Мс медиана чему равны углы треугольника mcn

Дано : треугольник KMN, AK = BN, AM = BM, CA перпендикулярно KM, CB перпендикулярно NM

AK = BN, AM = BM, следовательно

КМ = МК + АМ = ВN + MB = MN

так как это прямоугольные треугольники,

углы К и N равны как углы при основании равнобедренного треугольника,

Если в прямоугольном треугольнике острый угол и катет равен острому углу и катету другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Следовательно, гипотенузы АС и CN этих треугольников равны.

На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NMР была в два раза меньше площади треугольника KMN?

На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NMР была в два раза меньше площади треугольника KMN.

Найти длины биссектрисы AD и стороны BC.

Дано : треугольник ABC и KMN AB = 8 BC = 12 AC = 16 KM = 10 MN = 15 NK = 20 срочно пжл?

Дано : треугольник ABC и KMN AB = 8 BC = 12 AC = 16 KM = 10 MN = 15 NK = 20 срочно пжл.

В треугольнике ABC медианы AM и BN пересекаются в точке O и перпендикулярны?

В треугольнике ABC медианы AM и BN пересекаются в точке O и перпендикулярны.

В подобных треугольниках АВС и KMN стороны АВ и KM, BC и MN являются сходственными?

В подобных треугольниках АВС и KMN стороны АВ и KM, BC и MN являются сходственными.

Найдите стороны треугольника KMN, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, (KM / AB) = 2, 1.

Найдите отношение площадей треугольников abc и треугольника kmn если ab 8 bc 12 ac 16 km 10 mn 15, nk 20?

Найдите отношение площадей треугольников abc и треугольника kmn если ab 8 bc 12 ac 16 km 10 mn 15, nk 20.

Отрезки AB, AC, AD не принадлежат одной плоскости?

Отрезки AB, AC, AD не принадлежат одной плоскости.

Доказать, что плоскость BCD || KMN.

Найти S треугольника BCD, если S треугольника KMN = 36 м2.

Медиана BM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе AD?

Медиана BM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе AD.

Найдите AB, если AC = 12 см.

Источник

Медиана — это золотое сечение треугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.

У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.

И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.

Медиана — это.

Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.

Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.

Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.

Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.

Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:

Есть в треугольнике обычном
Отрезок очень непростой
Соединяет он обычно с серединой стороны любой
И каждый должен знать отлично,
Зовется медианой он.

Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.

И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!

И выглядят они вот так.

На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.

Пересечение медиан треугольника

Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.

Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.

Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:

Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.

Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.

Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.

И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.

Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.

Медиана прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.

Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.

Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.

Вместо заключения

А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.

Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.

Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».

И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.

Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Теперь остаётся подумать над тем, как применить это знание о медиане на практике. Если придумаю, вдруг Нобелевскую премию дадут?

Источник

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Источник