Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность чем данное множество

Парадокс Кантора- мощность множества всех множеств

Всё течёт, всё меняется.
Нельзя дважды войти в одну и ту же реку.

(Энциклопедический словарь
крылатых слов и выражений
http://www.bibliotekar.ru/encSlov/3/206.htm)

В теории множеств теорема Кантора гласит, что
Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.»
(Википедия, Теорема Кантора)

Парадокс Кантора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно М. Тогда по теореме Кантора 2м > М.

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой A.
(Википедия, Парадокс Кантора)

«Универсальное множество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно»
(Википедия, универсальное множество)

В этом рассуждении нет парадокса. Кантор описал ситуацию изменения знания (его объёма и качества), то есть процесс познания.

Одним из следствий сущностной глобальной черты мира, в котором мы существуем – его изменчивости – является то, что знание относительно («Логические парадоксы. Пути решения», «О принципах решения парадоксов», пункт 2, http://proza.ru/2009/04/27/370). Из этого следует:

1. на конкретный момент времени Т(x) существует универсум N(x), имеющий максимально возможную мощность M[N(x)]. Это множество множеств, отражающее максимальный, кардинальный предел объёма всего нашего знания на конкретный момент времени;

2. новое знание, появляющееся в процессе познания мира, а также в процессе изменения самого мира, приводит к новому универсуму N(y), имеющему по сравнению с предыдущим большую мощность M[N(y)] на новый момент времени T(y).

Таким образом, противоречие кроется лишь в точном разделении моментов времени.

В ОДНО И ТО ЖЕ ВРЕМЯ НЕ СУЩЕСТВУЕТ ДВУХ УНИВЕРСУМОВ.

Универсум всегда один. Но мощность его меняется с включением новых элементов в новый момент времени. Поэтому в изменении мощности универсума нет противоречия, так как знание относительно. Ведь мир изменяется качественно и количественно, а значит, и знание о нём тоже. И в наличии на конкретный момент времени лишь одного самого мощного множества тоже нет противоречия по тому же принципу.

Приведённое рассуждение – это прямое описание «принципа относительности знания», то есть его бесконечности, бесконечного обновления и развития в сторону движения к Абсолютной истине.

Другое дело, если принимать иную «точку опоры выводов»: в виде дефиниции «кардинального множества» в качестве Абсолютной истины. То есть считать, что может в принципе существовать только одно самое мощное множество. Потому что его наличие означает конечность знания, то есть существование множества максимальной, конечной мощности M[N(limX)], даже, возможно, и не достижимого для человека в принципе. В такой интерпретации тезис Кантора выглядит ошибочно сформулированным. Ошибка заключается в «ложном выводе». Если, согласно цитате, Кантор взял в качестве посылки мысль о том, что «для любого сколь угодно мощного множества можно указать ещё более мощное», и сделал на этом основании вывод, что «не существует самого мощного множества», то такая позиция исключает в принципе существование конечной Абсолютной истины, констатируя бесконечность процесса познания, развития. В противовес позиции Кантора во второй части сформулированного парадокса констатируется, что, всё-таки Абсолютная истина в виде множества кардинальной мощности существует или должна существовать. Основанием такого утверждения приводится интуитивное понимание. Такая позиция может иметь право на существование, как и позиция Кантора, хотя она и менее устойчива логически. Потому что интуитивная очевидность не есть логический аргумент, в отличие от приведённого Кантором факта постоянного изменения знания, как следствия сущностной черты мироздания. Более того, предположение о существовании конечного множества в виде Абсолютной истины прямо противоречит фактической действительности – изменчивости мира, в том числе и знания, включая мощность множества.

В самом деле, если мы, к примеру, пересчитали всех цыплят в хозяйстве и тем самым установили мощность множества «все цыплята» (о которых мы можем знать в данный момент времени), то, придя к соседу, увидели ещё цыплят. Мощность нашего множества оказалось под вопросом. Поставив безумную цель сосчитать всех цыплят в мире, через несколько лет мы путём организации получения такой информации в виде передвижений личных и сторонников плюс получение полной информации из всех хозяйств от самых мелких личных хозяйств до крупных птицеводческих ферм, транснациональных сельскохозяйственных птицеводческих корпораций, государств и их объединений в данной сфере, будем иметь громадный массив данных обо всех существующих цыплятах в мире на конкретный момент времени. Задача выполнена? Найдена ли максимальная мощность множества «все цыплята»? Конечно же, нет. Потому что только теперь мы в полной мере можем оценить изменчивость мира – мы увидим, что ежесекундно в мире на свет появляются миллионы новых цыплят, как и исчезают. Поэтому говорить о стабильности и точности нашего знания не приходится теперь ещё в большей степени, несмотря на все усилия и наличие огромной базы данных. Как говорится, «цыплят по осени считают» не зря.

Фиксация объёма «множества множеств» представляется ещё более сложной задачей, чем определение мощности «множества цыплят». И как бы близко мы ни подбирались к определению мощности множества всех множеств, в следующий момент времени наш результат может оказаться уже не соответствующим действительности. «Истина всегда где-то рядом».

Это рассуждение иллюстрирует невозможность получения истинного непротиворечивого логического вывода на основе зыбких, ошибочных, ложных основаниях, посылках. Всё дело в том, что изначально был нарушен принцип «полного и точного понимания проблемы» («Логические парадоксы. Пути решения», «О принципах решения парадоксов», пункт 1, http://proza.ru/2009/04/27/370). Согласно нему, перед нахождением решения и даже перед постановкой вопроса нужно было «расставить все точки над i». Тогда, возможно и не пришлось бы задумываться над этой задачей вообще. Как уже упоминалось мной в решении парадокса «О множестве обычных множеств» (http://www.proza.ru/2009/04/20/768), введённое Кантором понятие «множества» является нечётким, неоднозначно определённым. Оно не учитывает изменчивость мироздания, а, следовательно, неверно. Для приведения к однозначному пониманию «множества» нужно было бы выбрать одно из двух:

«множество» – это обобщение всех существующих элементов по указанным признакам:

1) на ОДИН конкретный момент времени

2) всех таких элементов, возможных в принципе, то есть – на БЕСКОНЕЧНЫЙ момент времени, включая прошлое и будущее, или, другими словами, без учёта момента времени вообще.

Все известные мне рассуждения, касающиеся множеств, так или иначе, основываются на втором толковании понятия «множества». То есть множество понимается как «универсальное математическое множество», мощность которого составляют все мыслимые объекты. А понимание категории «мыслимые объекты» изначально подразумевает, что они могут даже и не существовать в действительности, а только в уме, потому что они мыслимые, то есть как существующие, так и только возможные в будущем или существовавшие раньше. Поэтому такие рассуждения и приводят к противоречивым выводам и вообще противоречивому пониманию «множеств», как и в данной задаче. Легко показать, что вторая трактовка понятия «множества» ошибочна.

Беря за основу понимания «множества» совокупность всех возможных в принципе элементов по интересующим нас признакам, мы не отграничиваем объём множества, что нам необходимо для точного и чёткого понимания и рассуждения, а наоборот, раздвигаем границу понимания до бесконечного предела. Потому что изменчивость мира приводит к постоянному изменению количества и качества знания, в том числе знания об интересующих нас элементах, в частности. И, основываясь на второй трактовке «множества», мы с одной стороны, должны включать в объём нашего множества все новые элементы, появляющиеся с течением времени, как и существовавшие до нас, а, с другой стороны, мы можем остановиться в таком перечислении только в одном случае – указание общего существующего числа элементов нашего множества на конечный момент времени, то есть на «конец света», фактически. Только в этот момент времени будет существовать «множество» максимально возможной мощности.

Конечно, казалось бы, большое количество множеств можно указать в максимальном объёме и до «конца света». Например, количество монет или банкнот исчезнувшего государства или ушедшей эпохи. После их исчезновения составить «множество валют» с максимальной мощностью вроде бы не столь сложно. Тогда как во время существования государства или соответствующей исторической эпохи невозможно было составить такого множества, хотя можно было предположить с уверенностью, что такой универсум будет существовать, так как любому государству или эпохе отведён свой временной срок. Но и в этом случае такие, как указанное, с валютой исчезнувших государств, или подобные им другие множества, могут изменить свою мощность в любую сторону: как увеличения объёма элементов – нахождение клада, – так и уменьшения объёма элементов – утрата хранящихся экземпляров.

Поэтому трактовка множества с опорой на бесконечную продолжительность времени или его игнорирование, что, по сути, одно и то же, является ошибкой, приводящей к всеобщему массовому заблуждению и ложным логическим следствиям.

Человек не может в принципе иметь полный объём информации по интересующему его вопросу по двум причинам:

1) Практическое отсутствие у конкретного человека возможности располагать всей известной информацией по интересующему его вопросу в данный конкретный момент времени.

Теоретически, конечно, человек может добыть, изучить весь объём интересующей его информации. Но практически это сделать, во-первых, затруднительно, а, во-вторых, он не сможет верно оценить полноту этого объёма информации.

2) Изменение самой информации (объёма и качества) в процессе изучения.

Информация изменяется, потому что мир не стоит на месте в момент изучения, а изменяется вместе со всем, что в нём присутствует. Можно предположить, что информацию о конечных множествах возможно изучить полностью на конкретный момент времени. Но, как описано выше в примере с валютой, даже полная информация о конечном множестве на конкретный момент времени может измениться в следующий момент времени с изменением обстоятельств, то есть с изменением самого этого конечного множества (обнаружение клада или утрата образцов, как в указанном примере).

Из этого рассуждения следует, что верной дефиницией «множества» будет первая его возможная трактовка, которая полностью отражает существующее в действительности положение вещей – изменчивость мироздания, а, следовательно, изменчивость информации о нём. Ведь единственная функция, главная цель любого множества, то, для чего оно и создаётся, – это определение мысленной границы между нашим знанием и незнанием, отделение известного и существующего от неизвестного и несуществующего.

Таким образом, мощность любого «множества», включая и множество кардинальной мощности, то есть «множество всех множеств», зависит от момента времени, в который мы определяем объём этого множества. В этот конкретный момент времени существует только одно множество кардинальной мощности – универсум. Но в следующий момент времени мощность универсума изменяется – уменьшается или возрастает – потому что изменяется само мироздание.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

Доказательство теоремы о мощности множества подмножеств

Заслуженный участник

Так можно «доказать» и что мощность множества целых чисел больше множества натуральных: ведь множество целых чисел содержит все натуральные, да ещё и отрицательные. Но на самом деле эти мощности равны. Поэтому надо аккуратно делать все рассуждения.

Заслуженный участник

Это какое-то странное и очень распространённое заблуждение. Это предположение никак в известных мне доказательствах не используется, поэтому доказательства «от противного» нет.

Я всегда пользовался обозначением для мощности множества, поэтому так и буду писать вместо вашего (кстати, гораздо лучше выглядит ).

Но хотелось бы видеть точные определения следующих понятий:
1) множества и равномощны, то есть, ;
2) множество имеет мощность не большую, чем множество , то есть, ;
3) множество имеет мощность меньшую, чем множество , то есть, .

Боюсь, без этих определений (и, возможно, ещё некоторых) мы будем долго блуждать в трёх соснах.

Последний раз редактировалось korablique 03.01.2021, 12:05, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Odysseus 03.01.2021, 17:59, всего редактировалось 3 раз(а).

Кажется, вы наугад говорите.
1) Неправильно. Инъекция-то существует, но ее недостаточно, т.е. правильного определения у вас нет.
2) Неправильно. Данная сюръекция может и существовать в каких-то случаях при (в каких?), но к нужному определению это отношения не имеет.
3) Правильно только частично (а значит, тоже неправильно, поскольку, строго говоря, «частично правильного» в математике нет). Во-первых, нужно было указать откуда и куда ведет инъекция. Во-вторых, что значит «нет биекции»? Может просто у вас ее нет (не придумали), а у кого-то другого есть. Правильнее говорить «не существует».

Не нужно срезать углы и опускать подробности, особенно при самом первом ознакомлении с чем-то. Рекомендую
— Вспомнить и привести подробные определения произвольного отображения между множествами, инъекции, сюръекции, биекции.
— Проиллюстрировать их на каких-то конкретных отображениях, сначала между конкретными конечными множествами, потом между бесконечными.
— Дать определение и примеры счетного множества, несчетного множества.
— Привести характерные свойства счетных множеств, несчетных множеств, бесконечных множеств в целом.

И кстати, по какому учебнику вы учите теорию множеств? Для первого ознакомления рекомендую первую главу Александрова «Введение в теорию множеств и общую топологию» и первую главу Калужнина «Введение в общую алгебру».

Потому что в доказательстве на которое вы ссылаетесь нет никакой необходимости предполагать, что биекция есть. Суть доказательства в том, что берется произвольное отображение и явно строится подмножество , т.е. элемент , в которое не может переходить никакой элемент из при данном отображении . Из этого следует, что это не сюръекция. А с учетом произвольности взятых множества и отображения (конкретный вид и в доказательстве не используется, т.е. они могут быть любыми) из этого следует, что сюръекции между и не может существовать вообще. А поскольку инъекция существует, то .

Предварять все это словами «предположим, что существует множество, равномощное множеству его подмножеств, т.е. существует биекция » не добавляет к доказательству ничего полезного, а может только запутывать. Это все равно, как при доказательства теоремы Пифагора предположить, что она неверна, потом ее явно доказать, а потом сказать, что предположение было неверным, и значит мы «доказали это от противного».

Подобное явное построение элемента второго множества в который не может перейти никакой элемент из первого это главная идея т.н. диагонального метода Кантора. Так доказывается, например, также то, что мощность множества вещественных чисел больше мощности множества натуральных чисел. Но в доказательстве неравномощности множества и множества его подмножеств на которое ссылаетесь вы, этот диагональный метод используется несколько иначе, и поэтому кому-то может казаться не таким ясным и «конструктивным». Рекомендую разобрать еще один способ этого доказательства, который есть в Александрове «Введение в теорию множеств и общую топологию», глава 1, § 6, теоремы 15 и 16. Это более «прямой» способ, и при этом выстраиваемая структура и логика рассуждений практически идентичны диагональному методу доказательства неравномощности множеств натуральных и вещественных чисел. После этого постарайтесь понять в чем эти два способа доказательства близки, и как первый способ можно немного переформулировать на языке близком ко второму.

Последний раз редактировалось korablique 03.01.2021, 18:11, всего редактировалось 2 раз(а).

Да, извиняюсь, у меня тут в тетради похожий вопрос написан, и я ответила на него, а не на тот, что мне задали
1) существует биекция
2) существует инъекция
3) существует инъекция , но не существует биекции

Odysseus
За рекомендации спасибо

Заслуженный участник

С этим я больше согласен, чем нет. Хотя, например, теорема Кантора-Бернштейна намного понятнее доказана у Верещагина и Шеня. И про кардинальные числа и их арифметику может быть полезно где-то почитать. Ну и явно полезно задачки порешать.

Мой пойнт был несколько в другом. Есть много учебников по теории множеств, но эта глава из Александрова, как и первая глава из Калужнина, это ИМХО самые удачные введения в предмет с точки зрения сочетания простоты/понятности и хорошей подборки материала. Далее, при желании, можно углубляться и дальше, но обычно только если что-то дополнительное явно понадобится.

Заслуженный участник

Это, естественно, не более чем вопрос стилистики. Утверждения «никакая инъекция не может быть биекцией» и «существование биекции внутренне противоречиво» означают ровно одно и тоже, лишь словесное оформление различно. Ну разве что первый вариант рассуждения по своей логической структуре выглядит несколько сложнее.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Someone 06.01.2021, 21:55, всего редактировалось 1 раз.

Вот я и говорю: странное, но широко распространённое заблуждение. Доказательства от противного нет, потому что предположение о существовании биекции никаким способом в доказательстве не используется. Точно так же можно это предположение сформулировать не в начале доказательства, а в конце, и объявить, что получилось противоречие.

Фактически доказательство неравенства состоит из двух частей:
1) доказывается неравенство (демонстрируется инъекция );
2) доказывается неравенство (демонстрируется, что никакое отображение не является сюръекцией и, следовательно, не является биекцией).

Во втором пункте мы, разумеется, можем в начале наших рассуждений предположить, что рассматриваемое отображение является биекцией, но это никак не повлияет на наши построения. Поэтому такое предположение является лишним.

Таким способом можно любое доказательство превратить в доказательство от противного: в начале доказательства сделаем предположение, что доказываемое утверждение неверно, потом докажем его любым способом и получим противоречие с предположением.

P.S. У самого Кантора никакого доказательства от противного не было.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник