнить умножение

Умножим одночлен на каждый член многочлена и сложим полученные произведения:

Выполняя короткие решения, результаты записывают сразу друг за другом вместе со знаком полученного члена. Рассмотрим поэтапно, как было выполнено короткое решение данного примера.

Сначала одночлен нужно умножить на первый член многочлена , то есть на . Умножение выполняется в уме. Получается результат . В исходном выражении ставим знак равенства и записываем первый результат:

После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению.

Следующим шагом будет умножение одночлена на второй член многочлена , то есть на . Получается результат . Этот результат является положительным, то есть со знаком плюс . В исходном выражении этот результат записывается вместе с этим плюсом сразу после члена

После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению.

Следующим шагом будет умножение одночлена на третий член многочлена , то есть на . Получается результат . Этот результат является отрицательным, то есть со знаком минус. В исходном выражении этот результат записывается вместе со своим минусом сразу после члена

Иногда встречаются выражения, в которых сначала нужно выполнить умножение одночлена на многочлен, затем опять на одночлен. Например:

Умножение также можно было бы выполнить сначала умножив (a + b) на с и полученный результат перемножить с членом 2

В данном случае срабатывает сочетательный закон умножения, который говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

То есть умножение можно выполнять в любом порядке. Это не приведёт к изменению значения изначального выражения.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Например, умножим многочлен x + 3 на y + 4

Заключим в скобки каждый многочлен и объединим их знаком умножения ×

Получаем умножение многочлена (x + 3) на одночлен 4. Выполним это умножение. Умножение необходимо продолжать в исходном примере (x + 3)(y + 4) = xy + 3y

Таким образом, при умножении многочлена (x + 3) на многочлен (y + 4) получается многочлен xy + 3y + 4x + 12.

По другому умножение многочлена на многочлен можно выполнить ещё так: каждый член первого многочлена умножить на второй многочлен целиком и полученные произведения сложить.

Решим предыдущий пример, воспользовавшись этим способом. Умножим каждый член многочлена x + 3 на весь многочлен y + 4 целиком и сложим полученные произведения:

В результате приходим к умножению одночлена на многочлен, которое мы изучили ранее. Выполним это умножение:

Получится тот же результат что и раньше, но члены полученного многочлена будут располагаться немного по другому.

Умножение многочлена на многочлен имеет геометрический смысл. Допустим, имеется прямоугольник, длина которого a и ширина b

Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:

То есть выражения (a + x)(b + y) и ab + xb + ay + xy тождественно равны

Представим, что у нас имелся прямоугольник, длиной 6 см и шириной 3 см, и мы увеличили его длину на 2 см, а ширину на 1 см

Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:

6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 32

(6 + 2)(3 + 1) = 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32

Действительно, в получившемся большом прямоугольнике содержится тридцать два квадратных сантиметра:

Пример 2. Умножить многочлен a + b на c + d

Заключим исходные многочлены в скобки и запишем их друг за другом:

Теперь умножим каждый член первого многочлена (a + b) на каждый член второго многочлена (c + d)

Пример 4. Выполнить умножение (−x − 2y)(x + 2y 2 )

Умножим каждый член многочлена (−x − 2y) на каждый член многочлена (x + 2y 2 )

Результат перемножения членов нужно записывать вместе со знаками этих членов. Рассмотрим поэтапно, как был решён данный пример.

Пример 5. Выполнить умножение (4a 2 + 2ab − b 2 )(2a − b)

Умножим каждый член многочлена (4a 2 + 2ab − b 2 ) на каждый член многочлена (2a − b)

В получившемся выражении можно привести подобные слагаемые:

Пример 6. Выполнить умножение −(a + b)(с − d)

Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то его можно вычислять в любом порядке.

Либо можно было перемножить −1 с первым многочленом (a + b) и результат перемножить с многочленом (с − d)

Пример 7. Выполнить умножение x 2 (x + 5)(x − 3)

Пример 8. Выполнить умножение (a + 1)(a + 2)(a + 3)

Итак, перемножим (a + 1) и (a + 2)

Полученный многочлен (a 2 + a + 2a + 2) перемножим с (a + 3)

Если быстрое перемножение многочленов на первых порах даётся тяжело, можно воспользоваться подробным решением, суть которого заключается в том, чтобы записать, как каждый член первого многочлена умножается на весь второй многочлен целиком. Такая запись хоть и занимает место, но позволяет свести к минимуму допущение ошибок.

