Множество чисел что это

Числовые множества

ЕГЭ по математике — экзамен чисто практический. Однако знания о том, какие бывают числа, необходимы при решении многих задач.

Натуральные числа — это числа, применяемые для счёта предметов. Натуральные числа можно использовать в качестве номеров.

Наименьшее натуральное число — единица¹. Числа 21, 249, 30988 являются натуральными. Все вместе они составляют множество натуральных чисел, обозначаемое буквой N:

Что же такое множество? Это одно из первичных понятий математики, т. е. таких, которые лежат в основе логической системы и уже не определяются через другие понятия. Интуитивно мы понимаем, что множество — это набор или совокупность элементов, объединенных каким-либо общим признаком.

Множества обычно обозначаются заглавными буквами. Множество натуральных чисел мы можем условно изобразить вот так:

Но числа бывают не только натуральными. Индийцы изобрели число ноль и отрицательные числа. Теперь они для нас привычны, но когда-то европейцы — древние греки и римляне — долгое время обходились без нуля. Сейчас нам трудно это представить.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль вместе составляют множество целых чисел, которое обозначается Z :

Например, получая в тригонометрическом уравнении серию решений, мы пишем: n ∈ Z, и это означает, что n — целое число.

Очевидно, множество целых чисел включает в себя множество натуральных:

Кроме целых чисел, однако, имеются ещё и дроби.

Стало быть, целые числа — частный случай дробей.

Долгое время — в античности — считалось, что любое число можно записать в виде дроби с числителем и знаменателем. Дело в том, что для древних греков числа и их соотношения были почти священны. Пифагорейцы говорили: «Числа правят миром». Они верили, что все основные принципы мироздания можно выразить языком математики, что соотношения чисел выражают гармонию, закон и порядок природы, перед которым склоняют голову даже олимпийские боги. Греческое искусство, особенно архитектура, подчинялось правилам, канонам. Греки точно установили, какими должны быть пропорции в архитектуре — например, отношение диаметра колонны к её длине — чтобы здание было гармоничным. И все эти пропорции были отношениями целых чисел.

Ещё раз повторим, в чём разница между рациональными и иррациональными числами.

7 : 11 = 0,636363636363.

Мы видим, что цифры повторяются, то есть дробь является периодической. Таким образом, любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечной или бесконечной периодической.

А вот в числе цифры не заканчиваются, и никакой периодичности их следования не наблюдается. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби.

Вместе оба множества — рациональных и иррациональных чисел — образуют множество действительных (или вещественных) чисел, которое обозначается R (от слова real).

Возникает вопрос: это всё? Все ли числа, какие только могут быть, содержатся в множестве действительных чисел? Или за его пределами ещё что-то есть?

Для успешной сдачи ЕГЭ других чисел не нужно. Да и, казалось бы, мы назвали все возможные числа. Но вот какой парадокс: положительные и отрицательные числа симметрично расположены на числовой прямой, верно? И при этом из положительных чисел можно извлечь квадратный корень, а из отрицательных — нельзя! Не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат даёт −1.

Оказывается, однако, что существует числовое множество, содержащее в себе множество R и бесконечное множество других чисел, не являющихся действительными. В этом множестве находится мнимая единица i, для которой верно i² = −1. И называется оно множеством комплексных чисел.

Комплексные числа служат естественным языком описания многих физических явлений. Те из вас, кто выбрал инженерную специальность (в особенности связанную с распространением волн, электротехникой и радиофизикой), непременно встретятся с ними. В отличие от действительных («вещественных») чисел, применяемых для описания материального, плотного мира «вещей», комплексные числа оказываются удобным инструментом для построения математических моделей волн и колебаний всевозможной природы.

Ну а будущим физикам наверняка интересно будет узнать, что элементарные частицы живут и взаимодействуют по законам именно комплексных чисел. Наукой, описывающей комплексный микромир, является квантовая физика.

¹ В школьной математике ноль не является натуральным числом. Мы ведь не используем его для счёта предметов. Ну какой здравомыслящий человек скажет: «На столе стоит ноль чашек»? 🙂

Источник

Что такое множество?

Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F ( friends ), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

Укажем, что смешанное число принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

12 thoughts on “Что такое множество?”

Источник

Содержание:

Будем рассматривать множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление.

Наиболее распространенные числовые множества:

Основные понятия о числовых множествах

Множество всех рациональных чисел является счетным множеством. Счетным является множество всех точек плоскости (пространства) имеющих рациональные координаты.

Множество всех действительных чисел является несчетным: оно имеет мощность, называемую континуумом.

Некоторое непустое подмножество А множества действительных чисел называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число К такое, что

Всякое число К с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества А.

Непустое подмножество А множества действительных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

В противоположность этому определению, множество А называется неограниченным сверху (снизу), если какое бы число К мы бы не предложили в качестве верхней (нижней) границы множества А, всегда найдется элемент этого множества, который будет больше (меньше) К.

