Множество делителей это что
Что такое множество?
Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.
В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.
Обозначения
Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.
Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F ( friends ), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:
Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D
затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6
Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»
Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»
Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:
Зададим множество, которое состоит из одного числа 2
Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5
Множество натуральных чисел
Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.
Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.
В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.
Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N
Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»
Множество целых чисел
Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.
Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:
Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:
Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:
В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.
Множество рациональных чисел
Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.
В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).
Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2
10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби 
, а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.
Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.
Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.
12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби 
, а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.
Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:
При выделении целой части в дроби , получается смешанное число 
. Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.
В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:
Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.
Например укажем, что дробь 
принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:
∈ Q
Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:
Укажем, что смешанное число 
принадлежит множеству рациональных чисел:
∈ Q
Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
12 thoughts on “Что такое множество?”
Нахождение всех делителей числа, число делителей числа.
Материал этой статьи про нахождение всех делителей числа. Сначала доказана теорема, которая задает вид всех общих делителей данного числа, после чего рассмотрены примеры нахождения всех делителей. Дальше показано, как вычисляется число делителей числа. В заключение подробно разобраны примеры нахождения всех общих делителей нескольких чисел и их количества.
Навигация по странице.
Все делители числа, их нахождение
Дальнейшее изложение подразумевает хорошее владение информацией статьи делители и кратные числа. Мы будем говорить лишь о поиске всех делителей целых положительных чисел (натуральных чисел). Этого вполне достаточно, так как одно из свойств делимости утверждает, что множество делителей целого отрицательного числа −a совпадает со множеством делителей противоположного числа a (которое будет положительным). Напомним также, что число 0 имеет бесконечно много делителей, и нахождение всех делителей нуля не представляет интереса.
Интереснее проходит поиск всех делителей составных чисел. Теоретическая основа этого процесса заключается в следующей теореме.
Из рассмотренной теоремы следует алгоритм нахождения всех положительных делителей данного числа. Чтобы найти все делители числа a нужно:
Весь процесс нахождения делителей удобно проводить, заполняя таблицу следующего вида:
Сначала разложим на простые множители число 567 :
Еще немного усложним пример.
Число делителей числа
Разложим 84 на простые множители:
число 84 имеет 24 делителя.
Нахождение всех общих делителей чисел и их количества
Из свойств наибольшего общего делителя следует, что множество делителей данных целых чисел совпадает со множеством делителей НОД этих чисел. Это утверждение относится как к двум числам, так и к трем, и к большему их количеству. Таким образом, чтобы найти все общие делители данных чисел, нужно определить НОД этих чисел и найти все его делители.
Рассмотрим решения примеров, в которых находятся все общие делители некоторых чисел.
Делители и кратные
В данном уроке мы рассмотрим такие понятия как делители и кратные.
Что такое делитель?
Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.
Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:
Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:
Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:
10 : 4 = 2 (2 в остатке)
Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.
Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.
Попробуем перечислить эти числа:
Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
Кратные числа
Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3. Поэтому 6 является кратным числа 3
Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.
Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5 .
У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:
5 : 5 = 1
10 : 5 = 2
15 : 5 = 3
20 : 5 = 4
25 : 5 = 5
Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.
Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.
В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.
Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.
Признак делимости на 5 и на 2
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.
Признак делимости на 5
Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9
Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:
Чётные и нечётные числа
Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:
Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:
21 : 2 = 10 (1 в остатке)
Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.
Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.
А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.
Простые и составные числа
Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:
Значит, число 5 является простым числом.
Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1
Значит, число 4 является составным числом.
Разложение составного числа на простые множители
Любое составное число можно разложить на простые множители. Чем-то похожим мы занимались в уроке замены в выражениях. Из этого урока мы узнали, что любое число, входящее в выражение, можно заменить на то же самое, но записанное в другом виде.
Суть разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.
Разложим число 4 на простые множители. Для этого соберем данное число из других чисел, при этом соединим их знаком умножения (×). Число 4 состоит из чисел 2 и 2. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 4
Разложим на множители число 6. Число 6 можно собрать из чисел 2 и 3. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 6
Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.
Например, разложим число 180 на простые множители. Число 180 это два множителя 18 и 10
Теперь раскладываем множители 18 и 10 на другие множители:
Теперь раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последний большой множитель, который можно разложить на простые множители:
Теперь собираем все простые множители вместе:
На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.
Есть и второй способ разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Суть этого способа заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители.
При разложении числа этим способом, используют признаки делимости, такие как: признаки делимости на 2, на 3, на 5 и другие.
Например, разложим предыдущее число 180 этим способом.
Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180
Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, то нужно записать эту двойку справа от вертикальной линии.
180 делится на 2, поскольку 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:
Теперь делим 180 на 2 и получаем второе делимое 90. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 90 на 2.
90 делится на 2, поскольку 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:
Теперь делим 90 на 2, получаем третье делимое 45. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 45 на 2.
45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.
45 делится на 3, поскольку сумма цифр 4 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:
Делим 45 на 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 15. Проверяем делится ли 15 на 2.
15 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.
15 на 3 делится, поскольку сумма цифр 1 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:
Делим 15 на 3, получаем пятое делимое 5. Записываем пятёрку слева от вертикальной линии:
Теперь делим 5. Проверяем делится ли 5 на 2.
5 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.
5 не делится на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.
5 делится на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:
Делим 5 на 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:
На этом деление завершается, поскольку мы достигли единицы. Делители, которые записывают справа от вертикальной линии должны быть простыми числами. Поэтому, когда делимое 5 не разделилось на 2, а затем не разделилось на 3, мы попробовали разделить его на 5, не пробуя разделить на 4, поскольку 4 является не простым, а составным числом.
Теперь переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно записывать их, начиная с самых малых. Это позволяет упорядочить их по возрастанию:
Не расстраивайтесь, если будете испытывать затруднения при разложении чисел на простые множители. Эта тема требует немного практики. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256, 378, 512.
Нахождение делителей числа
В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.
Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2
6 : 2 = 3
Ещё делителем числа 6 является число 3
6 : 3 = 2
Ещё делителем числа 6 является число 1
6 : 1 = 6
Наконец, делителем числа 6 является само это число
6 : 6 = 1
Перечислим все делители числа 6
1, 2, 3, 6
Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти делители числа 12
Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1
Теперь раскладываем число 12 на простые множители:
Получили разложение 2 × 2 × 3.
В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:
Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.
Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4
Занесём число 4 в нашу таблицу делителей
Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:
Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:
Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.
На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:
Чтобы найти делители числа, нужно:
Пример 2. Найти делители числа 6
Первым делителем числа 6 запишем единицу:
Теперь разложим число 6 на простые множители:
Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:
1, 2, 3
1, 2, 3, 6