Например, выполним умножение (a + b)(c + d)

Запишем как каждый член многочлена a + b умножается на весь многочлен c + d целиком. В результате придём к умножению одночлена на многочлен, выполнять которое проще:

Такая запись удобна при умножении двучлена на какой-нибудь многочлен, в котором содержится больше двух членов. Например:

Или при перемножении многочленов, содержащих больше двух членов. Например, умножим многочлен x 2 + 2x − 5 на многочлен x 3 − x + 2

Получили привычное для нас умножения одночленов на многочлены. Выполним эти умножения:

В получившемся многочлене приведём подобные члены:

Одночлены, входящие в получившийся многочлен, расположим в порядке убывания степеней. Делать это необязательно. Но такая запись будет красивее:

Вынесение общего множителя за скобки

Мы уже учились выносить общий множитель за скобки в простых буквенных выражениях. Теперь мы немного углубимся в эту тему, и научимся выносить общий множитель за скобки в многочлене. Принцип вынесения будет таким же, как и в простом буквенном выражении. Небольшие трудности могут возникнуть лишь с многочленами, состоящими из степеней.

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене x 2 + x + xy

Все члены данного многочлены имеют коэффициент единицу. Наибольший общий делитель модулей из этих единиц есть единица. Поэтому числовая часть выносимого за скобки множителя будет единицей. Но единицу в качестве коэффициента не записывают.

Каждый член многочлена представлен в виде произведения множителей, из которых состоят эти члены. Легко заметить, что во всех трёх произведениях общим сомножителем является x. Выделим его:

Этот множитель x и вынесем за скобки. Опять же при вынесении общего множителя за скобки каждое слагаемое исходного выражения делим на этот общий множитель. В нашем случае каждый член многочлена x × x + 1 × x + x × y нужно разделить на общий множитель x

В результате в скобках остаются члены, которые не имеют общих буквенных сомножителей, а модули коэффициентов этих членов не имеют общих делителей, кроме 1.

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2

Определим коэффициент общего множителя, выносимого за скобки. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 15, 12 и 3 это число 3. Значит, число 3 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.

Теперь определим буквенную часть общего множителя, выносимого за скобки. Её нужно выбирать так, чтобы в скобках остались члены, которые не содержат общего буквенного множителя.

Перепишем буквенные части исходного многочлена 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2 в виде разложения на множители. Это позволит хорошо увидеть, что именно можно вынести за скобки:

В итоге общим множителем, выносимым за скобки, будет множитель 3xy 2

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении x 2 + x

В данном случае за скобки можно вынести x

Не следует на письме подробно расписывать содержимое каждого члена, разлагая его на множители. Это легко делается в уме.

Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y 2 − 15y

Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y 2 − 15y 3

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 20x 4 − 25x 2 y 2 − 10x 3

Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в многочлене a m + a m + 1

Проверка на тождественность

Решение задачи с многочленами порой растягивается на несколько строк. Каждое следующее преобразование должно быть тождественно равно предыдущему. Если возникают сомнения в правильности своих действий, то можно подставить произвольные значения переменных в исходное и полученное выражение. Если исходное и полученное выражение будут равны одному и тому же значению, то можно быть уверенным, что задача была решена правильно.

Допустим, нам нужно вынести общий множитель за скобки в следующем многочлене:

В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 2x

2x + 4x 2 = 2 × 2 + 4 × 2 2 = 4 + 16 = 20

Теперь подставим значение 2 в преобразованное выражение 2x(1 + 2x)

2x(1 + 2x) = 2 × 2 × (1 + 2 × 2 ) = 4 × 5 = 20

2x + 4x 2 = 2 × 1 + 4 × 1 2 = 2 + 4 = 6
2x(1 + 2x) = 2 × 1 × (1 + 2 × 1 ) = 2 × 3 = 6

Пример 2. Вычесть из многочлена 5x 2 − 3x + 4 многочлен 4x 2 − x и проверить полученный результат, подставив вместо переменной x произвольное значение.

Видим, что при каждом преобразовании значение выражения при x = 2 не менялось. Это значит, что задача была решена правильно.

Источник