Множество, неограниченное как сверху, так и снизу, называется неограниченным множеством.

Наименьшую из верхних граней непустого подмножества множества действительных чисел А называют точной верхней гранью этого множества и обозначают sup А. Наибольшую из нижних граней непустого подмножества множества действительных чисел А называют точной нижней гранью этого множества и обозначают inf А. Символы sup и inf являются сокращениями от supremum (самый верхний) и infimum (самый нижний).

Примем без доказательства утверждение о том, что всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Граничной точкой множества называется точка, у которой в любом содержащем ее открытом промежутке найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Сама граничная точка может, как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Соединения. Бином Ньютона

Рассмотрим совокупность n различных элементов. Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов:

называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.

Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.

Размещениями из п элементов поназывают их соединения, каждое из которых содержит ровно m различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.

Определим число размещений из n элементов по m.

Соединения из n элементов, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками .

Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Сочетаниями из n элементов по называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно m данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .

Делая в каждом из них m! возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из n элементов по m:

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты С»‘ с помощью так называемого треугольника Паскаля:

Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.

Комплексные числа

Действительное число а называется действительной частью комплексного числа — мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице. Два комплексных числа будут равны тогда и только тогда, когда При этом действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел, мнимая часть которых равна нулю . Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его действительная и мнимая части.

Операции сложения, вычитания и умножения над числами вида производятся по обычным правилам алгебры с единственным дополнительным условием: .

Операции над комплексными числами

Алгебраическую операцию сложения на множестве С можно задать следующим образом:

Учитывая, что через i обозначен корень уравнения т.е. или , можно определить умножение комплексных чисел:

Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , при возведении i в любую натуральную степень n, надо найти остаток от деления n на 4 и возвести i в степень, равную этому остатку.

Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа обратным будет число

Выражение запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :

Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число а можно записать в виде .

Число а-b называется сопряженным числу z = a + bi и обозначается .

Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа a + bi. Очевидно, что

Свойства сопряжения:

Каждому комплексному числу z = a + bi поставим в соответствие точку Z плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа а и b.

Тогда каждой точке Z(a,b) плоскости будет соответствовать единственное комплексное число a + bi. В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел С и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число a + bi с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты (a,b). При этом точки горизонтальной координатной оси Re изображают действительные числа и поэтому эту ось называют действительной осью, а по вертикальной оси Im откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось Im называется мнимой осью.

Расстояние от точки Z до начала координат есть действительное неотрицательное число р, которое называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается \z\ = p. Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки z называется аргументом z и обозначается arg z. Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть z = a + bi. Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа z находится

по формуле Аргумент числа z определяется из равенств

(3.1)

Запись числа z в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера,

то от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:

Пусть z и — сопряженные числа. Если z = а + bi, то = a- bi. Геометрически z и являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства

Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:

В показательной форме:

При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей. Аналогично,

(3 4)

При вsполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.

Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра:

Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.

Пусть . Комплексное число

называется корнем n-й степени из z, если

, т.е.:

Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или (здесь имеется в виду арифметический корень).

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до

. Следовательно,

Придавая А- различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно, k можно записать в виде k = nq + t, где . Тогда:

Т.е. значение аргумента при данном к отличается от значения аргумента при k = t на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях к получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше .

Пример:

Вычислить

Решение:

Представим число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:

Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа:

Отсюда полагая, что k = 0,1,2, получим:

Числовые множества и форма их представления

Множество, элементы которого являются действительными числами называется числовым множеством. В основном, числовые множества задаются в виде неравенств или в виде промежутков. Множество всех действительных чисел обозначается как

Пример:

Изобразите на координатой прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству. Запишите в виде промежутков.

Свойства объединения и пересечения числовых множеств

Некоторые свойства пересечения и объединения множеств подобны переместительным, сочетательным и распределительным свойствам сложения и умножения чисел.

Верные для множеств равенства, соответствующие свойствам для чисел не всегда верны.

Пример:

Графиком функции называется кубическая парабола.

Поэтому график функции проходит через начало координат и расположен в I и III четвертях. Если значение заменить его противоположным значением , тогда функция будет принимать противоположное значение: т.к. , то . Значит, каждой точке графика функции соответствует точка , симметричная относительно начала координат на данном графике. Таким образом, график функции симметричен относительно начало координат. По графику видно, что число , куб которого равен данному числу — единственное.

Свойства числовых множеств

Ограниченные числовые множества

С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:

∃ a ∈ : x a, ∀x ∈ X.

Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение граниченного множества.

Определение 1.27. Непустое числовое множество X называют ограниченным, если существует такое положительное число M, что

|x| M, ∀x ∈ X.

Определение 1.28. Элемент a из числового множества X называют максимальным (минимальным) элементом в X, если x a (соответственно, x > a) для любого x из X, и пишут: a = max X (соответственно, a = min X).

В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.

Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.

Замечание. Любое числовое множество, содержащее конечное число элементов, имеет максимальный и минимальный элементы.

Теорема 1.2 (принцип полноты Вейерштрасса). Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то существует число, которое является наименьшей верхней (соответственно, наибольшей нижней) границей этого множества, и это число единственно.

∃ c ∈ : x c y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Определение 1.29. Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Наименьшую из верхних границ множества X называют точной верхней границей или верхней гранью множества X и обозначают sup X (читают «супремум X») или sup x.

Итак, sup X = min| x c, ∀x ∈ X> и потому определение 1.29 равносильно следующему.

1. x a, ∀x ∈ X ;

С учетом определения 1.29 принцип полноты множества R в смысле Вейер-штрасса формулируется следующим образом:

Теорема 1.3. Непустое ограниченное сверху числовое множество имеет, притом единственную, точную верхнюю границу.

Аналогично вводится понятие точной нижней границы множества.

Определение 1.31. Пусть X ⊂ , X , ограничено снизу. Наибольшую из его нижних границ называют точной нижней границей или нижней гранью множества X и обозначают inf X (читают «инфимум X») или .

Характеристическими свойствами a = inf X, a ∈ , являются:

1) a x, ∀x ∈ X ; 2) ∀ε > 0 ∃ xε ∈ X : xε a + ε.

Лемма 1.2. Если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то a = sup X (соответственно a = inf X).

Следовательно, по определению 1.30 a = sup X.

Пример 1.6. Найти sup X, если X = [0, 1).

Неограниченные числовые множества

Определение 1.32. Если непустое числовое множество не является ограниченным сверху (снизу), то его называют неограниченным сверху (снизу).В символьной форме это определение принимает вид:

X ⊂ , X не ограничено сверху ⇒ ∀a ∈ ∃ x ∈ X : x>a.

В случае, если числовое множество X не ограничено сверху считают, что его точная верхняя граница равна +∞.

Из сказанного и теоремы 1.2 вытекает следующий результат.

Теорема 1.5. Непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество множества Z имеет максимальный (минимальный) элемент.

Теорема 1.6. Бесконечное подмножество натуральных чисел не ограничено сверху.

Теорема 1.7 (принцип Архимеда). Для любого числа a и любого положительного числа b найдется единственное целое число n₀ такое, что (n₀-1)b a n₀b.

Следствие 1. Для любого числа x ∈ существует единственное число k ∈ такое, что (достаточно в теореме положить b = 1). Такое число k называют целой частью числа x и обозначают через [x] или E (x).

Следствие 2. Для любого положительного числа ε существует натуральное число n такое, что 0 1/n ε.

Пусть ε — положительное число. По принципу Архимеда найдется такое n ∈ , что n > 1∕ε. Поскольку ε > 0, то n ∈ и 0 1/n ε.

Теорема 1.8 (о плотности в ). Для любых чисел a, b ∈ , a b, найдется рациональное число r такое, что a r b.

Число b — a положительно. По следствию 2 принципа Архимеда подберем натуральное число n₀ такое, что 0 1∕n₀ b—a. Далее, по принципу Архимеда по числу a и 1∕n₀ > 0 найдется m0 ∈ :

Докажем, что рациональное число m₀∕n₀ — искомое. Действительно,

Отсюда, a m_o∕n_o b.

Счетные и несчетные множества

При изучении множеств приходится по некоторым правилам сравнивать их между собой по запасу элементов. Изложим одно такое правило.

Пусть n — натуральное число, а N_n = : k n>. Множество X называют конечным, если существует такое n ∈ , что между множествами X и N_n можно установить биективное отображение, в противном случае множество X называют бесконечным.

Пример 1.7. Множество X натуральных четных чисел счетно, поскольку функция f : → X, f(n) = 2n, является биекцией.

Пример 1.8. Множество целых чисел счетно. В этом случае биективное отображение f : N → , f(n) = (-1)n-1 [n/2], позволяет пронумеровать элементы множества следующим образом:

Теорема 1.9. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

В результате получим множество Y = >, которое является счетным, так как при

Теорема 1.10. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество.

Пронумеруем элементы множества A следующим образом:

Следствие. Множество рациональных чисел счетно.

Множество рациональных чисел определяется следующим образом:

Расположим рациональные числа в таблицу. Сначала в первую строку поместим все целые числа в порядке не убывания их абсолютных величин и так, что за каждым натуральным числом следует ему противоположное:

Во вторую строку поместим все несократимые рациональные числа со знаменателем 2 в порядке не убывания их абсолютных величин, причем вслед за каждым положительным числом следует ему противоположное:

Аналогично, в n-ую строку выпишем все несократимые рациональные числа со знаменателем n, упорядоченные по абсолютной величине и вслед за каждым положительным числом вписано ему противоположное. В результате получим таблицу всех рациональных чисел, состоящую из счетного множества строк, каждая из которых содержит счетное множество элементов. При этом среди выписанных элементов нет одинаковых. По теореме 8 множество счетно.

Определение 1.34. Конечные и счетные множества называют не более чем счетными.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник